非線形光学

電磁波の研究の中心となるのは波動方程式である。自由電荷を含まない等方性媒質におけるマクスウェル方程式から始めると、次のことが示される。

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} +{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} =-{\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}},}$

ここで、P ^{NL は}分極密度の非線形部分であり、n は屈折率であり、 Pの線形項から得られます。

ベクトル恒等式を通常使用できることに注意してください。

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} }$

ガウスの法則（自由電荷がないと仮定すると、$\displaystyle \rho _{\text{free}}=0}$)

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =0,}$

より馴染みのある波動方程式を得る

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} =\mathbf {0} .}$

非線形媒質の場合、ガウスの法則は恒等式を意味しない

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$

これは一般的に、等方性媒質の場合でも当てはまります。しかし、この項が必ずしも0でない場合でも、多くの場合無視できるほど小さいため、実際には通常無視され、標準的な非線形波動方程式が得られます。

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}}.}$

非線形波動方程式は非斉次微分方程式である。一般解は偏微分方程式の研究から得られ、グリーン関数を用いることで得られる。物理的には、波動方程式の斉次部分の電磁波解が得られる。

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} =\mathbf {0} ,}$

不均質項

${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}}}$

電磁波の発生源／駆動源として機能します。その結果として、異なる周波数間でエネルギーが混合または結合される非線形相互作用が生じ、これはしばしば「波の混合」と呼ばれます。

一般に、n次非線形性は( n  + 1)波混合を引き起こします 。例として、2次非線形性（3波混合）のみを考慮すると、偏光Pは次の形式になります。

${\displaystyle \mathbf {P} ^{\text{NL}}=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}\mathbf {E} ^{2}(t).}$

E ( t )が周波数ω1と ω2_の2つの成分から構成されていると仮定すると、E ( t )は次のように表すことができます_。

${\displaystyle \mathbf {E} (t)=E_{1}\cos(\omega _{1}t)+E_{2}\cos(\omega _{2}t),}$

オイラーの公式を用いて指数関数に変換すると、

${\displaystyle \mathbf {E} (t)={\frac {1}{2}}E_{1}e^{-i\omega _{1}t}+{\frac {1}{2}}E_{2}e^{-i\omega _{2}t}+{\text{c.c.}},}$

ここで「cc」は複素共役を表します。これをPの式に代入すると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} ^{\text{NL}}&=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}\mathbf {E} ^{2}(t)\\[3pt]&={\frac {\varepsilon _{0}}{4}}\chi ^{(2)}\left[{E_{1}}^{2}e^{-i2\omega _{1}t}+{E_{2}}^{2}e^{-i2\omega _{2}t}+2E_{1}E_{2}e^{-i(\omega _{1}+\omega _{2})t}+2E_{1}{E_{2}}^{*}e^{-i(\omega _{1}-\omega _{2})t}+\left(\left|E_{1}\right|^{2}+\left|E_{2}\right|^{2}\right)e^{0}+{\text{c.c.}}\right],\end{aligned}}}$

_これは、2ω1、2ω2、ω1 + ω2、_ω1 − ω2 、および_0の周波数成分を持つ。これらの3波混合プロセスは、それぞれ第₂高調波発生、和周波発生_、差周波発生、および光整流として知られる非線形効果に対応する。    

注：パラメトリック生成および増幅は、差周波生成の一種であり、2つの生成場のうち一方の低周波が著しく弱い場合（パラメトリック増幅）または完全に存在しない場合（パラメトリック生成）に該当します。後者の場合、電場における基本的な量子力学的不確定性がプロセスを開始させます。

光学的位相共役は、リアルタイムホログラフィックプロセスに類似していると解釈できる。^{[ 27 ]} この場合、相互作用するビームは非線形光学材料内で同時に相互作用し、材料内に動的ホログラム（3つの入力ビームのうち2つ）、すなわちリアルタイム回折パターンを形成する。3番目の入射ビームはこの動的ホログラムで回折し、その過程で位相共役波を読み出す。実際には、3つの入射ビームすべてが（実質的に）同時に相互作用して複数のリアルタイムホログラムを形成し、結果として「時間反転」ビームとして位相が上がる回折出力波のセットが得られる。非線形光学の言葉で言えば、相互作用するビームは材料内に非線形分極をもたらし、それがコヒーレントに放射されて位相共役波を形成する。

波面の反転は、光子の線運動量と角運動量の完全な反転を意味します。角運動量の反転は、偏光状態と軌道角運動量の両方の反転を意味します。^{[ 28 ]} 光渦の軌道角運動量の反転は、入射ビームと反射ビームのらせん位相プロファイルの完全な一致によるものです。 光位相共役は、誘導ブリルアン散乱、 ^{[ 29 ]}四光波混合、三光波混合、静的線形ホログラム、およびその他のツールによって実現されます。

