非局所演算子

数学において、非局所演算子とは、位相空間上の関数を関数にマッピングするマッピングであり、特定の点における出力関数の値は、任意の点の任意の近傍における入力関数の値のみから決定することはできません。非局所演算子の例としては、フーリエ変換があります。

を位相空間、集合、定義域の関数を含む関数空間、定義域 の関数を含む関数空間とします。の 2 つの関数とは、すべての に対してとなるの近傍が存在するとき、 で同値であるといいます。任意の に対してが存在し、 のすべての関数とに対してとなるとき、演算子は局所的であるといいます。非局所演算子は局所的ではない演算子です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle G(Y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle F(X)}$${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u(x')=v(x')}$${\displaystyle x'\in N}$${\displaystyle A:F(X)\to G(Y)}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle Au(y)=Av(y)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle F(X)}$${\displaystyle x}$

局所演算子の場合、点の任意の小さな近傍におけるの値に関する知識のみを使用して値を計算することが（原理的には）可能です。非局所演算子の場合、これは不可能です。 ${\displaystyle Au(y)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$

微分演算子は局所演算子の例である^[要出典]。（線形）非局所演算子の大きなクラスは、フーリエ変換やラプラス変換などの積分変換によって与えられる。次の形式の積分変換の場合、

${\displaystyle (Au)(y)=\int \limits _{X}u(x)\,K(x,y)\,dx,}$

が何らかのカーネル関数である場合、におけるの値を計算するには、のサポート上のほぼすべての場所での値を知る必要があります。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle u}$${\displaystyle K(\cdot,y)}$${\displaystyle au}$${\displaystyle y}$

特異積分演算子の例としては分数ラプラシアンがある。

${\displaystyle (-\Delta )^{s}f(x)=c_{d,s}\int \limits _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {f(x)-f(y)}{|xy|^{d+2s}}}\,dy.}$

前因子はガンマ関数を含み、正規化因子として機能します。分数ラプラシアンは、たとえば非局所極小曲面の研究で役割を果たします。^[1]${\displaystyle c_{d,s}:={\frac {4^{s}\Gamma (d/2+s)}{\pi ^{d/2}|\Gamma (-s)|}}}$

非局所演算子の応用例をいくつか挙げます。

• フーリエ変換を用いた時系列解析
• ラプラス変換を用いた動的システムの解析
• 非局所的手段を用いた画像ノイズ除去^[2]
• ぼかしカーネルまたは点広がり関数による畳み込みを使用して、画像内のガウスぼかしまたはモーションぼかしをモデル化する

• 分数計算
• 線形マップ
• 非局所ラグランジアン
• 遠隔操作

• 非局所方程式ウィキ