関連する微分方程式の解の族
ベッセル関数は円形膜の振動 の半径方向部分を記述します 。 ベッセル関数は 、数学者 ダニエル・ベルヌーイ によって最初に定義され、その後 フリードリヒ・ベッセル によって一般化され、
任意の 複素数 に対するベッセルの 微分方程式の標準解 y ( x ) であり、ベッセル関数の 次数 を表します。 と は同じ微分方程式を生成しますが、ベッセル関数が のほとんどが 滑らかな関数 となるように、これら 2 つの値に対して異なるベッセル関数を定義するのが一般的です 。
x
2
d
2
ええ
d
x
2
+ x
d ええ
d x
+
（
x
2
−
α
2
）
ええ = 0
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y=0}
α
{\displaystyle \alpha}
α
{\displaystyle \alpha}
− α
{\displaystyle -\alpha}
α
{\displaystyle \alpha}
最も重要なケースは、 が 整数 または 半整数 の場合です。整数のベッセル関数は、 円筒座標 の ラプラス方程式 の解に現れるため、 円筒関数 または 円筒調和関数 とも呼ばれます 。 半整数の 球面ベッセル関数は、 球座標 の ヘルムホルツ方程式 を解くときに得られます 。
α
{\displaystyle \alpha}
α
{\displaystyle \alpha}
α
{\displaystyle \alpha}
ベッセル関数の応用 ベッセル方程式は、 円筒座標または 球座標で ラプラス方程式 と ヘルムホルツ方程式の分離解を求めるときに発生します。したがって、ベッセル関数は、 波の伝播 や静的ポテンシャルの多くの問題で特に重要です 。円筒座標系の問題を解くと、整数次数 ( α = n ) のベッセル関数が得られます。球面問題では、半整数次数 ( α = n + 1 / 2 ）。例えば:
ベッセル関数は、信号処理などの他の問題にも登場します (例: FM オーディオ合成 、 カイザー ウィンドウ 、 ベッセル フィルター を参照)。
定義 これは線形微分方程式なので、解は任意の振幅にスケールできます。関数に選択された振幅は、関数が微分方程式の解ではなく定積分の解として登場した初期の研究に由来しています。微分方程式は 2 次であるため、2 つの 線形独立な 解が存在する必要があります。ただし、状況に応じて、これらの解のさまざまな定式化が便利です。さまざまなバリエーションを次の表にまとめ、次のセクションで説明します。
第二種ベッセル関数と第二種球面ベッセル関数は、 Y n と y n ではなく、それぞれ N n と n n と表記されることもある。 [2] [3]
第一種ベッセル関数: Jα 第一種ベッセル関数 の 整数次数に対するプロット 。
J
α
（ x ）
{\displaystyle J_{\alpha }(x)}
α = 0 、 1 、 2
{\displaystyle \alpha =0,1,2}
からまで の平面内で の 第一種ベッセル関数のプロット 。
J
α
（ ず ）
{\displaystyle J_{\alpha }(z)}
α = 0.5
{\displaystyle \alpha =0.5}
−
2
−
2
i
{\displaystyle -2-2i}
2
+
2
i
{\displaystyle 2+2i}
第一種ベッセル関数は J α ( x ) と表記され、ベッセルの微分方程式の解である。 α が整数または正の場合、第一種ベッセル関数は原点 ( x = 0 ) で有限であるが、 α が負または非整数の場合 、第一種ベッセル関数は x が0 に近づくにつれて発散する。 関数を マクローリン級数 倍 で定義することが可能であり ( α は 整数である必要はなく、テイラー級数では非整数のべき乗は許可されないことに注意)、ベッセル方程式に フロベニウス法 を適用することで求めることができる: [4]
ここで Γ( z )は ガンマ関数 で、 階乗 関数を非整数値にシフトした一般化である。 初期の著者の中には、第一種ベッセル関数 を での除算なしで基本的に異なる方法で定義している人もいるが [5]、 この 定義はこの記事では使用していない。第一種ベッセル関数は、 α が整数で あれば 整関数であり、そうでなければゼロで特異点を持つ 多価関数 である。ベッセル関数のグラフは、ほぼ比例して減少する振動する正弦関数または余弦関数のように見える（以下の漸近形も参照）。ただし、その根は、 x が 大きい場合に漸近する場合を除き、一般に周期的ではない 。（この級数は、 − J 1 ( x )が J 0 ( x ) の導関数であり 、 −sin x がcos x の導関数であるのとよく似ていることを示している。より一般的には、 J n ( x ) の導関数は、 以下の恒等式によって
J n ± 1 ( x ) で表すことができる。）
x
α
{\displaystyle x^{\alpha }}
J
α
(
x
)
=
∑
m
=
0
∞
(
−
1
)
m
m
!
Γ
(
m
+
α
+
1
)
(
x
2
)
2
m
+
α
,
{\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}
2
{\displaystyle 2}
x
/
2
{\displaystyle x/2}
x
−
1
/
2
{\displaystyle x^{-{1}/{2}}}
α が非整数の場合 、関数 J α ( x ) と J − α ( x ) は線形独立であり、したがって微分方程式の2つの解である。一方、整数次数 n の場合、次の関係が成り立つ（ガンマ関数は非正整数のそれぞれに単純な極を持つ）： [6]
J
−
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
J
n
(
x
)
.
{\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}
これは、2 つの解がもはや線形独立ではないことを意味します。この場合、2 番目の線形独立解は、以下で説明するように、第 2 種のベッセル関数であることがわかります。
ベッセル積分 n が整数値の場合のベッセル関数の別の定義は 、積分表現を使用して可能です。 [7]
これはハンセンベッセル公式とも呼ばれます。 [8]
J
n
(
x
)
=
1
π
∫
0
π
cos
(
n
τ
−
x
sin
τ
)
d
τ
=
1
π
Re
(
∫
0
π
e
i
(
n
τ
−
x
sin
τ
)
d
τ
)
,
{\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin \tau )}\,d\tau \right),}
これはベッセルが用いたアプローチであり [9] 、この定義から関数のいくつかの性質を導出した。定義はシュレーフリの積分の一つによって非整数次数に拡張することができ、 Re( x )>0 の場合: [7] [10] [11] [12] [13]
J
α
(
x
)
=
1
π
∫
0
π
cos
(
α
τ
−
x
sin
τ
)
d
τ
−
sin
(
α
π
)
π
∫
0
∞
e
−
x
sinh
t
−
α
t
d
t
.
{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}
超幾何級数との関係 ベッセル関数は、 一般化された超幾何級数 で次のように表される [14]。
J
α
(
x
)
=
(
x
2
)
α
Γ
(
α
+
1
)
0
F
1
(
α
+
1
;
−
x
2
4
)
.
{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}
この表現は、ベッセル・クリフォード関数の 観点から見たベッセル関数の発展に関連しています 。
ラゲール多項式との関係 ラゲール多項式 L k と任意に選択されたパラメータ tを 用いて 、ベッセル関数は次のように表される [15]。
J
α
(
x
)
(
x
2
)
α
=
e
−
t
Γ
(
α
+
1
)
∑
k
=
0
∞
L
k
(
α
)
(
x
2
4
t
)
(
k
+
α
k
)
t
k
k
!
