エルミート多項式

上記のロドリゲスの公式から、 H _n ( x )とHe _n ( x )は偶関数または奇関数であり、 nと同じ偶奇性を持つことがわかります。 $${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad \operatorname {He} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x).}$$

H _n ( x )とHe _n ( x )は、 n = 0, 1, 2, 3,...のn次多項式です。これらの多項式は、重み関数(測度) に関して直交しています。$${\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}\operatorname {He} )}$$または$${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),}$$ つまり、 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.}$$

さらに、 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}$$ そして $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {He} _{m}(x)\operatorname {He} _{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}$$ どこ${\displaystyle \delta _{nm}}$はクロネッカーデルタ です。

したがって、確率論的多項式は、標準正規確率密度関数に対して直交する。

エルミート多項式（確率論者または物理学者によるもの）は、以下の条件を満たす関数の ヒルベルト空間の直交基底を形成する。$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}$$ ここで、内積は積分によって与えられる。 $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}$$前節で定義したガウス重み関数w ( x ) を含む。

L ² ( R , w ( x ) dx )の直交基底は、完全直交系です。直交系の場合、完全性とは、0 関数が、システム内のすべての関数に直交する唯一の関数f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx )であるという事実と同等です。

エルミート多項式の線形スパンはすべての多項式の空間であるため、(物理学者の場合) f が以下を満たす 場合、$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$ すべてのn ≥ 0に対して、f = 0となる。

これを実現する一つの方法は、関数全体を理解することです。$${\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$は恒等的に消滅する。したがって、すべての実数tに対してF ( it ) = 0 である という事実は、 f ( x ) e ^{− x 2}のフーリエ変換が0 であることを意味し、したがってfはほとんど至るところで0 である。上記の完全性証明の変形は、指数関数的に減衰する他の重みにも適用できる。

エルミートの場合、完全性を意味する明示的な恒等式を証明することも可能である（下記の完全性関係の項を参照）。

エルミート多項式がL ² ( R , w ( x ) dx )の直交基底であるという事実の同等の定式化は、エルミート関数を導入し(下記参照)、エルミート関数がL ² ( R )の正規直交基底であると言うことによって行われます。

確率論者のエルミート多項式は、シュトゥルム・リウヴィル微分方程式の解である。$${\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,}$$ ここでλは定数である。uが無限大で多項式的に有界であるという境界条件を課すと、この方程式はλが非負整数の場合にのみ解を持ち、その解は一意に与えられる。${\displaystyle u(x)=C_{1}\operatorname {He} _{\lambda }(x)}$、 どこ${\displaystyle C_{1}}$定数を表す。

微分方程式を固有値問題として書き直す$${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}$$ エルミート多項式${\displaystyle \operatorname {He} _{\lambda }(x)}$微分演算子の固有関数として理解できる${\displaystyle L[u]}$この固有値問題はエルミート方程式と呼ばれていますが、この用語は密接に関連する方程式にも使用されます 。$${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.}$$ その解は、物理学者のエルミート多項式を用いて一意に与えられる。${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)}$、 どこ${\displaystyle C_{1}}$は定数を表し、u が無限大で多項式的に有界であるという境界条件を課した後で成り立つ。

上記の2階微分方程式の一般解は、実際にはエルミート多項式と合流型第1種超幾何関数の線形結合である。例えば、物理学者のエルミート方程式の場合 $${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,}$$ 一般解は次の形式をとる。 $${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),}$$ どこ${\displaystyle C_{1}}$そして${\displaystyle C_{2}}$定数です。${\displaystyle H_{\lambda }(x)}$は物理学者のエルミート多項式（第一種）であり、 ${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$これらは物理学者のエルミート関数（第2種）である。後者の関数はコンパクトに次のように表される。${\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})}$どこ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$これらは第一種合流型超幾何関数である。従来のエルミート多項式も合流型超幾何関数で表すことができる（下記参照）。

より一般的な境界条件を用いることで、エルミート多項式を一般化して、複素数値λに対するより一般的な解析関数を得ることができる。また、エルミート多項式の経路積分による明示的な公式（Courant & Hilbert 1989 ）も可能である。

確率論者のエルミート多項式の列も漸化式を満たす$${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=x\operatorname {He} _{n}(x)-\operatorname {He} _{n}'(x).}$$ 個々の係数は、次の漸化式によって関連付けられます。 $${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$0,0 = 1、1,0 = 0、1,1 = 1 です。_​​_​​

物理学者の多項式の場合、 $${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},}$$ 我々は持っています $${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).}$$ 個々の係数は、次の漸化式によって関連付けられます。 $${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$ そして、a _0,0 = 1、a _1,0 = 0、a _1,1 = 2となります。

