矩形関数

矩形関数（矩形関数、rect関数、π関数、ヘヴィサイドπ関数、^{[ 1 ]}ゲート関数、単位パルス、または正規化ボックスカー関数とも呼ばれる）は、 ^{[ 2 ]}のように定義される。

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{T}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{T}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{if }}|t|>{\frac {T}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|t|={\frac {T}{2}}\\1,&{\text{if }}|t|<{\frac {T}{2}}.\end{array}}\right.}$$

関数の別の定義は${\textstyle \operatorname {rect} \left(t=\pm {\frac {T}{2}}\right)}$^{0、 [ 3 ]} 1、^{[ 4 ] [ 5 ]}または未定義となる。曲線下の面積は、関数の異なる定義に対して変化しない。$t=\pm T/2$。

矩形関数は、矩形波の基礎として使用できます。

rect関数は、1953 年にWoodward ^{[ 6 ]}によって「レーダーへの応用を伴う確率と情報理論」^{[ 7 ]}の中で理想的なカットアウト演算子として導入され、 sinc関数^{[ 8 ] [ 9 ]}は理想的な補間演算子として、また、それらのカウンター操作であるサンプリング( comb演算子) と複製( rep演算子) と共に導入されました。

矩形関数は、より一般的なボックスカー関数の特殊なケースである。

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {tX}{Y}}\right)=H(t-(XY/2))-H(t-(X+Y/2))=H(t-X+Y/2)-H(tXY/2)}$$

どこ${\displaystyle H(x)}$はヘヴィサイド階段関数です。この関数は を中心としています。${\displaystyle X}$期間が${\displaystyle Y}$、 から${\displaystyle XY/2}$に${\displaystyle X+Y/2.}$

矩形関数のユニタリフーリエ変換は^{[ 2 ]である。}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} (\pi f)=\operatorname {sinc} _{\pi }(f),}$$ 通常の周波数fを使用する場合、${\displaystyle \operatorname {sinc} _{\pi }}$はsinc関数の正規化形式^{[ 10 ]}であり、 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {sinc} \left(\omega /2\right),}$$ 角周波数を使用する${\displaystyle \omega }$、 どこ${\displaystyle \operatorname {sinc} }$は、 sinc 関数の正規化されていない形式です。

のために${\displaystyle \operatorname {rect} (x/a)}$そのフーリエ変換は$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}.}$$

不連続な矩形関数の自己畳み込みにより、区分的に定義された連続スプラインである三角形関数が得られますが、これは連続微分可能ではありません。矩形関数の連続畳み込みにより、より低く、より幅広く滑らかな、区分的に定義されたパルスが得られます。「より滑らか」とは、高階導関数が連続であることを意味します。^{[ 11 ]}

不連続な矩形関数をそれ自身と畳み込むと、連続関数である三角形関数が得られる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rect(2t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} =\operatorname {tri(t/T)} ={\begin{cases}1+t,&-T<t<0\\1-t,&\,\,\,\,\,0<t<T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

矩形関数の自己畳み込みを2回適用すると、連続かつ微分可能な連続放物線スプラインが得られる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rect(2t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} =\operatorname {tri(t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} ={\begin{cases}{\frac {9}{8}}+{\frac {3}{2}}t+{\frac {1}{2}}t^{2},&-{\frac {3}{2}}T<t<-{\frac {1}{2}}T\\{\frac {3}{4}}-t^{2},&-{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {1}{2}}T\\{\frac {9}{8}}-{\frac {3}{2}}t+{\frac {1}{2}}t^{2},&\,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {3}{2}}T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