.
{\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}
第二種のベッセル関数: Yα 第二種ベッセル関数 Y n ( z ) （ n = 0.5 ）の複素平面における −2 − 2 i から 2 + 2 i まで のプロット 第二種ベッセル関数は、 Y α ( x ) と表記されるが、 N α ( x ) と表記されることもある、原点 ( x = 0 ) に特異点を持ち、 多値であるベッセル微分方程式の解である。これらは、 HM Weber (1873)によって導入されたため、 ウェーバー関数 と呼ばれることもある 。また、 Carl Neumann にちなんで ノイマン関数 と呼ばれることもある。 [16]
α が整数でない場合 、 Y α ( x )は J α ( x ) と次の式で
関係する。
Y
α
(
x
)
=
J
α
(
x
)
cos
(
α
π
)
−
J
−
α
(
x
)
sin
(
α
π
)
.
{\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}
整数次数n の場合 、関数は非整数 α が n に近づく極限をとることによって定義されます 。
Y
n
(
x
)
=
lim
α
→
n
Y
α
(
x
)
.
{\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}
nが 非負の整数で ある場合、次の数列が得られる [17]。
Y
n
(
z
)
=
−
(
z
2
)
−
n
π
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
k
−
1
)
!
k
!
(
z
2
4
)
k
+
2
π
J
n
(
z
)
ln
z
2
−
(
z
2
)
n
π
∑
k
=
0
∞
(
ψ
(
k
+
1
)
+
ψ
(
n
+
k
+
1
)
)
(
−
z
2
4
)
k
k
!
(
n
+
k
)
!
{\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}}
第二種ベッセル関数 Y α ( x ) の、整数次数 α = 0, 1, 2に対するプロット ここで、は 二ガンマ関数 、 ガンマ関数 の 対数微分 である 。 [3]
ψ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)}
対応する積分公式も存在する（ Re( x )>0 の場合）： [18]
Y
n
(
x
)
=
1
π
∫
0
π
sin
(
x
sin
θ
−
n
θ
)
d
θ
−
1
π
∫
0
∞
(
e
n
t
+
(
−
1
)
n
e
−
n
t
)
e
−
x
sinh
t
d
t
.
{\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}
n = 0 の場合 : ( オイラー 定数 )
γ
{\displaystyle \gamma }
Y
0
(
x
)
=
4
π
2
∫
0
1
2
π
cos
(
x
cos
θ
)
(
γ
+
ln
(
2
x
sin
2
θ
)
)
d
θ
.
{\displaystyle Y_{0}\left(x\right)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos \theta \right)\left(\gamma +\ln \left(2x\sin ^{2}\theta \right)\right)\,d\theta .}
Y α ( x ) は、 α が整数の とき、ベッセル方程式の 2 番目の線形独立解として必要です 。しかし、 Y α ( x )にはそれ以上の意味があります。これは、 J α ( x ) の「自然な」パートナーと見なすことができます 。以下のハンケル関数のサブセクションも参照してください。
さらに、 α が整数の場合には 、第 1 種の関数の場合と同様に、次の関係が成立します。
Y
−
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
Y
n
(
x
)
.
{\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}
J α ( x ) と Y α ( x ) は両方とも、 負の実軸に沿って切断された 複素平面 上の x の 正則関数 です。 α が整数の場合、ベッセル関数 Jは x の 完全関数 です 。 x が ゼロ以外の値に固定されている場合、ベッセル関数は α の完全関数です。
α が整数の場合の第二種ベッセル関数は、 フックスの定理 における第二種の解の例です 。
ハンケル関数: H （１） α 、 H （２） α 第一種ハンケル関数 Hのプロット （１ ） ( x )において、 n = −0.5 で、 複素平面上の −2 − 2 i から2 + 2 i まで 第二種ハンケル関数 Hのプロット （２ ） ( x )において、 n = −0.5 で、 複素平面上の −2 − 2 i から2 + 2 i まで ベッセル方程式の2つの線形独立解のもう一つの重要な定式化は 、 第1種および第2種のハンケル関数 Hである。 （１） α ( x ) と H （２） α （ x ）は 次のように定義される [19]
H
α
(
1
)
(
x
)
=
J
α
(
x
)
+
i
Y
α
(
x
)
,
H
α
(
2
)
(
x
)
=
J
α
(
x
)
−
i
Y
α
(
x
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}
ここで、 i は 虚数単位 です。これらの線形結合は 第 3 種のベッセル関数 とも呼ばれ、ベッセルの微分方程式の 2 つの線形独立な解です。 ヘルマン ハンケル にちなんで名付けられました 。
これらの線形結合の形式は、漸近公式や積分表現など、多くの一見単純な特性を満たしています。ここで、「単純」とは、形式 e i f (x) の因子の出現を意味します 。 実数 、 が 実 数値の場合 、 第 1 種および第 2 種のベッセル関数は、それぞれ第 1 ハンケル関数の実部と虚部、および第 2 ハンケル関数の実部と負の虚部です。したがって、上記の式は 、 H を に置き換えたオイラーの公式の類似物です。
x
>
0
{\displaystyle x>0}
J
α
(
x
)
{\displaystyle J_{\alpha }(x)}
Y
α
(
x
)
{\displaystyle Y_{\alpha }(x)}
（１） α ( x ) 、 H （２） α ( x ) および については 、 については 、 は漸近展開で明示的に示される。
e
±
i
x
{\displaystyle e^{\pm ix}}
J
α
(
x
)
{\displaystyle J_{\alpha }(x)}
Y
α
(
x
)
{\displaystyle Y_{\alpha }(x)}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
ハンケル関数は、円筒波方程式の外向きおよび内向きに伝播する円筒波解をそれぞれ表現するために使用されます（ 周波数 の 符号規則 に応じて、その逆も同様です）。
これまでの関係を用いると、次のように表現できる。
H
α
(
1
)
(
x
)
=
J
−
α
(
x
)
−
e
−
α
π
i
J
α
(
x
)
i
sin
α
π
,
H
α
(
2
)
(
x
)
=
J
−
α
(
x
)
−
e
α
π
i
J
α
(
x
)
−
i
sin
α
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}
α が整数の場合 、極限を計算する必要がある。αが整数かどうかに関わらず、以下の関係式は有効である ： [ 20]
H
−
α
(
1
)
(
x
)
=
e
α
π
i
H
α
(
1
)
(
x
)
,
H
−
α
(
2
)
(
x
)
=
e
−
α
π
i
H
α
(
2
)
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}
特に、 α = m + の場合 1 / 2 m が非負の整数
である場合
J
−
(
m
+
1
2
)
(
x
)
=
(
−
1
)
m
+
1
Y
m
+
1
2
(
x
)
,
Y
−
(
m
+
1
2
)
(
x
)
=
(
−
1
)
m
J
m
+
1
2
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}
これらは球面ベッセル関数の開発に役立ちます (下記参照)。
ハンケル関数は Re( x )>0 に対して次の積分表現が許される： [21]
ここで積分限界は 次のように選択できる 等高線に沿った積分を示す：負の実軸に沿って −∞ から0まで、虚軸に沿って0から ± π i まで、実軸に平行な等高線に沿って ± π i から +∞± π i まで。 [18]
H
α
(
1
)
(
x
)
=
1
π
i
∫
−
∞
+
∞
+
π
i
e
x
sinh
t
−
α
t
d
t
,
H
α
(
2
)
(
x
)
=
−
1
π
i
∫
−
∞
+
∞
−
π
i
e
x
sinh
t
−
α
t
d
t
,
{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}
修正ベッセル関数: 私は α 、 Kα ベッセル関数は 複素 引数 x に対しても有効であり、重要な特別なケースとして純虚引数があります。この場合、ベッセル方程式の解は 第 1 種および第 2 種の 修正ベッセル関数(または双 曲ベッセル関数 と呼ばれることもあります )と呼ばれ 、 α が整数でない
場合は [22]のように定義されます。α が 整数 の場合は、極限が使用されます。これらは、実数および正の引数 xに対して実数値になるように選択されます。したがって、 I α ( x ) の級数展開は J α ( x ) の級数展開と似ています が、交代 (-1) m 因子がありません。
I
α
(
x
)
=
i
−
α
J
α
(
i
x
)
=
∑
m
=
0
∞
1
m
!
