局所的に積分可能な関数

定義 1 . ^{[ 2 ]}とする${\textstyle \Omega }$ユークリッド空間における開集合である$\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$そして${\textstyle f:\Omega \to {\mathbb {C}}}$ルベーグ可測関数である。${\textstyle f}$の上${\textstyle \Omega }$は、

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

すなわち、そのルベーグ積分は全てのコンパクト部分集合上で有限である。${\textstyle K}$の${\textstyle \Omega }$[ ^{3 ]}すると^​${\textstyle f}$は局所的に積分可能である と呼ばれる。このような関数の集合はで表される。${\textstyle L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$:

${\displaystyle L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ 可測}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}},}$

どこ${\textstyle \left.f\right|_{K}}$制限を表す${\textstyle f}$ セットへ${\textstyle K}$。

定義2．^{[ 4 ]}​${\textstyle \Omega }$ユークリッド空間における開集合である$\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$.次に関数${\textstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$そのため

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

各テスト関数について${\textstyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$は局所的に積分可能と呼ばれ、そのような関数の集合はで表される。${\textstyle L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$。 ここ、${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$は、無限回微分可能な関数の集合を表す。${\textstyle \varphi \colon \Omega \to {\mathbb {R}}}$コンパクトなサポートが${\textstyle \Omega }$。

この定義は、ニコラ・ブルバキ学派によって開発された、位相ベクトル空間上の連続線形汎関数の概念に基づく測度および積分理論へのアプローチにルーツを持つ。 ^{[ 5 ]}また、これはストリチャルツ（2003）およびマズヤ＆シャポシュニコワ（2009 、p.34 ）によっても採用されている。^{[ 6 ]}この「分布理論」の定義は、次の補題が証明するように、標準的な定義と同等である。 

補題１．与えられた関数${\textstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$定義 1に従って局所的に積分可能であるのは、定義 2に従って局所的に積分可能である場合のみである。

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}$

補題１の証明 

部分のみ:${\textstyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$テスト関数とする。その上限ノルムによって制限される。${\textstyle \lVert \varphi \rVert _{\infty }}$測定可能でコンパクトなサポートを備えているので、それを${\textstyle K}$したがって、

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty }$

定義 1による。

部分の場合：${\textstyle K}$開集合のコンパクト部分集合である${\textstyle \Omega }$まず、テスト関数を作成します。${\textstyle \varphi _{K}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$これは指標関数を優先する$\chi_K$の${\textstyle K}$通常の距離^{[ 7 ]}は${\textstyle K}$そして境界${\textstyle \partial \Omega }$厳密にゼロより大きい、つまり、

${\displaystyle \Delta$ :=d(K,\partial \Omega )>0,}

したがって、実数を選択することが可能です${\textstyle \delta }$そのため${\textstyle \デルタ >2\デルタ >0}$（もし${\textstyle \partial \Omega }$は空集合です。${\textstyle \Delta =\infty }$）。 させて$\textstyle K_{\delta }}$そして${\textstyle K_{2\delta }}$閉じた${\textstyle \delta }$-近隣と$2デルタ$-近隣${\textstyle K}$それぞれ。同様にコンパクトで、

${\displaystyle K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.}$

次に畳み込みを使用して関数を定義します${\textstyle \varphi _{K}:\Omega \to \mathbb {R} }$による

${\displaystyle \varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(xy)\,\mathrm {d} y,}$

どこ${\textstyle \varphi _{\delta }}$は、標準的な正の対称性を持つものを使用して構築されたモルファです。明らかに$\varphi_K$は、次の意味で非負である。${\textstyle \varphi _{K}\geq 0}$無限に微分可能であり、そのサポートは${\textstyle K_{2\delta }}$特に、これはテスト関数です。${\textstyle \varphi _{K}(x)=1}$すべての人々のために${\textstyle x\in K}$我々はそれを持っている${\textstyle \chi _{K}\leq \varphi _{K}}$。

させて${\textstyle f}$定義 2に従って局所的に積分可能な関数である。

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .}$

これはすべてのコンパクト部分集合に対して成り立つので${\textstyle K}$の${\textstyle \Omega }$関数${\textstyle f}$定義 1 によれば、局所的に積分可能である。□

局所的に積分可能な関数の古典的な定義 1は、測度論的および位相的^{[ 8 ]}概念のみを含むため、位相測度空間上の抽象的な複素数値関数にも適用できる。${\textstyle (X,\Sigma ,\mu )}$^{[ 9 ]}それにもかかわらず、局所的に積分可能な関数の概念は、一般化された測度空間上でも定義することができる。${\textstyle (X,{\mathcal {C}},\mu )}$、 どこ${\textstyle {\mathcal {C}}}$はもはやシグマ代数である必要はなく、集合の環であるだけでよく、特に、${\textstyle X}$位相空間の構造を持つ必要はない。

