アナログ信号処理

アナログ信号処理は、何らかのアナログ手段によって連続アナログ信号に対して実行される信号処理の一種です(信号処理がデジタル プロセスによって実行される離散デジタル信号処理とは対照的です)。「アナログ」は、数学的に一連の連続値として表されるものを示します。これは、一連の離散量を使用して信号を表す「デジタル」とは異なります。アナログ値は通常、電子機器のコンポーネントの周囲の電圧、電流、または電荷として表されます。このような物理量に影響を与えるエラーまたはノイズは、そのような物理量によって表される信号に対応するエラーをもたらします。

アナログ信号処理の例としては、スピーカーのクロスオーバー フィルタ、ステレオの「低音」、「高音」および「音量」コントロール、テレビの「色合い」コントロールなどがあります。一般的なアナログ処理要素には、コンデンサ、抵抗器、インダクタ (受動要素)、およびトランジスタまたはオペアンプ(能動要素) があります。

システムの動作は数学的にモデル化することができ、時間領域では h(t)、周波数領域ではH(s) として表されます。ここで、s はs=a+ib の形式の複素数、または電気工学用語では s=a+jb です (電流は変数 i で表されるため、電気技師は「i」ではなく「j」を使用します)。入力信号は通常 x(t) または X(s) と呼ばれ、出力信号は通常 y(t) または Y(s) と呼ばれます。

畳み込みは、入力信号をシステムの関数と組み合わせて出力信号を求めるという信号処理の基本概念です。畳み込みは、2 つの波形の 1 つを反転およびシフトした後の積分です。畳み込みの記号は * です。

${\displaystyle y(t)=(x*h)(t)=\int _{a}^{b}x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau }$

これは畳み込み積分であり、信号とシステムの畳み込みを求めるために使用されます。通常、a = -∞ および b = +∞ です。

2 つの波形 f と g について考えます。畳み込みを計算することで、関数 g を反転させて x 軸に沿ってどれだけシフトすれば関数 f と同じになるかを決定します。畳み込み関数は基本的に関数 g を軸に沿って反転させてスライドさせ、スライドの可能な量ごとにそれらの (f と反転してシフトされた g) 積の積分を計算します。関数が一致すると、(f*g) の値が最大になります。これは、正の領域 (ピーク) または負の領域 (谷) が乗算されると、積分に寄与するためです。

フーリエ変換は、時間領域の信号またはシステムを周波数領域に変換する関数ですが、特定の関数に対してのみ機能します。フーリエ変換によって変換できるシステムまたは信号に関する制約は次のとおりです。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|\,dt<\infty }$

これはフーリエ変換積分です:

${\displaystyle X(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}\,dt}$

通常、フーリエ変換積分は変換を決定するために使用されません。代わりに、変換ペアの表を使用して信号またはシステムのフーリエ変換を見つけます。逆フーリエ変換は、周波数領域から時間領域に移行するために使用されます。

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}\,d\omega }$

変換可能な各信号またはシステムには、固有のフーリエ変換があります。周波数信号には時間信号が 1 つだけあり、その逆も同様です。

ラプラス変換は、一般化されたフーリエ変換です。これは、フーリエ変換のように jω 線だけではなく、複素平面への変換であるため、任意のシステムまたは信号の変換が可能です。主な違いは、ラプラス変換には変換が有効な収束領域があることです。これは、周波数信号が時間信号以上になる可能性があることを意味します。変換の正しい時間信号は、収束領域によって決まります。収束領域に jω 軸が含まれる場合、jω を s のラプラス変換に代入することができ、これはフーリエ変換と同じになります。ラプラス変換は次のとおりです。

${\displaystyle X(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt}$

X(s) のすべての特異点が複素平面の左半分にある場合の逆ラプラス変換は次のようになります。

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(s)e^{st}\,ds}$

ボード線図は、システムの振幅対周波数および位相対周波数のグラフです。振幅軸は [デシベル] (dB) 単位です。位相軸は度またはラジアン単位です。周波数軸は [対数スケール] です。正弦波入力の場合、出力は入力に周波数における振幅グラフの値を乗じ、周波数における位相グラフの値だけシフトしたものになるため、ボード線図は便利です。

