スペクトル密度

信号処理において、連続時間信号のパワースペクトルは、その信号を構成する周波数成分へのパワーの分布を表します。 ^[1]フーリエ解析 によれば、あらゆる物理信号は、いくつかの離散周波数、または連続範囲にわたる周波数スペクトルに分解できます。あらゆる種類の信号（ノイズを含む）の統計的平均をその周波数内容の観点から分析したものを、そのスペクトルと呼びます。 ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle f}$

信号のエネルギーが有限の時間間隔に集中している場合、特にその総エネルギーが有限である場合は、エネルギースペクトル密度を計算できます。より一般的に使用されるのは、パワースペクトル密度(PSD、または単にパワースペクトル) です。これは、全時間にわたって存在する信号、または (特に測定の継続時間に関連して) 無限の時間間隔にわたって存在するのと同程度に長い時間間隔にわたって存在する信号に適用されます。PSD は、そのような信号の全時間にわたる総エネルギーが一般に無限であるため、単位時間あたりに見られるスペクトルエネルギー分布を指します。スペクトル成分の合計または積分により、総パワー (物理プロセスの場合) または分散 (統計プロセスの場合) が得られます。これは、パーセバルの定理で規定されているように、時間領域にわたって積分することによって得られるものと同じです。^[1]${\displaystyle x^{2}(t)}$

物理過程のスペクトルには、その性質に関する重要な情報が含まれていることがよくあります。たとえば、楽器のピッチと音色は、スペクトル解析からすぐに判断できます。光源の色は、極めて高い周波数で変動する電磁波の電場のスペクトルによって決まります。このような時系列からスペクトルを取得するには、フーリエ変換と、フーリエ解析に基づく一般化が必要です。多くの場合、時間領域は実際には特に使用されません。たとえば、分光器で光のスペクトルを取得するために分散プリズムが使用される場合や、特定の周波数に敏感な内耳の聴覚受容器への影響を通じて音が知覚される場合などです。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E(t)}$

しかし、この記事では、時系列が既知である（少なくとも統計的な意味で）か、直接測定される（コンピュータでサンプリングされたマイクロフォンなど）状況に焦点を当てています。パワースペクトルは、統計信号処理や確率過程の統計的研究、および物理学や工学の多くの他の分野で重要です。通常、プロセスは時間の関数ですが、同様に空間周波数の観点から分解された空間領域のデータを議論することができます。^[1]

物理学では、信号は電磁波、音波、または機構の振動などの波である可能性があります。信号のパワースペクトル密度（PSD）は、信号に存在する電力を単位周波数あたりの周波数の関数として表します。パワースペクトル密度は通常、ワット/ヘルツ（略してW/Hz）のSI単位で表されます。^[2]

たとえば、信号が電圧のみで定義されている場合、指定された振幅に関連付けられた一意の電力はありません。この場合、「電力」は単に信号の2乗で計算されます。これは、その信号が特定のインピーダンスに実際に供給する電力に常に比例するためです。したがって、PSDにはV ²  Hz ^{−1の単位を使用できます。}エネルギースペクトル密度（ESD）の単位はV ²  s Hz ⁻¹です。これは、エネルギーが電力に時間を掛けた単位（たとえば、ワット時）であるためです。^[3]

一般的に、PSD の単位は周波数単位あたりの変動単位の比になります。したがって、たとえば、時間 (秒) に対する一連の変位値 (メートル単位) の PSD の単位は、メートル平方/ヘルツ (m ^{2 /Hz) になります。ランダム}振動の解析では、加速度の PSD にg ²  Hz ⁻¹の単位がよく使用されます。ここで、g は重力加速度を表します。^[4]

数学的には、信号または独立変数に物理的な次元を割り当てる必要はありません。以下の説明では、x ( t ) の意味は指定しませんが、独立変数は時間であると仮定します。

PSDは、正の周波数のみの片側関数、または正と負の周波数の両方の振幅が半分の両側関数のいずれかになります。ノイズPSDは、一般的に工学では片側関数、物理学では両側関数です。^[5]

エネルギースペクトル密度は、信号または時系列のエネルギーが周波数とともにどのように分布しているかを表します。ここで、エネルギーという用語は、信号処理の一般的な意味で使用されています。^[6]つまり、信号のエネルギーは次のとおりです。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.}$$