Γ
(
m
+
α
+
1
)
(
x
2
)
2
m
+
α
,
K
α
(
x
)
=
π
2
I
−
α
(
x
)
−
I
α
(
x
)
sin
α
π
,
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}
K
α
{\displaystyle K_{\alpha }}
ハンケル関数で表現できる。
K
α
(
x
)
=
{
π
2
i
α
+
1
H
α
(
1
)
(
i
x
)
−
π
<
arg
x
≤
π
2
π
2
(
−
i
)
α
+
1
H
α
(
2
)
(
−
i
x
)
−
π
2
<
arg
x
≤
π
{\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}
これら2つの公式を使うと、ニコルソンの積分またはニコルソンの公式として知られる+ の結果が得 られ、次の式が得られます。
J
α
2
(
z
)
{\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)}
Y
α
2
(
z
)
{\displaystyle Y_{\alpha }^{2}(z)}
J
α
2
(
x
)
+
Y
α
2
(
x
)
=
8
π
2
∫
0
∞
cosh
(
2
α
t
)
K
0
(
2
x
sinh
t
)
d
t
,
{\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}
条件 Re( x )>0 が満たされると仮定する。また、
J
α
2
(
x
)
+
Y
α
2
(
x
)
=
8
cos
(
α
π
)
π
2
∫
0
∞
K
2
α
(
2
x
sinh
t
)
d
t
,
{\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}
| Re(α) | < のときのみ 1 / 2 そして Re(x) ≥ 0 だが x = 0 のときはそうではない。 [23]
第一ベッセル関数と第二ベッセル関数は 、修正ベッセル関数で表すことができます（これらは、 −π < arg z ≤ π / 2 ): [24]
J
α
(
i
z
)
=
e
α
π
i
2
I
α
(
z
)
,
Y
α
(
i
z
)
=
e
(
α
+
1
)
π
i
2
I
α
(
z
)
−
2
π
e
−
α
π
i
2
K
α
(
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}
I α ( x ) と K α ( x )は 修正ベッセル方程式 の2つの線形独立解である : [25]
x
2
d
2
y
d
x
2
+
x
d
y
d
x
−
(
x
2
+
α
2
)
y
=
0.
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}
実引数の関数として振動する通常のベッセル関数とは異なり、 I α と K α はそれぞれ 指数的に増加 および 減少する 関数です。通常のベッセル関数 J α と同様に、関数 I α は α > 0 の場合に x = 0 でゼロになり 、 α = 0 の場合に x = 0 で有限になります。同様に、 K α は x = 0 で発散し 、 K 0 の場合に対数型の特異点を持ちます 。 1 / 2 Γ(| α |)(2/ x ) | α | それ以外の場合。 [26]
修正ベッセル関数の2つの積分公式は次の通りである（ Re( x )>0 の場合） [27]
I
α
(
x
)
=
1
π
∫
0
π
e
x
cos
θ
cos
α
θ
d
θ
−
sin
α
π
π
∫
0
∞
e
−
x
cosh
t
−
α
t
d
t
,
K
α
(
x
)
=
∫
0
∞
e
−
x
cosh
t
cosh
α
t
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}
ベッセル関数は、2次関数のべき乗のフーリエ変換として記述できます。たとえば、 Re(ω) > 0 の場合:
2
K
0
(
ω
)
=
∫
−
∞
∞
e
i
ω
t
t
2
+
1
d
t
.
{\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}
これは、 K 0 の上記の積分定義に等しいことを示すことによって証明できます 。これは、複素平面の第 1 象限で閉曲線を積分することによって行われます。
第二種修正ベッセル関数はバセット積分 [28]で表すことができる。
K
n
(
x
z
)
=
Γ
(
n
+
1
2
)
(
2
z
)
n
π
x
n
∫
0
∞
cos
(
x
t
)
d
t
(
t
2
+
z
2
)
n
+
1
2
.
{\displaystyle K_{n}(xz)={\frac {\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)(2z)^{n}}{{\sqrt {\pi }}x^{n}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(xt)\,dt}{(t^{2}+z^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}}}.}
修正ベッセル関数 K 1/3 と K 2/3 は急速に収束する積分で表される [29]
K
1
3
(
ξ
)
=
3
∫
0
∞
exp
(
−
ξ
(
1
+
4
x
2
3
)
1
+
x
2
3
)
d
x
,
K
2
3
(
ξ
)
=
1
3
∫
0
∞
3
+
2
x
2
1
+
x
2
3
exp
(
−
ξ
(
1
+
4
x
2
3
)
1
+
x
2
3
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}
修正ベッセル関数は、 ラプラス分布を正規分布の指数スケールの混合として表すのに役立ちます。
K
1
2
(
ξ
)
=
(
2
ξ
/
π
)
−
1
/
2
exp
(
−
ξ
)
{\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )}
第二種修正ベッセル関数は、 次 のような名前でも呼ばれてきました (現在ではあまり使われません)。
球面ベッセル関数: jn 、 はい 第一種球面ベッセル関数 j n ( z ) （n = 0.5） を、 Mathematica 13.1 関数 ComplexPlot3D で作成した、 複素平面上の −2 − 2 i から2 + 2 i までのカラー付きプロット 複素 平面上の n = 0.5 の球状ベッセル関数 y n ( z ) を Mathematica 13.1 関数 ComplexPlot3D で作成した 色 付き プロット 。 第一種球面ベッセル関数 j n ( x ) （ n = 0, 1, 2） 第二種球面ベッセル関数 y n ( x ) 、 n = 0, 1, 2 ヘルムホルツ方程式を 球座標で変数分離法で解くと 、放射状方程式は次のようになる。
x
2
d
2
y
d
x
2
+
2
x
d
y
d
x
+
(
x
2
−
n
(
n
+
1
)
)
y
=
0.