定義1A . ^{[ 10 ]}とする${\textstyle (X,{\mathcal {C}},\mu )}$順序付きトリプルである${\textstyle X}$は空でない集合です。${\textstyle {\mathcal {C}}}$は集合の環であり、${\textstyle \mu }$肯定的な尺度${\textstyle {\mathcal {C}}}$さらに、${\textstyle f}$関数である${\textstyle X}$バナッハ空間へ${\textstyle B}$または拡張された実数直線${\textstyle {\overline {\mathbb {R} }}}$。 それから${\textstyle f}$は、に関して局所的に積分可能であると言われている。${\textstyle \mu }$すべての集合に対して${\textstyle K\in {\mathcal {C}}}$関数${\textstyle f\cdot \chi _{K}}$に関して積分可能である${\textstyle \mu }$。

定義 1と定義 1Aの等価性${\textstyle X}$位相空間であることは、集合の環を構成することによって証明できる。${\textstyle {\mathcal {C}}}$セットから${\textstyle {\mathcal {K}}}$コンパクトサブセットの${\textstyle X}$以下の手順に従ってください。

1. 明らかに${\textstyle \emptyset \in {\mathcal {K}}}$さらに、組合の活動${\textstyle \cup }$交差点${\textstyle \cap }$作る${\textstyle {\mathcal {K}}}$最小上限を持つ格子${\textstyle \vee \equiv \cup }$ および最大下限${\textstyle \wedge \equiv \cap }$[ ^{11 ]​}
2. 集合のクラス${\textstyle {\mathcal {D}}}$定義される${\textstyle {\mathcal {D}}\triangleq \{A\setminus B\mid A,B\in {\mathcal {K}}\}}$は、次のような集合の半環である^{[ 11 ]}${\textstyle {\mathcal {D}}\supset {\mathcal {K}}}$状態のため${\textstyle \emptyset \in {\mathcal {K}}}$。
3. 集合のクラス${\textstyle {\mathcal {C}}}$定義される$\textstyle {\mathcal {C}}\triangleq \{\cup _{i=1}^{n}A_{i}\mid A_{i}\in {\mathcal {D}}{\text{ かつ }}A_{i}\cap A_{j}=\emptyset {\text{ if }}i\neq j\}}$すなわち、互いに素な集合の有限和集合によって形成されるクラス${\textstyle {\mathcal {D}}}$は集合の環であり、正確には によって生成される最小の環である。${\textstyle {\mathcal {K}}}$[ ^{12 ]​}

この抽象的な枠組みによって、ディンクレアーヌ（1966 、pp. 163–188）は、局所的に積分可能な関数のいくつかの性質を列挙し証明しています。しかしながら、位相構造を定義する必要なくこのより一般的な枠組みで作業することが可能であっても、このような関数の最も一般的な応用はユークリッド空間上の分布理論であり、^{[ 2 ]}したがってその定義域は常に位相空間の部分集合であるため、以下の節で提示されるすべての定義と性質は、後者の重要なケースのみを明示的に扱っています。 

定義3. [ ^{13 ]と}する${\textstyle \Omega }$ユークリッド空間における開集合である$\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$そして ${\textstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ルベーグ可測関数である。与えられたに対して、${\textstyle p}$と${\textstyle 1\leq p\leq +\infty }$、${\textstyle f}$満たす

${\displaystyle \int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

つまり、それは${\textstyle L_{p}(K)}$すべてのコンパクト部分集合について${\textstyle K}$の${\textstyle \Omega }$、 それから${\textstyle f}$ローカルでは${\textstyle p}$-積分可能またはまた${\textstyle p}$-局所的に積分可能である。^{[ 13 ]}このような関数の集合は、で表されます。${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}(\Omega )}$:

${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.}$

局所的に積分可能な関数に与えられた定義と全く同様の別の定義を局所的に与えることもできる。${\textstyle p}$-積分可能な関数: このセクションのものと同等であることが証明されています。^{[ 14 ]}一見するとより一般性が高いように見えますが、局所的に${\textstyle p}$積分可能な関数は、すべての に対して局所的に積分可能な関数のサブセットを形成する。${\textstyle p}$そのため ${\textstyle 1<p\leq +\infty }$[ ^{15 ]​}

