逆散乱変換

数学において、逆散乱変換は、波の散乱に関連する数学的手法を使用して非線形偏微分方程式の初期値問題を解く方法です。^{[1] ：4960}直接散乱変換は、 関数がどのように波を散乱するか、または境界状態を生成するかを記述します。^{[2] ：39〜43} 逆散乱変換は、波の散乱データを使用して、波の散乱の原因となる関数を構築します。^{[2] ：66〜67}直接散乱変換と逆散乱変換は、線形偏微分方程式を解くために使用される直接フーリエ変換 と逆フーリエ変換に類似しています。^{[2] ：66〜67}

一対の微分演算子を使用して、3段階のアルゴリズムで非線形微分方程式を解くことができます。つまり、初期解を散乱データに変換し（直接散乱変換）、散乱データを時間的に前進させ（時間的発展）、散乱データを時間的に前進させて解を再構築します（逆散乱変換）。^{[2] ：66–67}

このアルゴリズムは、非線形偏微分方程式を解くことを2つの線形常微分方程式と1つの常積分方程式を解くことに簡略化し、最終的には、解くのが困難な多くの非線形偏微分方程式の解析解につながる方法である。 ^{[2] : 72}

逆散乱問題は、少なくとも 1 つの空間次元の方程式の場合、リーマン-ヒルベルト因数分解問題と同等です。 ^[3]この定式化は、2 以上の次数の微分演算子や周期問題にも一般化できます。^[4] より高い空間次元では、代わりに「非局所的」リーマン-ヒルベルト因数分解問題 (乗算の代わりに畳み込みを使用) または d バー問題が発生します。

逆散乱変換は孤立波の研究から生まれた。JS ラッセルは浅瀬で発生する「並進波」または「孤立波」について説明した。^[5]最初にJV ブシネスクが、後にD. コルテウェグとG. デブリースがコルテウェグ・デブリース (KdV) 方程式を発見した。これはこれらの波を記述する非線形偏微分方程式である。^[5] その後、N. ザブスキーおよび M. クラスカルは、フェルミ・パスタ・ウラム・ツィンゴウ問題を調査するための数値的手法を使用して、孤立波が衝突粒子の弾性特性を持つことを発見した。つまり、波の初期および最終的な振幅と速度は、波の衝突後も変化しない。^{[5]これらの粒子のような波は}ソリトン と呼ばれ、分散効果と非線形効果の間の弱いバランスのために非線形方程式で発生する。^[5]

ガードナー、グリーン、クラスカル、三浦は、コルテヴェク・ド・フリース方程式を解くための逆散乱変換を導入した。^[6] ラックス、アブロウィッツ、カウプ、ニューウェル、セガーはこのアプローチを一般化し、非線形シュレーディンガー方程式、サインゴードン方程式、修正コルテヴェク・ド・フリース方程式、カドムツェフ・ペトビアシビリ方程式、石森方程式、戸田格子方程式、およびディム方程式を含む他の非線形方程式を解くことに成功した。^{[5] [7] [8]} このアプローチは、微分差分方程式、偏差分方程式、多次元方程式、分数積分非線形システムなど、さまざまな種類の非線形方程式にも適用されている。^[5]

独立変数は空間変数と時間変数である。添え字または微分演算子（）は微分を表す。関数は、初期条件（値）を持つ非線形偏微分方程式の解である。^{[2] ：72}${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\textstyle \partial _{x},\partial _{t}}$${\displaystyle u(x,t)}$${\textstyle u_{t}+N(u)=0}$ ${\textstyle u(x,0)}$

微分方程式の解は積分可能性とファデーエフ条件を満たす: ^{[2] : 40}

積分可能性条件:${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ |u(x)|\ dx\ <\infty }$

ファデエフの状態:${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ (1+|x|))|u(x)|\ dx\ <\infty }$

Lax微分作用素、およびは、関数またはその導関数を含む係数を持つ線型常微分作用素である。自己随伴作用素は時間導関数を持ち、固有関数と時間定数の固有値（スペクトルパラメータ）を持つ固有値（スペクトル）方程式を生成する。^{[1] ：4963  [2] ：98}${\textstyle L}$${\textstyle M}$${\textstyle u(x,t)}$ ${\textstyle L}$${\textstyle L_{t}}$ ${\textstyle \psi }$${\textstyle \lambda }$

${\displaystyle L(\psi )=\lambda \psi ,\ }$そして${\textstyle \ L_{t}(\psi ){\overset {def}{=}}(L(\psi ))_{t}-L(\psi _{t})}$

演算子は、固有関数が時間の経過とともにどのように変化するかを記述し、の固有関数から演算子の新しい固有関数を生成します。^{[1] ：4963}${\textstyle M}$${\textstyle {\widetilde {\psi }}}$${\textstyle L}$${\textstyle \psi }$${\textstyle L}$

${\displaystyle {\widetilde {\psi }}=\psi _{t}-M(\psi )\ }$

Lax演算子を組み合わせると、微分演算子ではなく、固有関数の乗法演算子が形成されます。^{[1] : 4963}${\textstyle \psi }$

${\displaystyle (L_{t}+LM-ML)\psi =0}$

Lax演算子は乗法演算子を非線形微分方程式と等しくするために選択される。^{[1] : 4963}

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}+N(u)=0}$

アブロウィッツ、カウプ、ニューウェル、セガーによって開発されたAKNS微分演算子は、ラックス微分演算子の代替であり、同様の結果を達成します。[ 1 ^{] : 4964  [9] [10]}