これはほとんどの人がよく知っている領域です。時間領域のプロットは、時間に対する信号の振幅を示します。

周波数領域のプロットは、信号が存在する各周波数における信号の位相シフトまたは振幅のいずれかを示します。これらは時間信号のフーリエ変換を行うことで見つけられ、ボード線図と同様にプロットされます。

アナログ信号処理ではあらゆる信号を使用できますが、非常に頻繁に使用される信号の種類は多数あります。

正弦波はアナログ信号処理の基本要素です。現実世界のすべての信号は、フーリエ級数を介して正弦関数の無限和として表すことができます。正弦関数は、オイラーの公式を適用することで指数関数で表すことができます。

インパルス (ディラックのデルタ関数) は、無限の振幅と、その下の領域が 1 で中心が 0 である、無限に狭い幅を持つ信号として定義されます。インパルスは、すべての可能な周波数を含む正弦波の無限の和として表すことができます。実際には、このような信号を生成することはできませんが、大きな振幅の狭いパルスで十分に近似して、ネットワークで理論的なインパルス応答を高精度で生成できます。インパルスの記号は δ(t) です。インパルスがシステムへの入力として使用される場合、出力はインパルス応答と呼ばれます。インパルス応答は、すべての可能な周波数が入力で表されるため、システムを定義します。

単位ステップ関数は、ヘビサイドステップ関数とも呼ばれ、ゼロの前では振幅がゼロで、ゼロの後では振幅が 1 である信号です。単位ステップの記号は u(t) です。ステップがシステムへの入力として使用される場合、出力はステップ応答と呼ばれます。ステップ応答は、スイッチをオンにするのと同様に、システムが突然の入力にどのように応答するかを示します。出力が安定する前の期間は、信号の過渡部分と呼ばれます。ステップ応答を他の信号と乗算すると、入力が突然オンになったときにシステムがどのように応答するかがわかります。

単位ステップ関数は、ディラックのデルタ関数と次のように関連しています。

${\displaystyle \mathrm {u} (t)=\int _{-\infty }^{t}\delta (s)ds}$

線形性とは、2 つの入力とそれに対応する 2 つの出力がある場合、その 2 つの入力を線形結合すると、出力も線形結合されることを意味します。線形システムの例としては、1 次ローパス フィルターまたはハイパス フィルターがあります。線形システムは、線形特性を示すアナログ デバイスで構成されています。これらのデバイスは完全に線形である必要はありませんが、線形の動作領域を持っている必要があります。オペアンプは非線形デバイスですが、線形の動作領域があるため、その動作領域内では線形としてモデル化できます。時間不変性とは、システムをいつ起動しても同じ出力が得られることを意味します。たとえば、システムがあり、今日入力を行った場合、明日システムを起動しても同じ出力が得られます。LTI である実際のシステムはありませんが、多くのシステムは、出力が何になるかを簡単に判断できるように、LTI としてモデル化できます。すべてのシステムは、温度、信号レベル、その他の要因など、非線形または非時間不変となる要因に多少依存しますが、ほとんどのシステムは LTI としてモデル化できるほど安定しています。線形性と時間不変性は、従来のアナログ信号処理方法を使用して簡単に解決できる唯一のタイプのシステムであるため重要です。システムが非線形または非時間不変になると、非線形微分方程式の問題になり、実際に解決できる問題はほとんどありません。(Haykin & Van Veen 2003)

• Haykin, Simon、および Barry Van Veen。信号とシステム。第 2 版。ホーボーケン、ニュージャージー州: John Wiley and Sons、Inc.、2003 年。
• McClellan, James H.、Ronald W. Schafer、Mark A. Yoder. Signal Processing First. Upper Saddle River、ニュージャージー州: Pearson Education、Inc.、2003 年。