光学的位相共役を生成する最も一般的な方法は、四光波混合技術を用いることであるが、誘導ブリルアン散乱などのプロセスを用いることも可能である。

四波混合法では、電場を持つ4つのビーム（ j = 1, 2, 3, 4）を記述することができます。

${\displaystyle \Xi _{j}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}E_{j}(\mathbf {x} )e^{i\left(\omega _{j}t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} \right)}+{\text{c.c.}},}$

ここで、E _jは電場振幅である。Ξ ₁と Ξ ₂は 2 つのポンプ波として知られており、Ξ ₃は信号波、Ξ ₄は生成された共役波である。

ポンプ波と信号波が非ゼロのχ ⁽³⁾を持つ媒質中で重ね合わされると、非線形分極場が生成されます。

${\displaystyle P_{\text{NL}}=\varepsilon _{0}\chi ^{(3)}(\Xi _{1}+\Xi _{2}+\Xi _{3})^{3},}$

_{その結果、ω = ±ω 1} ± ω ₂ ± ω ₃で与えられる周波数の波が発生するとともに、ω = 3ω ₁、3ω ₂、3ω ₃の第 3 高調波も発生する。

上記のように、位相整合条件によって、これらの波のうちどちらが支配的かが決まります。ω = ω ₁ + ω ₂ − ω ₃およびk = k ₁ + k ₂ − k ₃となる条件を選択することで、次の偏光場が得られます。

${\displaystyle P_{\omega }={\frac {1}{2}}\chi ^{(3)}\varepsilon _{0}E_{1}E_{2}E_{3}^{*}e^{i(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}+{\text{c.c.}}}$

これは位相共役ビームΞ4の生成場です_{。その方向は}k4 = k1 + _k2 − _k3で与えられ、2つ_{のポンプビーム}が逆方向に伝搬する場合（k1 ₌ −k2 ）、共役ビームと信号ビームは反対方向に伝搬します（k4 = −k3 ）_{。これにより、}効果の逆反射特性が生じ_ます。

さらに、屈折率nとビーム相互作用長lの媒質の場合、共役ビームの電場振幅は次のように近似できることが示される。

${\displaystyle E_{4}={\frac {i\omega l}{2nc}}\chi ^{(3)}E_{1}E_{2}E_{3}^{*},}$

ここでcは光速である。ポンプビームE ₁とE ₂が平面波（逆伝播波）である場合、

${\displaystyle E_{4}(\mathbf {x} )\propto E_{3}^{*}(\mathbf {x} ),}$

すなわち、生成されるビーム振幅は、信号ビーム振幅の複素共役である。振幅の虚数部にはビームの位相が含まれるため、この結果、効果の位相特性が反転する。

信号光と共役光の間の比例定数は1より大きくなる場合があることに注意してください。これは実質的に反射率が100%を超える鏡であり、増幅された反射光を生成します。このための電力は、このプロセスによって減衰される2つのポンプ光から供給されます。

共役波の周波数は信号波の周波数と異なる場合があります。ポンプ波の周波数が ω ₁ = ω ₂ = ω で、信号波の周波数がそれよりも高く ω ₃ = ω + Δω である場合、共役波の周波数は ω ₄ = ω − Δω となります。これは周波数反転 と呼ばれます。

古典的なマクスウェル電気力学では、位相共役鏡はポインティングベクトルの反転を行う。

${\displaystyle \mathbf {S} _{\text{out}}(\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {S} _{\text{in}}(\mathbf {r} ,t),}$

（「in」は入射場、「out」は反射場を意味する）

${\displaystyle \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)=\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t),}$

これは電磁場の線運動量密度である。^{[ 28 ]} 同様に、位相共役波は逆の角運動量密度ベクトルを持つ。${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {r} \times \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)}$ 入射場に関して：^{[ 29 ]}

${\displaystyle \mathbf {L} _{\text{out}}(\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {L} _{\text{in}}(\mathbf {r} ,t).}$

上記の恒等式は局所的に、すなわち各空間点において有効である。${\displaystyle \mathbf {r} }$ある瞬間に${\displaystyle t}$理想的な位相共役ミラーの場合。

量子電磁力学では、エネルギーを持つ光子は${\displaystyle \hbar \omega }$線運動量も持つ${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {k} }$そして角運動量、その伝播軸への投影は${\displaystyle L_{\mathbf {z} }=\pm \hbar \ell }$、 どこ${\displaystyle \ell }$は光子の位相電荷、または巻き数です。${\displaystyle \mathbf {z} }$は伝播軸です。伝播軸上の角運動量射影は離散値をとります。${\displaystyle \pm \hbar \ell }$。

量子電磁力学では、位相共役の解釈は古典電磁力学に比べてはるかに単純です。位相共役ミラー（アウト）から反射された光子は、入射光子（イン）に対して線運動量と角運動量の方向が逆になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{\text{out}}&=-\hbar \mathbf {k} =-\mathbf {P} _{\text{in}}=\hbar \mathbf {k} ,\\{L_{\mathbf {z} }}_{\text{out}}&=-\hbar \ell =-{L_{\mathbf {z} }}_{\text{in}}=\hbar \ell .\end{aligned}}}$