位置演算子

量子力学において、位置演算子は粒子の観測可能な位置に対応する演算子です。

位置演算子が十分に広い領域（例えば、緩和分布の空間）で考慮される場合、その固有値は粒子の可能な位置ベクトルである。 ^[1]

1 次元では、記号 によって、固有値 に対応する位置演算子のユニタリ固有ベクトルを表す場合、 は、位置 にある粒子自体が確実に見つかる粒子の状態を表します。 $${\displaystyle |x\rangle }$$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle x}$

したがって、位置演算子を記号で表すと、すべての実数の位置に対して と書くことができます。 ${\displaystyle X}$$${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle ,}$$${\displaystyle x}$

位置 でのユニタリー状態の実現方法としては、位置 を中心とするディラックのデルタ(関数) 分布があり、 と表記されることが多い。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \delta_{x}}$

量子力学では、すべてのディラック分布の順序付けられた（連続的な）族、すなわち族は、 緩和分布の空間における 位置演算子の（ユニタリ）固有基底であるという理由だけで、（ユニタリ）位置基底と呼ばれます。 $${\displaystyle \delta =(\delta _{x})_{x\in \mathbb {R} },}$$${\displaystyle X}$

緩和超関数の空間上には、 任意の 実数点 に対して となる線型連続自己準同型が 1 つだけ存在することを観察することが基本です。 任意の緩和超関数 に対して、上記の唯一の自己準同型が によって必ず定義されることを証明できます。 ここで は、実数直線から複素平面への位置直線の座標関数を表します。 ${\displaystyle X}$$${\displaystyle X(\delta _{x})=x\delta _{x},}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle X(\psi )=\mathrm {x} \psi ,}$$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \mathrm {x} }$$${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x.}$$

ある瞬間の粒子の量子状態を、積分可能な二乗 波動関数 で表すことを考える。今のところ、空間次元は 1 つ (つまり、粒子は直線に「閉じ込められている」) と仮定する。波動関数が正規化されている場合、二乗係数は、ある時間に実数直線上の特定の位置に粒子が見つかる確率密度 を表す。つまり、 の場合、 位置範囲内に粒子が見つかる確率は、 ${\displaystyle \psi}$ $${\displaystyle |\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi ,}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \|\psi \|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi |^{2}d\mathrm {x} =1,}$$${\displaystyle [a,b]}$$${\displaystyle \pi _{X}(\psi )([a,b])=\int _{a}^{b}|\psi |^{2}d\mathrm {x} .}$$

したがって、粒子の 位置の測定の期待値は、 ここで、位置線を複素平面に 標準的に埋め込んだ 座標関数です 。${\displaystyle X}$$${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(\mathrm {x} \psi )\,d\mathrm {x} =\langle \psi |X(\psi )\rangle ,}$$${\displaystyle \mathrm {x} }$$${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x,}$$

厳密に言えば、観測可能な位置は、 すべての波動関数と実数直線のすべての点について、点ごとに定義できます 。同値類の場合、定義は次のように直接読み取れます。 つまり、位置演算子は、任意の波動関数に座標関数を掛けます。 ${\displaystyle X={\hat {\mathrm {x} }}}$$${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),}$$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi \in L^{2}}$$${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi =\mathrm {x} \psi ,\quad \forall \psi \in L^{2}.}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \mathrm {x} }$

3 次元への一般化は簡単です。

時空波動関数は今であり、状態における位置演算子の期待値は 、積分が全空間にわたって取られるところで ある 。位置演算子は${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle \left\langle {\hat {\mathbf {r} }}\right\rangle _{\psi }=\int \mathbf {r} |\psi |^{2}d^{3}\mathbf {r} }$$$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \psi =\mathbf {r} \psi .}$$

上記の定義は、線上に閉じ込められた粒子の場合に関するものですが、注意深い読者は、位置演算子のドメインと共ドメインの明確な指定が存在しないことに気付くかもしれません。文献では、多かれ少なかれ明示的に、この問題に対処するための基本的に 3 つの主な方向性が見つかります。