エルミート多項式はアペル列を構成する。すなわち、それらは恒等式を満たす多項式列である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}'(x)&=n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

^{[ 6 ]}で導出され実証されている積分漸化式は以下のとおりです。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=(n+1)\int _{0}^{x}\operatorname {He} _{n}(t)dt-He'_{n}(0),}$$

$${\displaystyle H_{n+1}(x)=2(n+1)\int _{0}^{x}H_{n}(t)dt-H'_{n}(0).}$$

同様に、テイラー展開すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\operatorname {He} _{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)\operatorname {He} _{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{n-k}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$$ これらの影の恒等式は自明であり、以下に詳述する微分演算子表現に含まれている。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

その結果、m階導関数については以下の関係が成り立つ。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}\operatorname {He} _{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}\operatorname {He} _{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}}$$

したがって、エルミート多項式も漸化式を満たす。$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n+1}(x)&=x\operatorname {He} _{n}(x)-n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

これらの最後の関係式は、初期多項式H ₀ ( x )およびH ₁ ( x )とともに、実際に多項式を迅速に計算するために使用できます。

トゥランの不平等は $${\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.}$$

さらに、以下の乗法定理が成り立つ。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\\operatorname {He} _{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}\operatorname {He} _{n-2i}(x).\end{aligned}}}$$

物理学者のエルミート多項式は、明示的に次のように書くことができる。 $${\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}}$$

これら2つの式は、床関数を使って1つにまとめることができます。 $${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$$

確率論者のエルミート多項式は、同様の公式を持ち、2x のべき乗を √2xの対応するべき乗に置き換え、全体の和に2 ^{− ⁠ n / 2 ⁠}を掛けることで得られます。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}$$

上記の明示的な表現の逆、すなわち確率論者のエルミート多項式Heによる単項式の逆は次のようになる。 $${\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}\operatorname {He} _{n-2m}(x).}$$

物理学者のエルミート多項式Hに対応する式は、これを適切にスケーリングすることで直接得られます。^{[ 7 ]}$${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}$$

エルミート多項式は指数生成関数によって与えられる。$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$$

この等式は、 xとtのすべての複素数値に対して有効であり、関数z → e ^{− z 2} (物理学者の場合)全体のxにおけるテイラー展開を書くことによって得られます。また、コーシーの積分公式を使用してエルミート多項式を次のように書くこと によって、(物理学者の)母関数を導出することもできます。$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.}$$

これを合計に使用する $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},}$$ 残りの積分は留数法を用いて評価することができ、それによって目的の母関数が得られる。

少し一般化すると^{[ 8 ]}$${\displaystyle e^{2xt-t^{2}}H_{k}(x-t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n+k}(x)t^{n}}{n!}}}$$

Xが標準偏差1、期待値μの正規分布に従う確率変数である場合、 $${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[\operatorname {He} _{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}$$

標準正規分布（期待値がゼロ）のモーメントは、偶数インデックスの場合、次の関係式から直接読み取ることができます。 $${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}\operatorname {He} _{2n}(0)=(2n-1)!!,}$$ ここで、(2 n − 1)!!は二重階乗です。上記の式は、確率論者のエルミート多項式をモーメントとして表現する特殊なケースであることに注意してください。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}$$

上記の母関数表現から、エルミート多項式は、次のような 経路積分で表現できることがわかります。$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}}$$ 原点を囲む輪郭線を持つ。

ガウス関数のフーリエ変換を用いて${\displaystyle e^{-x^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-t^{2}+2ixt}dt}$、 我々は持っています$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(x)&=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}={\frac {(-2i)^{n}e^{x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}\int t^{n}e^{-t^{2}+2ixt}dt\\\operatorname {He} _{n}(x)&={\frac {(-i)^{n}e^{x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\int t^{n}\,e^{-t^{2}/2+ixt}\,dt.\end{aligned}}}$$

判別式は超階乗として表される：^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Disc} (H_{n})&=2^{{\frac {3}{2}}n(n-1)}\prod _{j=1}^{n}j^{j}\\\operatorname {Disc} (\operatorname {He} _{n})&=\prod _{j=1}^{n}j^{j}\end{aligned}}}$$

加法定理、または総和定理は、次のように述べている^{[ 10 ] [ 11 ]： 8.958}$${\displaystyle {\frac {\left(\sum _{k=1}^{r}a_{k}^{2}\right)^{\frac {n}{2}}}{n!}}H_{n}\left({\frac {\sum _{k=1}^{r}a_{k}x_{k}}{\sqrt {\sum _{k=1}^{r}a_{k}^{2}}}}\right)=\sum _{m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{r}=n,m_{i}\geq 0}\prod _{k=1}^{r}\left\{{\frac {a_{k}^{m_{k}}}{m_{k}!}}H_{m_{k}}\left(x_{k}\right)\right\}}$$任意の非ゼロベクトルに対して${\displaystyle a_{1:r}}$。

