反時計回りに回転するベクトル (cos t 、sin t )は、 単位時間 あたり+1 ラジアン の正の周波数を持ちます 。図示されていない時計回りに回転するベクトル (cos (− t )、sin (− t ))は、単位時間あたり -1 ラジアンの負の周波数を持ちます。どちらも 2 π 単位の時間ごとに 単位円 を回ります が、方向は逆です。 数学 では、 符号付き周波数 （ 負の周波数と正の周波数 ）の概念は、 回転 の速度と方向の両方を示すことができます 。これは、車輪が時計回りまたは反時計回りに回転するのと同じくらい単純なものです。速度は、回転数（ サイクル ）/秒（ ヘルツ ）や ラジアン/秒 （1 サイクルは 2 π ラジアン に相当）などの単位で表されます。
例: 数学的には、 ベクトルは 単位時間あたり+1 ラジアン の正の周波数を持ち、 単位円の 周りを反時計回りに回転しますが、ベクトルは 単位時間あたり -1 ラジアンの負の周波数を持ち、時計回りに回転します。
（ コス （ t ） 、 罪 （ t ） ）
{\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}
（ コス （ − t ） 、 罪 （ − t ） ）
{\displaystyle (\cos(-t),\sin(-t))}
正弦波 ω > 0 を 角周波数 （単位はラジアン/秒）とし ます 。関数 f(t) = −ωt + θ の傾きは −ωとなり、 負の周波数 と呼ばれます 。しかし、この関数を余弦演算子の引数として使用すると、結果は cos( ωt − θ ) と区別がつきません。同様に、 sin(− ωt + θ )は sin( ωt − θ + π ) と区別がつきません 。したがって、任意の 正弦波は 正の周波数で表すことができます。基礎となる位相傾きの符号はあいまいです。
負の周波数では、sin 関数 (紫) が cos 関数 (赤) より 1/4 サイクル進みます。 この曖昧さは、コサイン演算子とサイン演算子を同時に観察できるときに解決されます。 これは、 ω > 0の場合、 cos( ωt + θ )は sin( ωt + θ ) より 1 ⁄ 4 周期 (つまり π ⁄ 2 ラジアン) 進み、 ω < 0の場合は 1 ⁄ 4 周期遅れるためです 。同様に、ベクトル (cos ωt , sin ωt )は、 ω > 0 の場合は反時計回りに回転し 、 ω < 0の場合は時計回りに回転します。したがって、 複素数値関数 の符号 も保持されます 。
ω
{\displaystyle \omega}
その帰結は次のようになる。
式 1 の2 番目の項は、 あいまいさを解決する 加算です。 式 2 の2 番目の項は加算のように見えますが、実際には 2 次元ベクトルを 1 次元に減らすキャンセルであり、あいまいさが生じます。 式 2 は、 フーリエ変換が1 つの符号しか持たない にもかかわらず、両方に応答を持つ理由も示しています 。誤った応答によって、逆変換で実数値関数と複素数値関数を区別できるようになります。
コス （ ω t ）
{\displaystyle \cos(\omega t)}
± ω 、
{\displaystyle \pm \omega ,}
ω
{\displaystyle \omega}
アプリケーション
おそらく、負の周波数の最もよく知られた応用は次の式です。
ふ ^
（ ω ） =
∫
− ∞
∞
ふ （ t ）
e
− 私 ω t
d t 、
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt,}
これは周波数における 関数のエネルギーの尺度であり 、引数の連続体に対して評価すると、 その結果は フーリエ変換 と呼ばれる。 [A]
ふ （ t ）
{\displaystyle f(t)}
ω 。
{\displaystyle \omega .}
ω 、
{\displaystyle \omega ,}
たとえば、次の関数を考えてみましょう。
ふ （ t ） =
あ
1
e
私
ω
1
t
+
あ
2
e
私
ω
2
t
、
∀
t ∈
R
、
ω
1
> 0 、
ω
2
> 0.