1. 位置演算子は、埋め込みによる積が空間 に存在する同値類によって形成されるの部分空間上で定義されます。この場合、位置演算子は連続ではなく ( の標準スカラー積によって誘導される位相に関して無制限)、固有ベクトルや固有値を持たず、結果として空点スペクトルを持つことを明らかにします。${\displaystyle D_{X}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \mathrm {x} }$${\displaystyle L^{2}}$$${\displaystyle X:D_{X}\subset L^{2}\to L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$${\displaystyle L^{2}}$
2. 位置演算子はシュワルツ空間 （すなわち、実数直線上で定義され、導関数が急速に減少するすべての滑らかな複素関数の核空間）上で定義されます。この場合、位置演算子は連続（の標準位相に関して）、単射、固有ベクトルなし、固有値なし、したがって空点スペクトルを示します。これは、のスカラー積に関して（完全に）自己随伴であり、次の意味で${\displaystyle {\mathcal {S}}}$$${\displaystyle X:{\mathcal {S}}\subset L^{2}\to {\mathcal {S}}\subset L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle L^{2}}$$${\displaystyle \langle X(\psi )|\phi \rangle =\langle \psi |X(\phi )\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$
3. 位置演算子は、の双対空間（すなわち、 緩和分布の核空間）上で定義される。が の部分空間であるので、緩和分布と埋め込みの積は常に となる。この場合、位置演算子は連続（ の標準位相に関して）、射影的、一般化固有ベクトルと実一般化固有値の完全な族を備えることが明らかになる。 の転置演算子が自己随伴であるという意味において、のスカラー積に関して自己随伴である。つまり、${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$${\displaystyle \mathrm {x} }$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$$${\displaystyle X:{\mathcal {S}}^{\times }\to {\mathcal {S}}^{\times }:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle {}^{t}X:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}:\phi \mapsto \mathrm {x} \phi ,}$$$${\displaystyle \left\langle \left.\,{}^{t}X(\phi )\right|\psi \right\rangle =\left\langle \phi |\,{}^{t}X(\psi )\right\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$

最後のケースは、明示的に強調されることはありませんが、実際には量子力学の文献で最も広く採用されている選択です。^[要出典]これは、ヒルベルト空間をリグヒルベルト空間に拡張することで、固有ベクトルの不在の可能性に対処します。^[2] これにより、固有ベクトルと固有値という数学的に厳密な概念が提供されます。^[3] $${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset L^{2}\subset {\mathcal {S}}^{\times },}$$

位置空間で表される位置演算子（緩和分布の空間上）の固有関数は、ディラックのデルタ関数です。

非公式の証明。位置演算子の可能な固有ベクトルは必ずディラックのデルタ分布であることを示すために、が固有値 を持つ位置演算子の固有状態であると。位置座標で固有値方程式を書きますが、 位置表現では、関数 は単に波動関数に関数 を掛け合わせたもので ことを思い出してください変数ですが は定数であるため、点 を除くすべての場所で はゼロでなければなりません。明らかに、このような特性を満たす連続関数はなく、その点では波動関数を複素数として単純に定義することはできません。なぜなら、その点に集中し、積分が 0 とは異なる「関数オブジェクト」、つまり を中心とするディラックのデルタの任意の倍数。方程式の正規化された解は 、 またはより良く、次 のように 実際、任意の関数と、ある点を中心とするディラック分布との積は、その点における関数の値とディラック分布自体 を思い出すと、次の式が直ちに得られます。このようなディラック状態は物理的に実現不可能であり、厳密に言えば関数ではありませんが、 を中心とするディラック分布は、その位置が正確にわかっている「理想的な状態」と考えることができます (位置を測定すると、常に固有値 が返されます)。したがって、不確定性原理により、このような状態の運動量については何もわかっていません。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi (x)=\mathrm {x} \psi (x)=x_{0}\psi (x)}$$${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$${\displaystyle \mathrm {x} }$${\displaystyle \mathrm {x} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle \mathrm {x} \psi =x_{0}\psi }$$$${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0}),}$$$${\displaystyle \psi =\delta _{x_{0}},}$$$${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$$${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=\mathrm {x} (x_{0})\delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