乗法定理によれば^{[ 10 ]}$${\displaystyle H_{n}\left(\lambda x\right)=\lambda ^{n}\sum _{\ell =0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {\left(-n\right)_{2\ell }}{\ell$$ !}}(1-\lambda ^{-2})^{\ell }H_{n-2\ell }\left(x\right)} は、 任意の非ゼロに対して${\displaystyle \lambda }$。

フェルドハイムの公式^{[ 12 ] : Eq 46}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {a\pi }}}&\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{a}}}H_{m}\left({\frac {x+y}{\lambda }}\right)H_{n}\left({\frac {x+z}{\mu }}\right)dx\\&=\left(1-{\frac {a}{\lambda ^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}\left(1-{\frac {a}{\mu ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\sum _{r=0}^{\min(m,n)}r!{\binom {m}{r}}{\binom {n}{r}}\left({\frac {2a}{\sqrt {\left(\lambda ^{2}-a\right)\left(\mu ^{2}-a\right)}}}\right)^{r}H_{m-r}\left({\frac {y}{\sqrt {\lambda ^{2}-a}}}\right)H_{n-r}\left({\frac {z}{\sqrt {\mu ^{2}-a}}}\right)\end{aligned}}}$$どこ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$正の実部を持つ。特殊な場合として、^{[ 12 ] :式 52}$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-t^{2}}H_{m}(t\sin \theta +v\cos \theta )H_{n}(t\cos \theta -v\sin \theta )dt=(-1)^{n}\cos ^{m}\theta \sin ^{n}\theta H_{m+n}(v)}$$

n → ∞ のとき、^{[ 13 ]}$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}$$より広範囲の評価に関する特定のケースでは、振幅の変化を考慮した係数を含める必要がある。 $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},}$$スターリングの近似 を用いると、極限において、さらに簡略化することができ、 $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$この展開は、量子調和振動子の波動関数を、対応原理の極限において古典近似と一致するように解くために必要である。${\displaystyle \left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$形状のポテンシャル井戸内で古典粒子を見つける確率は、${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2}}$場所${\displaystyle x}$総エネルギーが${\displaystyle n+{\frac {1}{2}}}$これは半古典解析における一般的な手法である。半古典近似は近傍で破綻する。${\displaystyle \pm {\sqrt {2n+1}}}$、古典的な粒子が反転する場所。これはフォールドカタストロフィーであり、その時点でエアリー関数が必要となる。^{[ 14 ]}

周波数の変動を考慮したより良い近似式は、次式で与えられる。 $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

エルミート多項式に適用されるプランシュレル・ロタッハ漸近法は、端付近の零点の不均一な間隔を考慮に入れている。^{[ 15 ]}この方法は置換を利用する。 $${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,}$$ これにより、一様近似が得られます $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}$$

単調領域と遷移領域についても同様の近似が成り立つ。具体的には、 $${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,}$$ それから $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),}$$ その間$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t}$$tが複素数で有界である場合、近似値は $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),}$$ ここで、Aiは第一種エアリー関数である。

物理学者のエルミート多項式を引数ゼロで評価したものH _n (0)はエルミート数と呼ばれます。

$${\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}}$$ これは漸化式H _n (0) = −2( n − 1) H _{n − 2} (0)を満たす。同等に、${\displaystyle H_{2n}(0)=(-2)^{n}(2n-1)!!}$。

確率論者の多項式の観点から言えば、これは次のようになる。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}}$$

させて${\textstyle M}$本当の${\textstyle n\times n}$対称行列の場合、キブル・スレピアンの公式は次のように述べている。$${\displaystyle \det(I+M)^{-{\frac {1}{2}}}e^{x^{T}M(I+M)^{-1}x}=\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}{\frac {(M_{ij}/2)^{k_{ij}}}{k_{ij}!}}\right]2^{-tr(K)}H_{k_{1}}(x_{1})\cdots H_{k_{n}}(x_{n})}$$どこ${\textstyle \sum _{K}}$は${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$-すべての合計を掛け合わせる${\textstyle n\times n}$非負の整数要素を持つ対称行列、${\displaystyle tr(K)}$痕跡は​${\displaystyle K}$、 そして${\textstyle k_{i}}$は次のように定義される。${\textstyle k_{ii}+\sum _{j=1}^{n}k_{ij}}$これにより、メーラーの公式が得られます。${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&u\\u&0\end{bmatrix}}}$。