エネルギースペクトル密度は、有限の総エネルギーを持つ過渡現象、つまりパルス状の信号に最も適しています。有限かどうかにかかわらず、パーセバルの定理（またはプランシュレルの定理）は、信号のエネルギーの別の表現を提供します。^[7] ここで、は 周波数（Hz ）での のフーリエ変換 の値です。この定理は離散時間の場合にも当てはまります。左辺の積分は信号のエネルギーであるため、 の値は、周波数間隔 の周波数での信号に含まれるエネルギーを表す、無限小周波数間隔で乗じられた密度関数として解釈できます。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,}$$$${\displaystyle {\hat {x}}(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt}$$${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f+df}$

したがって、のエネルギースペクトル密度は次のように定義される: ^[8]${\displaystyle x(t)}$

関数と の自己相関はフーリエ変換のペアを形成し、その結果はウィーナー・ヒンチンの定理としても知られています(ピリオドグラムも参照)。 ${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$${\displaystyle x(t)}$

信号のエネルギー スペクトル密度を測定する物理的な例として、 がインピーダンスの伝送線路に沿って伝播する電気パルスの電位(ボルト 単位)を表し、伝送線路が整合抵抗器で終端されている (つまり、パルス エネルギーはすべて抵抗器に送られ、反射して戻ってくるものがない) とします。オームの法則により、時間 に抵抗器に送られる電力は に等しいため、総エネルギーはパルスの持続時間にわたって時間について積分することで求められます。周波数 におけるエネルギー スペクトル密度の値を求めるには、伝送線路と抵抗器の間に、対象周波数付近の狭い範囲の周波数 (たとえば ) のみを通過させるバンドパス フィルタを挿入し、抵抗器で消費される総エネルギーを測定します。この場合、 におけるエネルギー スペクトル密度の値は と推定されます。この例では、電力の単位は V ² Ω ⁻¹、エネルギーの単位は V ²  s Ω ⁻¹  = Jであり、したがってエネルギー スペクトル密度の推定値は、必要に応じて J Hz ⁻¹の単位になります。多くの場合、除算の手順を忘れて、エネルギー スペクトル密度の単位が V ²  Hz ⁻¹になることがよくあります。 ${\displaystyle V(t)}$ ${\displaystyle Z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle E(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E(f)/\Delta f}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle E(f)}$${\displaystyle E(f)/\Delta f}$${\displaystyle Z}$

この定義は、離散時間にサンプリングされた信号など、可算無限個の値を持つ離散信号に簡単に一般化されます。 ここで、はの離散時間フーリエ変換です。  サンプリング間隔は、正しい物理単位を維持し、極限で連続ケースを回復するために必要です。しかし、数学科学では、間隔は 1 に設定されることが多く、一般性を犠牲にして結果を単純化します。（正規化された周波数  も参照してください） ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$$${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},}$$${\displaystyle {\hat {x}}_{d}(f)}$${\displaystyle x_{n}.}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t\to 0.}$

上記のエネルギー スペクトル密度の定義は、エネルギーが 1 つの時間ウィンドウに集中している過渡現象 (パルスのような信号) に適しています。この場合、信号のフーリエ変換が一般的に存在します。全時間にわたる連続信号の場合は、むしろ定常プロセス用に存在するパワー スペクトル密度(PSD)を定義する必要があります。これは、前述の簡単な例のように、信号または時系列のパワーが周波数にわたってどのように分布するかを説明します。ここで、パワーは実際の物理的パワーである場合もあれば、抽象的な信号での便宜上、信号の 2 乗値で単純に識別される場合もあります。たとえば、統計学者は、関数の時間的 (または別の独立変数) な変化を研究し、電気信号 (その他の物理的プロセスの中でも) との類似性を使用して、物理的パワーが関与していない場合でも、これをパワー スペクトルと呼ぶのが通例です。物理的な電圧源を作成し、それを 1オームの抵抗器の端子に適用すると、その抵抗器で消費される瞬間的な電力はワットで表されます。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x^{2}(t)}$

したがって、信号の全時間にわたる平均電力は、任意の時間を中心にした周期を持つ次の時間平均で与えられます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle t=t_{0}}$$${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt}$$

しかし、後続の計算を扱うには、積分の範囲で時間制限を扱うよりも、信号自体で時間制限を扱う方が便利です。そのため、平均電力の別の表現があり、ここで、およびは任意の期間内では 1 で、それ以外の場合は 0 です。 明らかに、上記の P の式が 0 でない場合は、T が無限に増加するのと同様に、積分は無限に増加する必要があります。これが、そのような場合に、発散積分である 信号のエネルギーを使用できない理由です。 ${\displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$${\displaystyle w_{T}(t)}$$${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt.}$$