直接散乱変換は初期散乱データを生成する。これには、この微分方程式の固有関数解の反射係数、透過係数、固有値データ、および正規化定数が含まれる場合がある。^{[2] : 39–48}

${\displaystyle L(\psi )=\lambda \psi }$

散乱データが時間とともにどのように変化するかを表す方程式は、時間に関する1次線形常微分方程式の解として現れる。さまざまなアプローチを使用すると、この1次線形微分方程式は、線形微分演算子（Laxペア、AKNSペア）、線形微分演算子と非線形微分方程式の組み合わせ、または追加の置換、積分、または微分演算によって生じる可能性がある。空間的に漸近的な方程式（）は、これらの微分方程式を解くことを簡素化する。^{[1] ：4967–4968  [2] ：68–72  [6]}${\textstyle x\to \pm \infty }$

マルチェンコ方程式は散乱データを線形フレドホルム積分方程式に統合する。この積分方程式の解は非線形微分方程式の解u(x,t)につながる。^{[2] : 48–57}

非線形微分 Korteweg-De Vries 方程式は ^{[11] : 4 です。}

${\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

Lax演算子は以下のとおりである: ^{[2] : 97–102}

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u(x,t)\ }$ そして${\textstyle \ M=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}}$

乗算演算子は次のとおりです。

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

この微分方程式の解は

${\textstyle L(\psi )=-\psi _{xx}+u(x,0)\psi =\lambda \psi }$

連続した範囲の固有値を持つ散乱解（連続スペクトル）と離散的な固有値を持つ境界状態解（離散スペクトル）が含まれる場合があります。散乱データには、透過係数、左反射係数、右反射係数、離散固有値、および左および右の境界状態正規化（ノルム）定数が含まれます。^{[1] ：4960}${\textstyle T(k,0)}$${\textstyle R_{L}(k,0)}$${\textstyle R_{R}(k,0)}$${\textstyle -\kappa _{1}^{2},\ldots ,-\kappa _{N}^{2}}$

${\displaystyle c(0)_{Lj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{L}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}$

${\displaystyle c(0)_{Rj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{R}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}$

空間的に漸近的な左および右のジョスト関数は このステップを簡素化します。^{[1] : 4965–4966}${\textstyle \psi _{L}(k,x,t)}$${\textstyle \psi _{R}(k,x,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(x,k,t)&=e^{ikx}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{L}(x,k,t)&={\frac {e^{ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{L}(k,t)e^{-ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to -\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&={\frac {e^{-ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{R}(k,t)e^{ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&=e^{-ikx}+o(1),\ x\to -\infty \\\end{aligned}}}$

依存定数は 右と左のジョスト関数と右と左の正規化定数を関連付けます。^{[1] : 4965–4966}${\textstyle \gamma _{j}(t)}$

${\displaystyle \gamma _{j}(t)={\frac {\psi _{L}(x,i\kappa _{j},t)}{\psi _{R}(x,i\kappa _{j},t)}}=(-1)^{N-j}{\frac {c_{Rj}(t)}{c_{Lj}(t)}}}$

Lax微分演算子は、他の固有関数の時間依存線形結合として表現できる固有関数を生成する。^{[1] : 4967}${\textstyle M}$

${\displaystyle \partial _{t}\psi _{L}(k,x,t)-M\psi _{L}(x,k,t)=a_{L}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{L}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}$

${\displaystyle \partial _{t}\psi _{R}(k,x,t)-M\psi _{R}(x,k,t)=a_{R}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{R}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}$

これらの微分方程式の解は散乱と境界状態の空間的に漸近的なジョスト関数を用いて決定され、透過係数は時間一定であるが、反射係数と正規化係数は時間に依存することを示している。^{[1] : 4967–4968}${\textstyle T(k,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{L}(k,t)&=R_{L}(k,0)e^{-i8k^{3}t}\\R_{R}(k,t)&=R_{R}(k,0)e^{+i8k^{3}t}\\c_{Lj}(t)&=c_{Lj}(0)e^{+4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\\c_{Rj}(t)&=c_{Rj}(0)e^{-4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\end{aligned}}}$

マルチェンコ核は^{[1] ：4968–4969}である。${\textstyle F(x,t)}$

${\displaystyle F(x,t){\overset {def}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }R_{R}(k,t)e^{ikx}\ dk+\sum _{j=1}^{N}c(t)_{Lj}^{2}e^{-\kappa _{j}x}}$

マルチェンコ積分方程式は、について解かれる線形積分方程式である。^{[1] : 4968–4969}${\textstyle K(x,y,t)}$

${\displaystyle K(x,z,t)+F(x+z,t)+\int _{x}^{\infty }K(x,y,t)F(y+z,t)\ dy=0}$

マルチェンコ方程式の解は、非線形偏微分方程式の解を生成する。 ^{[1] : 4969}${\textstyle K(x,y,t)}$${\textstyle u(x,t)}$

${\displaystyle u(x,t)=-2{\frac {\partial K(x,x,t)}{\partial x}}}$

• コルテヴェク・ド・フリース方程式
• 非線形シュレーディンガー方程式
• カマッサ・ホルム方程式
• サイン・ゴードン方程式
• 戸田格子
• 石森方程式
• Dym方程式

• 量子逆散乱法
• 積分可能なシステム

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• 「IST に関する入門的な数学論文」(PDF)。 (300  KB )
• 逆散乱変換とソリトン理論