言い換えれば、${\textstyle T}$が正定値半行列である場合、${\textstyle M=-T(I+T)^{-1}}$、 我々は持っています${\textstyle M(I+M)^{-1}=-T}$、 それで$${\displaystyle e^{-x^{T}Tx}=\det(I+T)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}{\frac {(M_{ij}/2)^{k_{ij}}}{k_{ij}!}}\right]2^{-tr(K)}H_{k_{1}}(x_{1})\dots H_{k_{n}}(x_{n})}$$調和振動子のボソン量子力学に近い形で同様に述べると：^{[ 16 ]}$${\displaystyle \pi ^{-n/4}\det(I+M)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{T}(I-M)(I+M)^{-1}x}=\sum _{K}\left[\prod _{1\leq i\leq j\leq n}M_{ij}^{k_{ij}}/k_{ij}!\right]\left[\prod _{1\leq i\leq n}k_{i}!\right]^{1/2}2^{-\operatorname {tr} K}\psi _{k_{1}}\left(x_{1}\right)\cdots \psi _{k_{n}}\left(x_{n}\right).}$$それぞれ${\textstyle \psi _{n}(x)}$は${\textstyle n}$調和振動子の 番目の固有関数は、次のように定義される。$${\displaystyle \psi _{n}(x):={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\left({\frac {1}{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)}$$キブル・スレピアン公式は、1945年にキブルによって提案され^{[ 17 ]}、1972年にスレピアンによってフーリエ解析を用いて証明された^{[ 18 ]} 。フォアタは組み合わせ論的な証明を与え^{[ 19 ]}、ルークはボソン量子力学による証明を与えた^{[ 16 ]} 。複素引数エルミート多項式への一般化がある^{[ 20 ] [ 21 ] 。}

させて${\displaystyle x_{n,1}>\dots >x_{n,n}}$根源となる${\displaystyle H_{n}}$降順で。${\displaystyle a_{m}}$になる${\displaystyle m}$エアリー関数の 番目の零点${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$降順：${\displaystyle 0>a_{1}>a_{2}>\cdots }$対称性により${\displaystyle H_{n}}$そのためには、その根の正の半分だけを考慮すればよい。

^[ 9 ^]​$${\displaystyle (2n+1)^{\frac {1}{2}}>x_{n,1}>x_{n,2}>\cdots >x_{n,\lfloor n/2\rfloor }>0.}$$各${\displaystyle m}$漸近的には${\displaystyle n\to \infty }$[ ^{9 ]​}$${\displaystyle x_{n,m}=(2n+1)^{\frac {1}{2}}+2^{-{\frac {1}{3}}}(2n+1)^{-{\frac {1}{6}}}a_{m}+\epsilon _{n,m},}$$どこ${\displaystyle \epsilon _{n,m}=O\left(n^{-{\frac {5}{6}}}\right)}$、 そして${\displaystyle \epsilon _{n,m}<0}$。

^{[ 22 ]}およびラゲール多項式の零点を含む式も参照のこと。

させて${\displaystyle F_{n}(t):={\frac {1}{n}}\#\{i:x_{n,i}\leq t\}}$の根の累積分布関数とする${\displaystyle H_{n}}$すると半円の法則^{[ 23 ]が得られます。}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}({\sqrt {2n}}t)={\frac {2}{\pi }}\int _{-1}^{t}{\sqrt {1-s^{2}}}ds\quad t\in (-1,+1)}$$スティルチェスの関係式は次のように述べている^{[ 24 ] [ 25 ]}$${\displaystyle -x_{n,i}+\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}=0}$$そして物理的には平衡位置として解釈できる${\displaystyle n}$線上の粒子、各粒子は${\displaystyle i}$直線的な力によって原点に引き寄せられる${\displaystyle -x_{n,i}}$、そして各粒子は互いに反発し合う${\displaystyle j}$相互の力によって${\displaystyle {\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}}$これは、${\displaystyle n}$正に帯電した粒子${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$実数直線上に各粒子をバネで原点に接続します。これは静電モデルとも呼ばれ、ガウス集合の固有値のクーロン気体解釈に関連しています。

零点がスケーリングを除いて多項式を指定するため、スティルチェス関係はエルミート多項式を一意に特徴付ける別の方法を提供する。

同様に、^{[ 26 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i}x_{n,i}^{2}&=\sum _{1\leq i\leq n}^{n}\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{n,i}-x_{n,j})^{2}}}\\x_{n,i}&=\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{n,i}-x_{n,j}}}\\{\frac {2n-2-x_{n,i}^{2}}{3}}&=\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{n,i}-x_{n,j})^{2}}}\\{\frac {1}{2}}x_{n,i}&=\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{n,i}-x_{n,j})^{3}}}\end{aligned}}}$$