信号の周波数成分を解析する際に、通常のフーリエ変換を計算したい場合があります。しかし、多くの関心信号に対して、フーリエ変換は正式には存在しません。^{[nb 1]}とにかく、パーセバルの定理によれば、平均電力は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$$${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df}$$

すると、パワースペクトル密度は単純に上記の積分関数として定義される。^{[9] [10]}

ここから、畳み込み定理により、を との時間畳み込みのフーリエ変換と見ることもできます。ここで、* は複素共役を表します。 と を作成することを考慮すると 、次が得られます。 ここで、畳み込み定理は3 行目から 4 行目に移るときに使用されています。 ${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$${\displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$${\displaystyle x_{T}(t)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}}$$${\displaystyle u(t)=x_{T}^{*}(-t)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}}$$

ここで、上記の時間畳み込みを周期で割り、極限を とすると、それはウィンドウ処理されていない信号 の自己相関関数となり、 がエルゴードである限り と表されます。これはほとんどの場合に当てはまりますが、すべての場合に当てはまるわけではありません。^{[nb 2]}${\displaystyle T}$${\displaystyle T\rightarrow \infty }$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle R_{xx}(\tau )}$${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$$

ここから、再びのエルゴード性を仮定すると、パワースペクトル密度は自己相関関数のフーリエ変換として見つけられることがわかります（ウィーナー・ヒンチンの定理）。^[11]${\displaystyle x(t)}$

多くの著者は、この等式を実際にパワースペクトル密度を定義するために使用しています。 ^[12]

与えられた周波数帯域 （ただし ）における信号のパワーは、周波数にわたって積分することで計算できます。 であるため、正の周波数帯域と負の周波数帯域に等しい量のパワーを帰属させることができ、次の形式で係数 2 を説明します（このような些細な係数は、使用する規則によって異なります）。 より一般的には、同様の手法を使用して、時間によって変化するスペクトル密度を推定できます。 この場合、時間間隔は無限大に近づくのではなく有限です。 未満の周波数はサンプリングされず、 の整数倍でない周波数の結果は独立していないため、スペクトル範囲と解像度が低下します。 このような時系列を 1 つだけ使用すると、推定されたパワー スペクトルは非常に「ノイズが多い」ものになります。 ただし、指定された時間ウィンドウで評価されたの実現の統計的アンサンブルに対応する多数の（または無限の）短期スペクトルを使用して、（上記の式で）期待値を評価できる場合は、このノイズを軽減できます。 ${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$${\displaystyle 0<f_{1}<f_{2}}$${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$$${\displaystyle P_{\textsf {bandlimited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df}$$${\displaystyle T}$${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle x(t)}$

エネルギースペクトル密度と同様に、パワースペクトル密度の定義は離散時間変数に一般化できます。前と同様に、離散時間にサンプリングされた信号と全測定期間のウィンドウを考察できます。PSD の単一の推定値は有限数のサンプリングによって得られることに注意してください。前と同様に、実際の PSD は(したがって) が無限大に近づき、期待値が正式に適用されるときに得られます。実際のアプリケーションでは、通常、有限測定 PSD を多数の試行にわたって平均化して、個々の測定の基礎となる物理プロセスの理論的な PSD のより正確な推定値を取得します。この計算された PSD は、ピリオドグラムと呼ばれることもあります。このピリオドグラムは、推定値の数と平均化時間間隔が無限大に近づくにつれて、真の PSD に収束します。^[13]${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle -N\leq n\leq N}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$${\displaystyle T=(2N+1)\,\Delta t}$$${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

2 つの信号の両方がパワースペクトル密度を持つ場合、クロススペクトル密度も同様に計算できます。PSD は自己相関に関連し、クロススペクトル密度は相互相関に関連します。

PSDの特性としては次のようなものがある: ^[14]

2 つの信号と があり、それぞれがパワー スペクトル密度とを持つ場合、クロス パワー スペクトル密度( CPSD ) またはクロス スペクトル密度( CSD )を定義することができます。まず、このような結合信号の平均パワーを考えてみましょう。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle S_{xx}(f)}$${\displaystyle S_{yy}(f)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}}$$