矩形関数の自己畳み込みを3回適用すると、連続かつ2階微分可能な連続な3次スプラインが得られる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri(t/T)} *\operatorname {tri(t/T)} ={\begin{cases}{\frac {4}{3}}+{2}t+t^{2}+{\frac {1}{6}}t^{3},&-2T<t<-T\\{\frac {2}{3}}-t^{2}-{\frac {1}{2}}t^{3},&-T<t<0\\{\frac {2}{3}}-t^{2}+{\frac {1}{2}}t^{3},&\,\,\,\,\,0<t<T\\{\frac {4}{3}}-{2}t+t^{2}-{\frac {1}{6}}t^{3},&\,\,\,\,\,T<t<2T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

矩形関数の自己畳み込みを4回適用すると、連続な、そして3次微分可能な連続な4次スプラインが得られる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}4^{th}\,{\text{order spline}}={\begin{cases}{\frac {625}{384}}+{\frac {125}{48}}t+{\frac {25}{16}}t^{2}+{\frac {5}{12}}t^{3}+{\frac {1}{24}}t^{4},&-{\frac {5}{2}}T<t<-{\frac {3}{2}}T\\{\frac {55}{96}}-{\frac {5}{24}}t-{\frac {5}{4}}t^{2}-{\frac {5}{6}}t^{3}-{\frac {1}{6}}t^{4},&-{\frac {3}{2}}T<t<-{\frac {1}{2}}T\\{\frac {115}{192}}-{\frac {5}{8}}t^{2}+{\frac {1}{4}}t^{4},&-{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {1}{2}}T\\{\frac {55}{96}}+{\frac {5}{24}}t-{\frac {5}{4}}t^{2}+{\frac {5}{6}}t^{3}-{\frac {1}{6}}t^{4},&\,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {3}{2}}T\\{\frac {625}{384}}-{\frac {125}{48}}t+{\frac {25}{16}}t^{2}-{\frac {5}{12}}t^{3}+{\frac {1}{24}}t^{4},&\,\,\,\,\,{\frac {3}{2}}T<t<{\frac {5}{2}}T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

矩形関数のフーリエ変換はSinc 関数である ため、畳み込み定理によれば、矩形関数とそれ自身との連続的な畳み込みによって得られるパルスのフーリエ変換は、畳み込み関数が適用された回数 + 1 のオーダーの Sinc 関数になります (つまり、三角関数のフーリエ変換は Sinc ²であり、矩形関数とそれ自身との 2 つの連続的な畳み込みによって得られる放物線スプラインのフーリエ変換は Sinc ³など)。

矩形関数を確率密度関数と見なすと、それは連続一様分布の特殊なケースであり、${\displaystyle a=-1/2,b=1/2.}$特性関数は

$${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},}$$

そしてそのモーメント生成関数は

$${\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},}$$

どこ${\displaystyle \sinh(t)}$これは双曲線正弦関数です。

パルス関数は、有理関数の極限として表現することもできる。

$${\displaystyle \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}.}$$

矩形関数はディラックのデルタ関数を表すために使用できる。${\displaystyle \delta (x)}$^{[ 12 ]}具体的には、$${\displaystyle \delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$関数の場合${\displaystyle g(x)}$幅全体にわたる平均${\displaystyle a}$関数領域における0付近の値は次のように計算されます。

$${\displaystyle g_{avg}(0)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$ 入手するには${\displaystyle g(0)}$以下の制限が適用されます。

$${\displaystyle g(0)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right)}$$ これはディラックのデルタ関数を用いて次のように表すことができる。 $${\displaystyle g(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (x).}$$ディラックのデルタ関数のフーリエ変換${\displaystyle \delta (t)}$は

$${\displaystyle \delta (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}\operatorname {sinc} {(af)}.}$$ ここでのsinc関数は正規化されたsinc関数です。sinc関数の最初の零点は${\displaystyle f=1/a}$そして${\displaystyle a}$無限大に近づくフーリエ変換${\displaystyle \delta (t)}$は

$${\displaystyle \delta (f)=1,}$$ これは、ディラックのデルタ関数の周波数スペクトルが無限に広いことを意味する。パルスが時間的に短くなるほど、スペクトルは広くなる。

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