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}
この方程式の2つの線形独立な解は 球面ベッセル関数 j n と y n と呼ばれ、通常のベッセル関数 J n と Y n と次式で関連付けられています [31]
j
n
(
x
)
=
π
2
x
J
n
+
1
2
(
x
)
,
y
n
(
x
)
=
π
2
x
Y
n
+
1
2
(
x
)
=
(
−
1
)
n
+
1
π
2
x
J
−
n
−
1
2
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}
y n は n n または η n とも表記されます 。一部の著者はこれらの関数を 球面ノイマン関数 と呼んでいます。
通常のベッセル関数との関係から、次のことが直接分かります。
j
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
y
−
n
−
1
(
x
)
y
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
+
1
j
−
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}
球面ベッセル関数は次のようにも書ける（ レイリーの公式 ） [32]
j
n
(
x
)
=
(
−
x
)
n
(
1
x
d
d
x
)
n
sin
x
x
,
y
n
(
x
)
=
−
(
−
x
)
n
(
1
x
d
d
x
)
n
cos
x
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}
0次の球面ベッセル関数 j 0 ( x )は、（正規化されていない） sinc関数 としても知られています 。最初のいくつかの球面ベッセル関数は次のとおりです。 [33]
と [34]
j
0
(
x
)
=
sin
x
x
.
j
1
(
x
)
=
sin
x
x
2
−
cos
x
x
,
j
2
(
x
)
=
(
3
x
2
−
1
)
sin
x
x
−
3
cos
x
x
2
,
j
3
(
x
)
=
(
15
x
3
−
6
x
)
sin
x
x
−
(
15
x
2
−
1
)
cos
x
x
{\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}
y
0
(
x
)
=
−
j
−
1
(
x
)
=
−
cos
x
x
,
y
1
(
x
)
=
j
−
2
(
x
)
=
−
cos
x
x
2
−
sin
x
x
,
y
2
(
x
)
=
−
j
−
3
(
x
)
=
(
−
3
x
2
+
1
)
cos
x
x
−
3
sin
x
x
2
,
y
3
(
x
)
=
j
−
4
(
x
)
=
(
−
15
x
3
+
6
x
)
cos
x
x
−
(
15
x
2
−
1
)
sin
x
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}
最初のいくつかの球面ベッセル関数の最初のいくつかの非ゼロ根は次のとおりです。
生成関数 球面ベッセル関数は生成関数を持つ [35]
1
z
cos
(
z
2
−
2
z
t
)
=
∑
n
=
0
∞
t
n
n
!
j
n
−
1
(
z
)
,
1
z
sin
(
z
2
−
2
z
t
)
=
∑
n
=
0
∞
t
n
n
!
y
n
−
1
(
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}
有限級数展開 整数ベッセル関数 J n ( x )、 Y n ( x ) とは対照的に、球面ベッセル関数 j n ( x )、 y n ( x )は 有限級数表現を持つ: [36]
j
n
(
x
)
=
π
2
x
J
n
+
1
2
(
x
)
=
=
1
2
x
[
e
i
x
∑
r
=
0
n
i
r
−
n
−
1
(
n
+
r
)
!
r
!
(
n
−
r
)
!
(
2
x
)
r
+
e
−
i
x
∑
r
=
0
n
(
−
i
)
r
−
n
−
1
(
n
+
r
)
!
r
!
(
n
−
r
)
!
(
2
x
)
r
]
=
1
x
[
sin
(
x
−
n
π
2
)
∑
r
=
0
[
n
2
]
(
−
1
)
r
(
n
+
2
r
)
!
(
2
r
)
!
(
n
−
2
r
)
!
(
2
x
)
2
r
+
cos
(
x
−
n
π
2
)
∑
r
=
0
[
n
−
1
2
]
(
−
1
)
r
(
n
+
2
r
+
1
)
!
(
2
r
+
1
)
!
(
n
−
2
r
−
1
)
!
(
2
x
)
2
r
+
1
]
y
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
+
1
j
−
n
−
1
(
x
)
=
(
−
1
)
n
+
1
π
2
x
J
−
(
n
+
1
2
)
(
x
)
=
=
(
−
1
)
n
+
1
2
x
[
e
i
x
∑
r
=
0
n
i
r
+
n
(
n
+
r
)
!
r
!
(
n
−
r
)
!
(
2
x
)
r
+
e
−
i
x
∑
r
=
0
n
(
−
i
)
r
+
n
(
n
+
r
)
!
r
!
(
n
−
r
)
!
(
2
x
)
r
]
=
=
(
−
1
)
n
+
1
x
[
cos
(
x
−
n
π
2
)
∑
r
=
0
[
n
2
]
(
−
1
)
r
(
n
+
2
r
)
!
(
2
r
)
!
(
n
−
2
r
)
!
(
2
x
)
2
r
+
sin
(
x
−
n
π
2
)
∑
r
=
0
[
n
−
1
2
]
(
−
1
)
r
(
n
+
2
r
+
1
)
!
(
2
r
+
1
)
!
(
n
−
2
r
−
1
)
!
(
2
x
)
2
r
+
1
]
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\frac {\pi }{2x}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}}}
微分関係 以下、 f n は j n 、 y n 、 h のいずれかである。 （１ ） 、 時間 （２ ） n = 0, ± 1, ±2, ... [37]
(
1
z
d
d
z
)
m
(
z
n
+
1
f
n
(
z
)
)
=
z
n
−
m
+
1
f
n
−
m
(
z
)
,
(
1
z
d
d
z
)
m
(
z
−
n
f
n
(
z
)
)
=
(
−
1
)
m
z
−
n
−
m
f
n
+
m
(
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}
球面ハンケル関数: h （１ ） 、 h （２ ） 第一種球面ハンケル関数のプロット h （１ ） ( x )において、 n = -0.5 で、 複素平面上の −2 − 2 i から2 + 2 i まで 第二種球面ハンケル関数のプロット h （２ ） ( x )において、 n = −0.5 で、 複素平面上の −2 − 2 i から2 + 2 i まで ハンケル関数の球状類似物も存在します。
h
n
(
1
)
(
x
)
=
j
n
(
x
)
+
i
y
n
(
x
)
,
h
n
(
2
)
(
x
)
=
j
n
(
x
)
−
i
y
n
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}
実際、半整数のベッセル 関数には標準的な三角関数 を用いた 簡単な閉形式の表現があり 、したがって球面ベッセル関数にも閉形式の表現があります。特に、非負の整数 n の場合:
h
n
(
1
)
(
x
)
=
(
−
i
)
n
+
1
e
i
x
x
∑
m
=
0
n
i
m
m
!
(
2
x
)
m
(
n
+
m
)
!
(
n
−
m
)
!