パワースペクトル密度の導出に使用したのと同じ表記法と方法を使用して、パーセバルの定理を利用して、次式を得ます 。 ここでも、 と の寄与はすでにわかっています。 であるため、クロスパワーへの完全な寄与は、一般に、個別のCPSDの実部の 2 倍から生じます。 前と同様に、ここからこれらの積を時間畳み込みのフーリエ変換として書き直します。これを周期で割って極限まで取ると、相互相関関数のフーリエ変換になります。^[16] ここで、 はとの相互相関であり、は との相互相関です。 これを考慮すると、PSD は に対する CSD の特殊なケースであることがわかります。と が実信号 (電圧や電流など) の場合、それらのフーリエ変換と は通常、慣例により正の周波数に制限されます。したがって、一般的な信号処理では、完全なCPSD は、係数 2 でスケーリングされた CPSDの 1 つにすぎません。$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}}$$${\displaystyle S_{xx}(f)}$${\displaystyle S_{yy}(f)}$${\displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$${\displaystyle T\to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle R_{yx}(\tau )}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)=y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$${\displaystyle {\hat {y}}(f)}$$${\displaystyle \operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$$

離散信号x _nとy _nの場合、相互スペクトル密度と相互共分散の関係は $${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau }$$

スペクトル密度推定の目的は、一連の時間サンプルからランダム信号のスペクトル密度を推定することです。信号について何がわかっているかに応じて、推定手法にはパラメトリックまたはノンパラメトリックなアプローチが含まれ、時間領域または周波数領域分析に基づく場合があります。たとえば、一般的なパラメトリック手法では、観測値を自己回帰モデルに当てはめます。一般的なノンパラメトリック手法は、ピリオドグラムです。

スペクトル密度は通常、フーリエ変換法（ウェルチ法など）を使用して推定されますが、最大エントロピー法などの他の手法も使用できます。

• 信号のスペクトル重心は、スペクトル密度関数の中点、つまり分布を 2 つの等しい部分に分割する周波数です。
• スペクトルエッジ周波数（SEF）は、通常「SEF x」と表され、与えられた信号の全電力のxパーセントがその下に位置する周波数を表します。通常、 xは75〜95の範囲です。これは特にEEGモニタリングで使用される一般的な指標であり、その場合SEFは麻酔の深さや睡眠段階を推定するためにさまざまな方法で使用されています。^{[17] [18]}
• スペクトルエンベロープは、スペクトル密度のエンベロープ曲線です。これは、ある時点 (正確には、1 つのウィンドウ) を表します。たとえば、分光計を使用したリモート センシングでは、フィーチャのスペクトル エンベロープは、対象の各スペクトル バンドの明るさレベルの範囲によって定義される、そのスペクトル特性の境界です。
• スペクトル密度は、時間の関数ではなく、周波数の関数です。ただし、長い信号の小さなウィンドウのスペクトル密度を計算し、ウィンドウに関連付けられた時間に対してプロットすることができます。このようなグラフはスペクトログラムと呼ばれます。これは、短時間フーリエ変換やウェーブレットなどの多くのスペクトル分析手法の基礎となります。
• 「スペクトル」とは、一般的には、上で説明したように、周波数に対する信号内容の分布を表すパワー スペクトル密度を意味します。伝達関数(ボード線図、チャープなど) の場合、完全な周波数応答は、パワー対周波数と位相対周波数の 2 つの部分でグラフ化できます。つまり、位相スペクトル密度、位相スペクトル、またはスペクトル位相です。あまり一般的ではありませんが、2 つの部分は伝達関数の実部と虚部である場合があります。これは、周波数の関数として位相 (または同等の実部と虚部) も含む伝達関数の周波数応答と混同しないでください。時間領域のインパルス応答は、一般に、位相部分なしでパワー スペクトル密度のみから一意に復元することはできません。これらもフーリエ変換のペアですが、対称性 ( 自己相関の場合のように) がないため、フーリエ変換は実数値になります。超短パルス#スペクトル位相、位相ノイズ、群遅延を参照してください。${\displaystyle h(t)}$
• 振幅スペクトル密度（ASD ）に遭遇することがあります。これはPSDの平方根です。電圧信号のASDの単位はV Hz ^−1/2です。^{[19]これはスペクトルの}形状がかなり一定である場合に役立ちます。なぜならASDの変動は信号の電圧レベル自体の変動に比例するからです。しかし、数学的にはPSDを使用するのが好ましいです。なぜならその場合にのみ、曲線の下の面積が全周波数または指定された帯域幅での実際の電力に関して意味があるからです。

