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数学において、指標群とは、複素数値関数によるアーベル群の表現の群である。これらの関数は 1 次元行列表現と考えることができるため、指標理論の関連コンテキストで生じる群指標の特殊なケースである。群が行列によって表現されるときは常に、行列のトレースによって定義される関数は指標と呼ばれる。ただし、これらのトレースは一般に群を形成しない。これらの 1 次元指標の重要な特性のいくつかは、指標一般に当てはまる。

• 文字は共役類に対して不変です。
• 既約表現の文字は直交します。

有限アーベル群の指標群は、主に整数論において、ディリクレ指標を構成するために使用されます。巡回群の指標群は、離散フーリエ変換の理論にも登場します。局所コンパクトアーベル群の場合、指標群（連続性を仮定）はフーリエ解析の中心となります。

をアーベル群とします。非ゼロ複素数群に写像する関数は、それが群準同型である場合、つまりすべての に対してである場合、の指標と呼ばれます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f(g_{1}g_{2})=f(g_{1})f(g_{2})}$${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$

が有限群（またはより一般的には捩れ群）の指標である場合、各関数値は1 の根です。これは、各に対してとなるようなが存在するためであり、したがって です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f(g)}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle g^{k}=e}$${\displaystyle f(g)^{k}=f(g^{k})=f(e)=1}$

各文字fはGの共役類上の定数、つまりf ( hgh ⁻¹ ) = f ( g ) です。このため、文字はクラス関数と呼ばれることもあります。

n位 の有限アーベル群には、ちょうどn 個の異なる指標があります。これらはf ₁、...、f _nで表されます。関数f ₁は、すべての に対してで与えられる自明な表現です。これはGの主指標と呼ばれ、その他は非主指標と呼ばれます。 ${\displaystyle f_{1}(g)=1}$${\displaystyle g\in G}$

G がアーベル群である場合、指標f _kの集合は点ごとの乗法の下でアーベル群を形成します。つまり、指標と の積は、すべての に対してによって定義されます。この群はGの指標群であり、 と表記されることもあります。 の単位元は主指標f _{1であり、指標}f _kの逆数はその逆数 1/ f _kです。 がn次有限である場合、もn次です。この場合、すべての に対して であるため、指標の逆数は複素共役に等しくなります。 ${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle f_{k}}$${\displaystyle (f_{j}f_{k})(g)=f_{j}(g)f_{k}(g)}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle |f_{k}(g)|=1}$${\displaystyle g\in G}$

^{特徴群の別の定義[1] pg 29} があり、これはだけではなく をターゲットとして使います。これは複素トーラスを研究するときに便利です。なぜなら、複素トーラス内の格子の特徴群は、アペル・ハンバート定理によって双対トーラスに標準同型だからです。つまり、${\displaystyle U(1)=\{z\in \mathbb {C} ^{*}:|z|=1\}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle V/\Lambda }$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong V^{\vee }\!/\Lambda ^{\vee }=X^{\vee }}$

文字群の明示的な要素は次のように表現できる。文字群の要素は次のように表現できることを思い出してほしい。${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle e^{2\pi ix}}$

に対してである。格子を の基礎となる実ベクトル空間の部分群として考えると、準同型${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \phi :\Lambda \to U(1)}$

マップとして因数分解できる

${\displaystyle \phi :\Lambda \to \mathbb {R} \xrightarrow {\exp({2\pi i\cdot })} U(1)}$

これは準同型写像の基本的性質から導かれる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (x+y)&=\exp({2\pi i}f(x+y))\\&=\phi (x)+\phi (y)\\&=\exp(2\pi if(x))\exp(2\pi if(y))\end{aligned}}}$

望ましい因数分解が得られる。グループ

${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,\mathbb {R} )\cong {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )}$

群としての指標群の同型性は、 の準同型群と同型である。任意のアーベル群 に対して、${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ,G)\cong G}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{2n}}$

複素指数関数と合成すると、

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},U(1))\cong \mathbb {R} ^{2n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$

これは予想通りの結果です。

全ての有限生成アーベル群は

${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{m}\mathbb {Z} /a_{i}}$

指標群は、すべての有限生成ケースで簡単に計算できます。普遍的な性質と有限積と余積の同型性から、の指標群は${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{k}{\text{Hom}}(\mathbb {Z} /n_{i},\mathbb {C} ^{*})}$

最初のケースでは、これは と同型であり、2 番目のケースは、ジェネレータを1 の - 乗根のさまざまな累乗に送るマップを調べることによって計算されます。 ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}}$${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} /n_{i}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \zeta _{n_{i}}=\exp(2\pi i/n_{i})}$

行列A = A ( G )を考えます。この行列の要素は、Gのk番目の要素です。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A_{jk}=f_{j}(g_{k})}$${\displaystyle g_{k}}$

Aのj行目の要素の合計は次のように表される。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{jk}=\sum _{k=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$ならば、そして${\displaystyle j\neq 1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{1k}=n}$。

Aのk番目の列の要素の合計は次のように表される。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{jk}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$ならば、そして${\displaystyle k\neq 1}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{j1}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(e)=n}$。

をAの共役転置と表すと、 ${\displaystyle A^{\ast}}$

${\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A=nI}$。

これは、文字の望ましい直交関係を意味します。つまり、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{f_{k}}^{*}(g_{i})f_{k}(g_{j})=n\delta _{ij}}$、

ここで はクロネッカーのデルタであり、は の複素共役です。 ${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle f_{k}^{*}(g_{i})}$${\displaystyle f_{k}(g_{i})}$

• ポントリャーギンの二重性

• アポストル、トム・M.（1976）「解析的数論入門」、Undergraduate Texts in Mathematics、ニューヨーク・ハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBNの第6章を参照。 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001