大文字の「L」に使用できるさまざまなグリフを除けば、 ^{[ 16 ]}局所的に積分可能な関数の集合の表記法にはほとんどバリエーションがない。

• ${\textstyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),}$Hörmander (1990 、p. 37)、Strichartz (2003 、pp. 12–13)、および( Vladimirov 2002 、p. 3)によって採用された。   
• ${\textstyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$Maz'ya & Poborchi (1997 年、p. 4)およびMaz'ya & Shaposhnikova (2009 年、p. 44)によって採用されました。  
• ${\textstyle L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),}$Maz'ja (1985 、p. 6)およびMaz'ya (2011 、p. 2)によって採用されました。  

定理1. ^{[ 17 ]}${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}}$は完全な距離化可能な空間である。その位相は、次の距離によって生成できる。

${\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$

どこ ${\textstyle \{\omega _{k}\}_{k\geq 1}}$は、空でない開集合の族であり、

• ${\textstyle \omega _{k}\Subset \omega _{k+1}}$つまり、${\textstyle \omega _{k}}$コンパクトに収められている${\textstyle \omega _{k+1}}$すなわち、それぞれは、その閉包がコンパクトであり、より高いインデックスの集合に厳密に含まれる集合である。^{[ 18 ]}
• ${\textstyle \cup _{k}\omega _{k}=\Omega }$そして最後に
• ${\textstyle {\Vert \cdot \Vert }_{p,\omega _{k}}\to \mathbb {R} ^{+}}$、${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$は、次のように定義される半ノルムのインデックス付き族である。

${\displaystyle {\Vert u\Vert }_{p,\omega _{k}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

( Gilbarg & Trudinger 2001 , p. 147)、( Maz'ya & Poborchi 1997 , p. 5)、( Maz'ja 1985 , p. 6)、( Maz'ya 2011 , p. 2)では、この定理は述べられているものの、形式的には証明されていません。^{[ 19 ]}この定理を含むより一般的な結果の完全な証明は、 ( Meise & Vogt 1997 , p. 40)にあります。     

定理2．すべての関数${\textstyle f}$に属する${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}(\Omega )}$、${\textstyle 1\leq p\leq +\infty }$、 どこ${\textstyle \Omega }$は、の開部分集合である。${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$は局所的に積分可能である。

証明。事例${\textstyle p=1}$これは自明であるため、証明の続きでは、${\textstyle 1<p\leq +\infty }$特性関数を考える${\textstyle \chi _{K}}$コンパクトな部分集合の${\textstyle K}$の${\textstyle \Omega }$:それから、${\textstyle p\leq +\infty }$、

${\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,}$

どこ

• ${\textstyle q}$は正の数で、${\textstyle 1/p+1/q=1}$特定の${\textstyle 1\leq p\leq +\infty }$、
• ${\textstyle \vert K\vert }$はコンパクト集合のルベーグ測度である。${\textstyle K}$。

そして、どんな${\textstyle f}$に属する${\textstyle L_{p}(\Omega )}$製品は​${\textstyle f\chi _{K}}$は、ヘルダーの不等式により積分可能であり、${\textstyle L_{1}(\Omega )}$そして

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

したがって

${\displaystyle f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

以下の不等式が真であることに注意してください

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

この定理は関数に対しても成り立つ。${\textstyle f}$局所的な空間にのみ属する${\textstyle p}$積分可能な関数であるため、この定理は次の結果も示唆する。

系１．すべての関数${\textstyle f}$で${\textstyle L_{p,{\text{loc}}}(\Omega )}$、${\textstyle 1<p\leq +\infty }$は局所的に積分可能であり、つまり${\textstyle >L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$。

注：${\textstyle \Omega }$は、の開部分集合である。${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$それも有界である場合、標準的な包含関係が成り立つ。${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$上記の内容を考慮すると、これは理にかなっている。${\displaystyle L_{1}(\Omega )\subset L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$しかし、これらの記述のうち最初のものは、次の場合には真実ではない。${\displaystyle \Omega }$が有界でない場合でも、${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1,{\text{loc}}}(\Omega )}$いかなる場合でも${\displaystyle p}$しかし、それは違う${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$これを確認するには、通常、関数を考察する。${\displaystyle u(x)=1}$それは${\displaystyle L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$しかし、${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$任意の有限${\displaystyle p}$。

定理3．関数${\textstyle f}$絶対連続測度の密度であるのは、${\displaystyle f\in L_{1,{\text{loc}}}}$。

この結果の証明は( Schwartz 1998 、 p. 18)で概略が述べられている。この定理の記述を言い換えると、すべての局所積分可能な関数は絶対連続測度を定義し、逆にすべての絶対連続測度は局所積分可能な関数を定義するというものである。これはまた、抽象測度論の枠組みにおいて、スタニスワフ・サクスが著書で示した重要なラドン・ニコディムの定理の形式でもある。 ^{[ 20 ]}