通常、量子力学では、運動量空間での表現とは、正準ユニタリ運動量基底に関する状態と観測量の表現を意味する。 $${\displaystyle \eta =\left(\left[(2\pi \hbar )^{-{\frac {1}{2}}}e^{(\iota /\hbar )(\mathrm {x} |p)}\right]\right)_{p\in \mathbb {R} }.}$$

運動量空間では、1次元の位置演算子は次の微分演算子で表される。 $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}=i\hbar {\frac {d}{d\mathrm {p} }}=i{\frac {d}{d\mathrm {k} }},}$$

どこ：

• 運動量基底における位置演算子の表現は、あらゆる波動関数（緩和分布）に対して、によって自然に定義されます。${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}}$${\displaystyle \psi }$
• ${\displaystyle \mathrm {p} }$は運動量線上の座標関数を表し、波数ベクトル関数は によって定義されます。${\displaystyle \mathrm {k} }$${\displaystyle \mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar }$

スピンのない粒子が 1 つの空間次元で運動する場合を考えます。このような粒子の状態空間には、実数直線上の複素数値で二乗積分可能な(ルベーグ測度に関して)関数のヒルベルト空間が含まれます。 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

位置演算子は、定義域と各点をそれ自身に送信する 座標関数 を持つ自己随伴演算子として定義され、 ^{[4] [5]} 各点ごとに定義され、に対してとなります。 $${\displaystyle Q:D_{Q}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {q} \psi ,}$$ $${\displaystyle D_{Q}=\left\{\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\mid \mathrm {q} \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\right\},}$$${\displaystyle \mathrm {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle Q(\psi )(x)=x\psi (x)=\mathrm {q} (x)\psi (x),}$$${\displaystyle \psi \in D_{Q}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

定義からすぐに、スペクトルは実数直線全体で構成され、厳密に連続したスペクトル、つまり離散的な固有値の集合を持たない ことがわかります。${\displaystyle Q}$

3 次元の場合も同様に定義されます。以下の説明では 1 次元の仮定を維持します。

あらゆる量子力学的観測量と同様に、位置測定について議論するためには、位置演算子のスペクトル分解能を計算する必要があります 。 これは、 いわゆる位置演算子の スペクトル測度です。$${\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$$${\displaystyle X=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\mu _{X}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} \,\mu _{X}=\mu _{X}(\mathrm {x} ),}$$${\displaystyle \mu _{X}}$

の ボレル部分集合の指示関数を とします。すると、スペクトル測度は 、すなわち の指示関数による乗算で与えられます。 ${\displaystyle \chi _{B}}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \psi \mapsto \mu _{X}(B)(\psi )=\chi _{B}\psi ,}$$${\displaystyle B}$

したがって、システムが状態 に準備されている場合、測定された粒子の位置がボレル集合に属する確率は、 実数直線上のルベーグ測度 であるとなります。${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$$${\displaystyle \|\mu _{X}(B)(\psi )\|^{2}=\|\chi _{B}\psi \|^{2}=\int _{B}|\psi |^{2}\ \mu =\pi _{X}(\psi )(B),}$$${\displaystyle \mu }$

サブセット B 内の粒子を検出することを目的とした測定の後、波動関数は または の いずれかに 収縮します。 ここで は上のヒルベルト空間ノルムです。 $${\displaystyle {\frac {\mu _{X}(B)\psi }{\|\mu _{X}(B)\psi \|}}={\frac {\chi _{B}\psi }{\|\chi _{B}\psi \|}}}$$$${\displaystyle {\frac {(1-\chi _{B})\psi }{\|(1-\chi _{B})\psi \|}},}$$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

• 位置と運動量空間
• 運動量演算子
• 変換演算子（量子力学）

• de la Madrid Modino, R. (2001). リグされたヒルベルト空間言語における量子力学 (博士論文). バリャドリッド大学.