,
{\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}
と h （２ ） はこれの複素共役です（実数 x について）。したがって、例えば j 0 ( x ) = 罪 x / x そして y 0 ( x ) = − コスパ × / x など。
球面ハンケル関数は 、例えば 電磁場の多重極展開などの 球面波の 伝播を伴う問題に現れます。
リカッチ・ベッセル関数: S n 、 Cn 、 ξn ... 、 ζn ... リカッチ -ベッセル関数は球面ベッセル関数とわずかに異なります。
S
n
(
x
)
=
x
j
n
(
x
)
=
π
x
2
J
n
+
1
2
(
x
)
C
n
(
x
)
=
−
x
y
n
(
x
)
=
−
π
x
2
Y
n
+
1
2
(
x
)
ξ
n
(
x
)
=
x
h
n
(
1
)
(
x
)
=
π
x
2
H
n
+
1
2
(
1
)
(
x
)
=
S
n
(
x
)
−
i
C
n
(
x
)
ζ
n
(
x
)
=
x
h
n
(
2
)
(
x
)
=
π
x
2
H
n
+
1
2
(
2
)
(
x
)
=
S
n
(
x
)
+
i
C
n
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}
リカッチ・ベッセル関数 Sn 複素プロット（−2 − 2 i から2 + 2 i まで ） これらは微分方程式を満たす
x
2
d
2
y
d
x
2
+
(
x
2
−
n
(
n
+
1
)
)
y
=
0.
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}
例えば、この種の微分方程式は、 仮想的な円筒形の無限ポテンシャル障壁を持つ シュレーディンガー方程式 の半径成分を解くときに 量子力学に現れます。 [38] この微分方程式とリカッチ・ベッセル解は、球による電磁波の散乱の問題でも現れ、ミー（1908）による最初の解にちなんで ミー散乱と呼ばれています。最近の開発と参考文献については、例えばDu（2004） [39] を参照してください 。
Debye (1909)に従って、 S n 、 C n の代わりに ψ n 、 χ n という表記が使用されることもあります 。
ベッセル関数には以下の 漸近 形がある。引数が小さい場合 、 負の整数でないときは次式が得られる: [4]
0
<
z
≪
α
+
1
{\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}}
α
{\displaystyle \alpha }
J
α
(
z
)
∼
1
Γ
(
α
+
1
)
(
z
2
)
α
.
{\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}
α が負の整数の
とき、
J
α
(
z
)
∼
(
−
1
)
α
(
−
α
)
!
(
2
z
)
α
.
{\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}
第二種のベッセル関数には、次の 3 つのケースがあります。
ここで、 γは オイラー・マスケローニ定数 (0.5772...)です 。
Y
α
(
z
)
∼
{
2
π
(
ln
(
z
2
)
+
γ
)
if
α
=
0
−
Γ
(
α
)
π
(
2
z
)
α
+
1
Γ
(
α
+
1
)
(
z
2
)
α
cot
(
α
π
)
if
α
is a positive integer (one term dominates unless
α
is imaginary)
,
−
(
−
1
)
α
Γ
(
−
α
)
π
(
z
2
)
α
if
α
is a negative integer,
{\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer (one term dominates unless }}\alpha {\text{ is imaginary)}},\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}
大きな実引数 z ≫ | α 2 − 1 / 4 | 、第一種および第二種のベッセル関数の真の漸近形を書くことはできない（ α 半整数 で ）。なぜなら、これらの関数は 無限大まで ゼロを arg z の値が与えられた場合、 | z | −1 の項を含む方程式を書くことができる ： [40]
J
α
(
z
)
=
2
π
z
(
cos
(
z
−
α
π
2
−
π
4
)
+
e
|
Im
(
z
)
|
O
(
|
z
|
−
1
)
)
for
|
arg
z
|
<
π
,
Y
α
(
z
)
=
2
π
z
(
sin
(
z
−
α
π
2
−
π
4
)
+
e
|
Im
(
z
)
|
O
(
|
z
|
−
1
)
)
for
|
arg
z
|
<
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}
（ α = の場合 1 / 2 これらの式の最後の項は完全に消えます。上記の球状ベッセル関数を参照してください。
ハンケル関数の漸近形は次のとおりです。
H
α
(
1
)
(
z
)
∼
2
π
z
e
i
(
z
−
α
π
2
−
π
4
)
for
−
π
<
arg
z
<
2
π
,
H
α
(
2
)
(
z
)
∼
2
π
z
e
−
i
(
z
−
α
π
2
−
π
4
)
for
−
2
π
<
arg
z
<
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}
これらは、 Hに 関連する方程式を使用して arg z の他の値に拡張できます。 （１） α ( ze im π ) および H （２） α ( ze im π ) から H （１） α ( z ) と H （２） α （ z ） [41 ]
興味深いことに、第一種ベッセル関数は 2 つのハンケル関数の平均ですが、 zが負のとき J α ( z ) は これら 2 つの漸近形式の平均に漸近しません(使用される arg z に応じて、どちらか一方が正しくないため )。しかし、ハンケル関数の漸近形式により、 | z | が一定の位相角 arg z で無限大に向かう限り、 複素数 (非実数) z に対して第一種および第二種のベッセル関数の漸近形式を記述できます(正の実数部を持つ平方根を使用)。
J
α
(
z
)
∼
1
2
π
z
e
i
(
z
−
α
π
2
−
π
4
)
for
−
π
<
arg
z
<
0
,
J
α
(
z
)
∼
1
2
π
z
e
−
i
(
z
−
α
π
2
−
π
4
)
for
0
<
arg
z
<
π
,
Y
α
(
z
)
∼
−
i
1
2
π
z
e
i
(
z
−
α
π
2
−
π
4
)
for
−
π
<
arg
z
<
0
,
Y
α
(
z
)
∼
i
1
2
π
z
e
−
i
(
z
−
α
π
2
−
π
4
)
for
0
<
arg
z
<
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}
修正ベッセル関数に対して、 ハンケルは 漸近展開 も 開発した： [42] [43]
I
α
(
z
)
∼
e
z
2
π
z
(
1
−
4
α
2
−
1
8
z
+
(
4
α
2
−
1
)
(
4
α
2
−
9
)
2
!
(
8
z
)
2
−
(
4
α
2
−
1
)
(
4
α
2
−
9
)
(
4
α
2
−
25
)
3
!
(
8
z
)
3
+
⋯
)
for
|
arg
z
|
<
π
2
,
K
α
(
z
)
∼
π
2
z
e
−
z
(
1
+
4
α
2
−
1
8
z
+
(
4
α
2
−
1
)
(
4
α
2
−
9
)
2
!
(
8
z
)
2
+
(
4
α
2
−
1
)
(
4
α
2
−
9
)
(
4
α
2
−
25
)
3
!