{\displaystyle f(t)=A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t},\ \forall \ t\in \mathbb {R} ,\ \omega _{1}>0,\ \omega _{2}>0.}
そして：
ふ ^
（ ω ）
=
∫
− ∞
∞
[
あ
1
e
私
ω
1
t
+
あ
2
e
私
ω
2
t
]
e
− 私 ω t
d t
=
∫
− ∞
∞
あ
1
e
私
ω
1
t
e
− 私 ω t
d t +
∫
− ∞
∞
あ
2
e
私
ω
2
t
e
− 私 ω t
d t
=
∫
− ∞
∞
あ
1
e
私 （
ω
1
− ω ） t
d t +
∫
− ∞
∞
あ
2
e
私 （
ω
2
− ω ） t
d t
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }[A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t}]e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i\omega _{1}t}e^{-i\omega t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i\omega _{2}t}e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i(\omega _{1}-\omega )t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i(\omega _{2}-\omega )t}dt\end{aligned}}}
ほとんどの関数は無限長の正弦波で構成されていませんが、その理想化は理解を容易にするための一般的な単純化であることに注意してください。
この結果の最初の項を見ると、 負の周波数が 正 の周波数を打ち消し、定数係数だけが残る （ のため ）ため、無限積分が発散します。 残差振動の他の値では、積分はゼロに収束します。この 理想化された フーリエ変換は通常、次のように記述されます。
ω =
ω
1
、
{\displaystyle \omega =\omega _{1},}
−
ω
1
{\displaystyle -\omega _{1}}
あ
1
{\displaystyle A_{1}}
e
私 0 t
=
e
0
= 1
{\displaystyle e^{i0t}=e^{0}=1}
ω
{\displaystyle \omega}
ふ ^
（ ω ） = 2 π
あ
1
δ （ ω −
ω
1
） + 2 π
あ
2
δ （ ω −
ω
2
） 。
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=2\pi A_{1}\delta (\omega -\omega _{1})+2\pi A_{2}\delta (\omega -\オメガ _{2})。}
現実的な持続時間では、発散と収束はそれほど極端ではなく、他の多くの周波数で小さな非ゼロ収束 ( スペクトル漏れ ) が現れますが、負の周波数の概念は依然として適用されます。 フーリエ の元の定式化 ( 正弦変換と余弦変換 ) では、余弦の積分と正弦の積分が必要です。また、結果として得られる三角関数の式は、複雑な指数関数の式よりも扱いにくいことがよくあります。 ( 解析信号 、 オイラーの公式 § 三角法との関係 、および 位相器 を参照)
正と負の周波数のサンプリングとエイリアシング この図は、同じ実数および虚数サンプル ポイントのセットに適合する、金色とシアン色の 2 つの複素正弦波を示しています。グリッド ラインで示されるレート ( f s ) でサンプリングされると、これらは互いにエイリアスになります。金色の関数は、実数部 (cos 関数) が虚数部より 1 サイクルの 1/4 進んでいるため、正の周波数を示しています。シアン色の関数は、実数部が虚数部より遅れているため、負の周波数を示しています。
参照
注記
^ フーリエ変換にはいくつかの形式がある。これは時間の角周波数における非ユニタリ形式である。
さらに読む Lyons, Richard G. (2010 年 11 月 11 日)。第 8.4 章「 デジタル信号処理の理解(第 3 版) 」 。Prentice Hall。944 ページ。ISBN 0137027419 。 Lyons, Richard G. (2001 年 11 月)。「デジタル信号処理の周波数領域を理解する」 。RF Design 誌 。2022 年 12 月 29 日 閲覧 。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }[A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t}]e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i\omega _{1}t}e^{-i\omega t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i\omega _{2}t}e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i(\omega _{1}-\omega )t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i(\omega _{2}-\omega )t}dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be3c33e876faf0c78dba0e8471b37af2406f1b3)