時間とともに変化する変数として表せる信号には、対応する周波数スペクトルがあります。これには、可視光(色として認識される)、音符 (ピッチとして認識される)、ラジオ/テレビ(周波数、または場合によっては波長 で指定される)、さらには地球の定期的な自転など、よく知られたエンティティが含まれます。これらの信号を周波数スペクトルの形で表示すると、受信信号の特定の側面や信号を生成する基礎となるプロセスが明らかになります。場合によっては、周波数スペクトルに正弦波成分に対応する明確なピークが含まれることがあります。また、基本ピークの高調波に対応するピークが存在する場合もあり、これは単純な正弦波ではない周期信号を示しています。または、連続スペクトルが、共鳴に対応して強く強調された狭い周波数間隔、またはノッチ フィルターによって生成されるようなほぼゼロの電力を含む周波数間隔を示すことがあります。

信号のパワースペクトルの概念と使用は、電気工学、特に無線通信、レーダー、関連システム、および受動リモートセンシング技術を含む電子通信システムにおいて基本的なものです。信号のパワースペクトルを観察および測定するには、スペクトルアナライザーと呼ばれる電子機器が使用されます。

スペクトル アナライザは、入力信号の短時間フーリエ変換(STFT)の振幅を測定します。分析対象の信号が定常プロセスであると考えられる場合、STFT は、そのパワー スペクトル密度の平滑化された推定値として適しています。

原始的変動、つまり初期宇宙における密度の変動は、空間スケールの関数として変動のパワーを示すパワースペクトルによって定量化されます。

• バイスペクトラム
• 明るさ温度
• ノイズの色
• 最小二乗スペクトル解析
• ノイズスペクトル密度
• スペクトル密度推定
• スペクトル効率
• スペクトル漏洩
• スペクトルパワー分布
• ウィットル確率
• ウィンドウ関数

• ビロリーニ、アレッサンドロ (2007)。信頼性工学。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガーサイエンス＆ビジネスメディア。ISBN 978-3-540-49388-4。
• Brown, Robert Grover; Hwang, Patrick YC (1997)。ランダム信号と応用カルマンフィルタリング入門、MATLAB演習と解答付き。ニューヨーク: Wiley- Liss。ISBN 978-0-471-12839-7。
• ダベンポート、ウィルバー B. (Jr); ルート、ウィリアム L. (1987)。ランダム信号とノイズの理論入門。ニューヨーク: Wiley-IEEE 出版。ISBN 978-0-87942-235-6。
• Imtiaz, Syed Anas; Rodriguez-Villegas, Esther (2014)。「シングル チャネル EEG を使用した REM 睡眠検出のための低計算コスト アルゴリズム」。Annals of  Biomedical Engineering。42 ( 11 ): 2344–59。doi : 10.1007 /s10439-014-1085-6。PMC 4204008。PMID 25113231。 
• Iranmanesh, Saam; Rodriguez-Villegas, Esther (2017). 「チップ上の超低電力睡眠スピンドル検出システム」。IEEE Transactions on Biomedical Circuits and Systems . 11 (4): 858–866. doi :10.1109/TBCAS.2017.2690908. hdl : 10044/1/46059 . PMID  28541914. S2CID  206608057.
• Maral, Gerard (2004)。VSATネットワーク。ウェスト・サセックス、イングランド、ホーボーケン、ニュージャージー：Wiley。ISBN 978-0-470-86684-9。
• ミラー、スコット、チルダーズ、ドナルド (2012)。確率とランダムプロセス。ボストン、マサチューセッツ州: アカデミック プレス。ISBN 978-0-12-386981-4. OCLC  696092052.
• Norton, MP; Karczub, DG (2003)。エンジニアのための騒音・振動解析の基礎。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-49913-2。
• オッペンハイム、アラン V.; ヴェルゲーズ、ジョージ C. (2016)。信号、システム、推論。ボストン: ピアソン。ISBN 978-0-13-394328-3。
• リスクン、ハンネス、フランク、ティル (1996)。フォッカー・プランク方程式。ニューヨーク: シュプリンガー・サイエンス & ビジネス・メディア。ISBN 978-3-540-61530-9。
• スタイン、ジョナサン Y. (2000)。デジタル信号処理。ニューヨーク・ワインハイム：ワイリー・インターサイエンス。ISBN 978-0-471-29546-4。

• パワースペクトル密度 Matlab スクリプト