(
8
z
)
3
+
⋯
)
for
|
arg
z
|
<
3
π
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}
漸近形（大きな実数の場合） もある [44]
z
{\displaystyle z}
I
α
(
z
)
=
1
2
π
z
1
+
α
2
z
2
4
exp
(
−
α
arsinh
(
α
z
)
+
z
1
+
α
2
z
2
)
(
1
+
O
(
1
z
1
+
α
2
z
2
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}
α = のとき 1 / 2 、最初の項以外の項はすべて消え、
I
1
/
2
(
z
)
=
2
π
sinh
(
z
)
z
∼
e
z
2
π
z
for
|
arg
z
|
<
π
2
,
K
1
/
2
(
z
)
=
π
2
e
−
z
z
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}
小さな引数については 、
0
<
|
z
|
≪
α
+
1
{\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}}
I
α
(
z
)
∼
1
Γ
(
α
+
1
)
(
z
2
)
α
,
K
α
(
z
)
∼
{
−
ln
(
z
2
)
−
γ
if
α
=
0
Γ
(
α
)
2
(
2
z
)
α
if
α
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}
プロパティ 整数次数 α = n の場合、 J n は 生成関数の
ローラン級数 によって定義されることが多く、これは 1843 年に PA Hansen
が使用したアプローチです。(これは、 等高線積分 やその他の方法によって非整数次数に一般化できます 。)
e
(
x
2
)
(
t
−
1
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
J
n
(
x
)
t
n
{\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}
の形のベッセル関数の無限級数は多くの物理系で 現れ 、ソン級数によって閉じた形で定義される。 [45] 例えば、N = 3のとき: 。より一般的には、ソン級数と交代ソン級数は次のように表される:
∑
ν
=
−
∞
∞
J
N
ν
+
p
(
x
)
{\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)}
ν
,
p
∈
Z
,
N
∈
Z
+
\nu ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+}
∑
ν
=
−
∞
∞
J
3
ν
+
p
(
x
)
=
1
3
[
1
+
2
cos
(
x
3
/
2
−
2
π
p
/
3
)
]
{\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}
∑
ν
=
−
∞
∞
J
N
ν
+
p
(
x
)
=
1
N
∑
q
=
0
N
−
1
e
i
x
sin
2
π
q
/
N
e
−
i
2
π
p
q
/
N
{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}}
∑
ν
=
−
∞
∞
(
−
1
)
ν
J
N
ν
+
p
(
x
)
=
1
N
∑
q
=
0
N
−
1
e
i
x
sin
(
2
q
+
1
)
π
/
N
e
−
i
(
2
q
+
1
)
π
p
/
N
{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}
ベッセル関数（カプタイン級数 ）
を用いた級数展開は
1
1
−
z
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
J
n
(
n
z
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz).}
整数次数に関するもう1つの重要な関係は、 ヤコビ-アンジェ展開 です。
これは
、
平面波を 円筒波の和 として展開したり 、 トーン変調された FM信号の フーリエ級数 を求めたりするために使用されます。
e
i
z
cos
ϕ
=
∑
n
=
−
∞
∞
i
n
J
n
(
z
)
e
i
n
ϕ
{\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }}
e
±
i
z
sin
ϕ
=
J
0
(
z
)
+
2
∑
n
=
1
∞
J
2
n
(
z
)
cos
(
2
n
ϕ
)
±
2
i
∑
n
=
0
∞
J
2
n
+
1
(
z
)
sin
(
(
2
n
+
1
)
ϕ
)
{\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )}
より一般的には、級数は
f
のノイマン展開と呼ばれる。ν = 0 の 係数は 明示的な形を持ち、
O k はノイマン多項式
で ある 。 [46]
f
(
z
)
=
a
0
ν
J
ν
(
z
)
+
2
⋅
∑
k
=
1
∞
a
k
ν
J
ν
+
k
(
z
)
{\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)}
a
k
0
=
1
2
π
i
∫
|
z
|
=
c
f
(
z
)
O
k
(
z
)
d
z
{\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz}
選択された関数は、直交関係により、
特別
な表現を許容する
。
f
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
ν
J
ν
+
2
k
(
z
)
{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)}
a
k
ν
=
2
(
ν
+
2
k
)
∫
0
∞
f
(
z
)
J
ν
+
2
k
(
z
)
z
d
z
{\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz}
∫
0
∞
J
α
(
z
)
J
β
(
z
)
d
z
z
=
2
π
sin
(
π
2
(
α
−
β
)
)
α
2
−
β
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}
より一般的には、 fが そのような性質の原点の近くに分岐点を持つ
場合
、または
f
の ラプラス 変換は
どこに なるか 。 [47]
f
(
z
)
=
∑
k
=
0
a
k
J
ν
+
k
(
z
)
{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)}
L
{
∑
k
=
0
a
k
J
ν
+
k
}
(
s
)
=
1
1
+
s
2
∑
k
=
0
a
k
(
s
+
1
+
s
2
)
ν
+
k
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{\nu +k}}}}
∑
k
=
0
a
k
ξ
ν
+
k
=
1
+
ξ
2
2
ξ
L
{
f
}
(
1
−
ξ
2
2
ξ
)
{\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)}
L
{
f
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}
ベッセル関数を定義する別の方法は、ポアソン表現式とメーラー・ソニン式である。
ここで ν > −
J
ν
(
z
)
=
(
z
2
)
ν
Γ
(
ν
+
1
2
)
π
∫
−
1
1
e
i
z
s
(
1
−
s
2
)
ν
−
1
2
d
s
=
2
(
z
2
)
ν
⋅
π
⋅
Γ
(
1
2
−
ν
)
∫
1
∞
sin
z
u
(
u
2
−
1
)
ν
+
1
2
d
u
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}}
1 / 2 そして z∈C です 。 [48] この式は 特にフーリエ変換
を扱うときに便利です 。
ベッセル方程式は xで割ると エルミート （自己随伴）になるため 、解は適切な境界条件に対して直交関係を満たす必要があります。特に、次の式が成り立ちます。
ここで α > −1 、 δ m 、 n は クロネッカーのデルタ 、 u α 、 m はJ α ( x ) の m 番目の 零点 です。この直交関係は、 α を固定 し mを変化させた場合の関数 J α ( x u α 、 m ) の基底で関数が展開される フーリエ・ベッセル級数 の係数を抽出するために使用できます 。
∫
0
1
x
J
α
(
x
u
α
,
m
)
J
α
(
x
u
α
,
n
)
d
x
=
δ
m
,
n
2
[
J
α
+
1
(
u
α
,
m
)
]
2
=
δ
m
,
n
2
[
J
α
′
(
u
α
,
m
)
]
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}
球面ベッセル関数についても同様の相関関係が直ちに得られます。
∫
0
1
x
2
j
α
(
x
u
α
,
m
)
j
α
(
x
u
α
,
n
)
d
x
=
δ
m
,
n
2
[
j
α
+
1
(
u
α
,
m
)
]
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}
小さなパラメータ εに依存する x の ボックスカー関数を 次のように定義します 。
f
ε
(
x
)
=
1
ε
rect
(
x
−
1
ε
)
{\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }}\right)}
（ここで rect は 矩形関数 ）そしてその ハンケル変換 （任意の次数 α > − 1 / 2 )、 g ε ( k ) は 、 任意の kに対して ε が ゼロに近づくにつれて J α ( k )に近づきます。逆に、 g ε ( k ) のハンケル変換（同じ次数）は f ε ( x ) です 。
∫
0
∞
k
J
α
(
k
x
)
g
ε
(
k
)
d
k
=
f
ε
(
x
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x)}
これは1付近を除いてどこでもゼロです。 ε が ゼロに近づくにつれて、右辺は δ ( x − 1) に近づきます。ここで δは ディラックのデルタ関数 です。これは（ 分布の 意味で）極限を許容します 。
∫
0
∞
k
J
α
(
k
x
)
J
α
(
k
)
d
k
=
δ
(
x
−
1
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)\,dk=\delta (x-1)}
変数を変更すると、 閉包方程式 が得られる。 [49]
∫
0
∞
x
J
α
(
u
x
)
J
α
(
v
x
)
d
x
=
1
u
δ
(
u
−
v
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)}
α > − 1 / 2 . ハンケル変換は、異なるスケールのベッセル関数の積分として、かなり任意の関数 [ 説明が必要 ] を表現できます。球面ベッセル関数の場合、直交関係は
α > −1
の場合 。
∫
0
∞
x
2
j
α
(
u
x
)
j
α
(
v
x
)
d
x
=
π
2
u
v
δ
(
u
−
v
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2uv}}\delta (u-v)}
ベッセル方程式のもう 1 つの重要な性質は、 アーベルの恒等式 から導かれるもので、 解の
Wronskian に関係します。
ここで、 A α と B α は ベッセル方程式の任意の 2 つの解であり、 C α は x に依存しない定数です (x は α と、考慮する特定のベッセル関数によって異なります)。特に、
α > −1
の場合には
と
なります 。
A
α
(
x
)
d
B
α
d
x
−
d
A
α
d
x
B
α
(
x
)
=
C
α
x
{\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}}
J
α
(
x
)
d
Y
α
d
x
−
d
J
α
d
x
Y
α
(
x
)
=
2
π
x
{\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x}}}
I
α
(
x
)
d
K
α
d
x
−
d
I
α
d
x
K
α
(
x
)
=
−
1
x
,
{\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}},}
α > −1 の場合 、種数1の偶関数 x − α J α ( x ) は実零点のみを持つ。
その正の零点すべてを とすると、
0
<
j
α
,
1
<
j
α
,
2
<
⋯
<
j
α
,
n
<
⋯
{\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots }
J
α
(
z
)
=
(
z
2
)
α
Γ
(
α
+
1
)
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
j
α
,
n
2
)
{\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}}\right)}
(ここには記載されていないが、参考文献に記載されている他の既知の積分や恒等式が多数あります。)
再帰関係 関数 J α 、 Y α 、 H （１） α 、および H （２） α はすべて再帰関係 [50] を満たし
、
ここで Z は J 、 Y 、 H (1) 、または H (2) を表します 。これら 2 つの恒等式は、多くの場合、加算または減算などして組み合わせることで、さまざまな他の関係式を生成します。この方法で、たとえば、より低次の値 (またはより低次の導関数) が与えられた場合に、より高次の値 (またはより高次の導関数) のベッセル関数を計算することができます。特に、次の式から次の式が得られます [51]
2
α
x
Z
α
(
x
)
=
Z
α
−
1
(
x
)
+
Z
α
+
1
(
x
)
{\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)}
2
d
Z
α
(
x
)
d
x
=
Z
α
−
1
(
x
)
−
Z
α
+
1
(
x
)
,
{\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x),}
(
1
x
d
d
x
)
m
[
x
α
Z
α
(
x
)
]
=
x
α
−
m
Z
α
−
m
(
x
)
,
(
1
x
d
d
x
)
m
[
Z
α
(
x
)
x
α
]
=
(
−
1
)
m
Z
α
+
m
(
x
)
x
α
+
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}
修正 ベッセル関数も同様の関係に従う：
および
および
e
(
x
2
)
(
t
+
1
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
I
n
(
x
)
t
n
{\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t+{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}}
e
z
cos
θ
=
I
0
(
z
)
+
2
∑
n
=
1
∞
I
n
(
z
)
cos
n
θ
{\displaystyle e^{z\cos \theta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos n\theta }
1
2
π
∫
0
2
π
e
z
cos
(
m
θ
)
+
y
cos
θ
d
θ
=
I
0
(
z
)
I
0
(
y
)
+
2
∑
n
=
1
∞
I
n
(
z
)
I
m
n
(
y
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{z\cos(m\theta )+y\cos \theta }d\theta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}
再帰関係は、
C α が I α または e αi π K α を表す場合、次
のように表されます 。これらの再帰関係は、離散拡散問題に役立ちます。
C
α
−
1
(
x
)
−
C
α
+
1
(
x
)
=
2
α
x
C
α
(
x
)
,
C
α
−
1
(
x
)
+
C
α
+
1
(
x
)
=
2
d
d
x
C
α
(
x
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}}
超越 1929年、 カール・ルートヴィヒ・シーゲルは 、 J ν ( x ) 、 J ' ν ( x ) 、および 対数微分 J'ν ( x ) の / Jν ( x ) は 、 ν が有理数で x が代数的かつ非ゼロの とき 超越数 である 。 [52] 同じ証明は、 同じ仮定の下で K ν ( x )が超越数であることも意味する。 [53]
ベッセル関数による和 2つのベッセル関数の積は、次の和をとる。
これらの等式から、次の式が成り立ち
、結果として
∑
ν
=
−
∞
∞
J
ν
(
x
)
J
n
−
ν
(
y
)
=
J
n
(
x
+
y
)
,
{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{n-\nu }(y)=J_{n}(x+y),}
∑
ν
=
−
∞
∞
J
ν
(
x
)
J
ν
+
n
(
y
)
=
J
n
(
y
−
x
)
.
{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(y)=J_{n}(y-x).}
∑
ν
=
−
∞
∞
J
ν
(
x
)
J
ν
+
n
(
x
)
=
δ
n
,
0
{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)=\delta _{n,0}}
∑
ν
=
−
∞
∞
J
ν
2
(
x
)
=
1.
{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }^{2}(x)=1.}
これらの和は多項式前因子に拡張できる。例えば、
∑
ν
=
−
∞
∞
ν
J
ν
(
x
)
J
ν
+
n
(
x
)
=
x
2
(
δ
n
,
1
+
δ
n
,
−
1
)
,
{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,1}+\delta _{n,-1}\right),}
∑
ν
=
−
∞
∞
ν
J
ν
2
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }^{2}(x)=0,}
∑
ν
=
−
∞
∞
ν
2
J
ν
(
x
)
J
ν
+
n
(
x
)
=
x
2
(
δ
n
,
−
1
−
δ
n
,
1
)
+
x
2
4
(
δ
n
,
−
2
+
2
δ
n
,
0
+
δ
n
,
2
)
,
{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,-1}-\delta _{n,1}\right)+{\frac {x^{2}}{4}}\left(\delta _{n,-2}+2\delta _{n,0}+\delta _{n,2}\right),}
∑
ν
=
−
∞
∞
ν
2
J
ν
2
(
x
)
=
x
2
2
.
{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }^{2}(x)={\frac {x^{2}}{2}}.}
乗法定理 ベッセル関数は、 λ と νを 任意の複素数としてとることができる 乗法定理に従います。 [54] [55] | λ 2 − 1 | < 1 の場合
、 [ 54]上記の式は、 Jを Y に置き換えて も成立します。修正ベッセル関数と | λ 2 − 1 | < 1 の場合の同様の恒等式は、および です
。
λ
−
ν
J
ν
(
λ
z
)
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
(
(
1
−
λ
2
)
z
2
)
n
J
ν
+
n
(
z
)
,
{\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(1-\lambda ^{2}\right)z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}
λ
−
ν
I
ν
(
λ
z
)
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
(
(
λ
2
−
1
)
z
2
)
n
I
ν
+
n
(
z
)
{\displaystyle \lambda ^{-\nu }I_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}I_{\nu +n}(z)}
λ
−
ν
K
ν
(
λ
z
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
!
(
(
λ
2
−
1
)
z
2
)
n
K
ν
+
n
(
z
)
.
{\displaystyle \lambda ^{-\nu }K_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}K_{\nu +n}(z).}
ベッセル関数の零点
ブルジェの仮説 ベッセル自身が、非負整数 n に対して、方程式 J n ( x ) = 0 は x に関して無限個の解を持つことを証明した 。 [56] しかし、関数 J n ( x ) を同じグラフにプロットすると、 x = 0 の零点を除いて、異なる n の値に対して零点が一致しないように見える。この現象は 、ベッセル関数を研究した 19 世紀フランスの数学者にちなんで、 ブールジェの仮説 として知られている。具体的には、任意の整数 n ≥ 0 および m ≥ 1 に対して、関数 J n ( x ) と J n + m ( x )は x = 0 の零点以外に共通の零点を持たないと述べている。この仮説は 、1929 年に カール・ルートヴィヒ・シーゲル によって証明された 。[57]
超越 シーゲルは 1929年に、 ν が有理数のとき、 Jν (x) と J'ν (x) のすべての非零根は 超越 根 で あること 、 [58] Kν (x) のすべての根が超越根であることを証明した 。 [53]また、 n≤18 の高階導関数の根は 、 特殊な値とを除いてすべて超越根である こと が 知られている 。 [58]
J
ν
(
n
)
(
x
)
{\displaystyle J_{\nu }^{(n)}(x)}
J
1
(
3
)
(
±
3
)
=
0
{\displaystyle J_{1}^{(3)}(\pm {\sqrt {3}})=0}
J
0
(
4
)
(
±
3
)
=
0
{\displaystyle J_{0}^{(4)}(\pm {\sqrt {3}})=0}
数値的アプローチ Bessel 関数の零点に関する数値研究については、Gil、Segura & Temme (2007)、Kravanja et al. を参照してください。 （1998）およびモーラー（2004）。
数値 J0 の最初のゼロ （すなわちj0,1 、 j0,2 、 j0,3 ） は、それぞれ約2.40483、5.52008、8.65373の引数で発生します。 [59]
参照
注記
^ Wilensky, Michael; Brown, Jordan; Hazelton, Bryna (2023年6月). 「再イオン化21cmパワースペクトル測定の時代にガウス誤差分布を期待する理由と時期」. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 521 (4): 5191–5206. arXiv : 2211.13576 . doi : 10.1093/mnras/stad863 . ^ Weisstein, Eric W. 「第2種の球面ベッセル関数」 。MathWorld 。 ^ ab Weisstein, Eric W. 「第2種のベッセル関数」 。MathWorld 。 ^ ab アブラモヴィッツとステガン、p. 360、9.1.10。 ^ ウィテカー、エドマンド・テイラー 、 ワトソン、ジョージ・ネヴィル （1927年）。 『現代分析講座』 （第4版）。ケンブリッジ大学出版局。356ページ。 たとえば、Hansen (1843) や Schlömilch (1857) などです。 ^ アブラモヴィッツとステガン、p. 358、9.1.5。 ^ ab Temme, Nico M. (1996). 特殊関数: 数理物理学の古典関数入門 (第2版). ニューヨーク: Wiley. pp. 228–231. ISBN 0471113131 。 ^ ワイスタイン、エリック・W. 「ハンセン・ベッセルの公式」。 マスワールド 。 ^ Bessel, F. (1824)。関連する積分は、式 28 と 29 の間の番号なしの式です。Bessel の積分は 現在では と表記されることに注意してください 。
I
k
h
{\displaystyle I_{k}^{h}}
J
h
(
k
)
{\displaystyle J_{h}(k)}
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参考文献
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外部リンク
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.png/500px-BesselJ(.5,z).png)
_with_n=0.5_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/500px-thumbnail.svg.png)
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(z)_with_n=-0.5_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/500px-thumbnail.svg.png)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa434f6bcee175b4ff90fde5ba2fb596a41b90c3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi}J_ {\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2748efe7f4138a71b2bf84ed77bc90d4bf0810)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x), \\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f0226c9673919c5c9a95041395384711081474)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f3ac2da371d4ddcb7b0694f5e7fca8c7453803)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28973dd4cdae45d03d4ed47926313658638682d6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0b68640cfbec56a6b6ad53c432371549dcfedd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_ {\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4460424d9d6b98161589dd4aa46ad6429678c189)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c907de8d37caf8e5e482ce5005e8941ab401bd4b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526dd0ae355e44f4bd2608b20d39d07da0fff979)
_with_n=0.5_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/500px-thumbnail.svg.png)
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.svg/500px-Spherical_Bessel_j_Functions_(n=0,1,2).svg.png)
.svg/500px-Spherical_Bessel_y_Functions_(n=0,1,2).svg.png)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\frac {\pi }{2x}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{rn-1}(n+r)!}{r!(nr)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{rn-1}(n+r)!}{r!(nr)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(nr)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(nr)!(2x)^{r}}}\right]=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb3372a5d9d734b5aa2e867e7d28a7a2b825cd2)
(z)_with_n=-0.5_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/500px-thumbnail.svg.png)
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![{\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ が正の整数の場合（}}\alpha {\text{ が虚数でない限り、1 つの項が優勢）}},\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0478d18ffc1f12108ee81de9db5e1f89f322db6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac { \alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }} -\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\ left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{}}0<\arg z<\pi の場合。 \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c892df890c00f5a4bc2d13ae3b02ea0abb79aec1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57e4803db262b5efdc20c32da3835c3fd4f0f9d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{ \sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2} }}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec3a7941e679aaacaf61d90117613ee90a23851)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfbbf3eae419f2a44adfb496e7ccb657439bdaf7)
![{\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos { (x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eaa4c63e9da373d3678e16136bd9a11688985bd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248363b3af99701e32dcec48127f0dfc6e7586bf)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4901ce8ec95f647c69297f8a6a92d245466ba632)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de6fbc1b8ac85fb7dd6253a931d1b78cec9b89ae)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59565e99a36cfef8426d543521d8e4df7bc07a2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8390e0da90e49d8017a003ce6e00d8a2358dc06)
