多次元変換

数学的解析および応用において、多次元変換は、2次元以上の領域における信号の周波数成分を解析するために使用される。

多次元フーリエ変換

多次元変換の中でも特に人気のあるものの一つがフーリエ変換であり、これは信号を時間/空間領域表現から周波数領域表現に変換する。^{[ 1 ]}離散領域多次元フーリエ変換（FT）は次のように計算できる。

F(w_{1},w_{2},\dots ,w_{m})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})e^{-iw_{1}n_{1}-iw_{2}n_{2}\cdots -iw_{m}n_{m}}

ここで、Fは多次元フーリエ変換、mは多次元次元を表す。fを多次元離散領域信号と定義する。逆多次元フーリエ変換は次式で与えられる。

f(n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{m}\int _{-\pi }^{\pi }\cdots \int _{-\pi }^{\pi }F(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m})e^{iw_{1}n_{1}+iw_{2}n_{2}+\cdots +iw_{m}n_{m}}\,dw_{1}\cdots \,dw_{m}

連続領域信号の多次元フーリエ変換は次のように定義されます。^{[ 1 ]}

F(\Omega _{1},\Omega _{2},\ldots ,\Omega _{m})=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{m})e^{-i\Omega _{1}t_{1}-i\Omega _{2}t_{2}\cdots -i\Omega _{m}t_{m}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{m}

フーリエ変換の性質

1次元フーリエ変換と同様の性質が適用されますが、入力パラメータが単一のエントリではなく、多次元（MD）配列またはベクトルになります。したがって、x(n )ではなくx(n ₁ ,…,n _M )となります。

線形性

もし $x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ 、そして $x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ それから、

ax_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M})+bx_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}aX_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})+bX_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})

シフト

もし $x(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},...,\omega _{M})$ 、それから $x(n_{1}-a_{1},...,n_{M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}e^{-i(\omega _{1}a_{1}+,...,+\omega _{M}a_{M})}X(\omega _{1},...,\omega _{M})$

変調

もし $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ 、それから

e^{i(\theta _{1}n_{1}+\cdots +\theta _{M}n_{M})}x(n_{1}-a_{1},\ldots ,n_{M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1}-\theta _{1},\ldots ,\omega _{M}-\theta _{M})

乗算

もし $x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ 、そして $x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$

それから、

または、

分化

もし $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ 、それから

-in_{1}x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial \omega _{1})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),

-in_{2}x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial \omega _{2})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),

(-i)^{M}(n_{1}n_{2}\cdots n_{M})x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {(\partial )^{M}}{(\partial \omega _{1}\partial \omega _{2}\cdots \partial \omega _{M})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),

転置

もし $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ 、それから

x(n_{M},\ldots ,n_{1}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{M},\ldots ,\omega _{1})

反射

もし $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ 、それから

x(\pm n_{1},\ldots ,\pm n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\pm \omega _{1},\ldots ,\pm \omega _{M})

複雑な共役

もし $x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})$ 、それから

x^{*}(\pm n_{1},\ldots ,\pm n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X^{*}(\mp \omega _{1},\ldots ,\mp \omega _{M})

パーセバルの定理（MD）

もし $x_{1}(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})$ 、そして $x_{2}(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{2}(\omega _{1},...,\omega _{M})$ それから、

$\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }...\sum _{n_{M}=-\infty }^{\infty }x_{1}(n_{1},...,n_{M})x_{2}^{*}(n_{1},...,n_{M}){=}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }...\int \limits _{-\pi }^{\pi }X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})X_{2}^{*}(\omega _{1},...,\omega _{M})d\omega _{1}...d\omega _{M}$

もし $x_{1}(n_{1},...,n_{M}){=}x_{2}(n_{1},...,n_{M})$ 、それから

$\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }...\sum _{n_{M}=-\infty }^{\infty }|x_{1}(n_{1},...,n_{M})|^{2}{=}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }...\int \limits _{-\pi }^{\pi }|X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})|^{2}d\omega _{1}...d\omega _{M}$

パーセバルの定理の特殊なケースとして、2つの多次元信号が同一の場合が挙げられます。この場合、定理は信号のエネルギー保存則を表し、総和または積分における項は信号のエネルギー密度を表します。

分離可能性

信号またはシステムは、異なる独立変数を持つ1次元関数の積として表現できる場合、分離可能であると言われます。この現象により、多次元フーリエ変換ではなく、1次元フーリエ変換の積としてフーリエ変換を計算することが可能になります。

もし $x(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},...,\omega _{M})$ 、 $a(n_{1}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}A(\omega _{1})$ 、 $b(n_{2}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}B(\omega _{2})$ ... $y(n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}Y(\omega _{M})$ 、そしてもし $x(n_{1},...,n_{M}){=}a(n_{1})b(n_{2})...y(n_{M})$ 、それから

$X(\omega _{1},...,\omega _{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}x(n_{1},...,n_{M}){=}a(n_{1})b(n_{2})...y(n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}A(\omega _{1})B(\omega _{2})...Y(\omega _{M})$ 、それで

$X(\omega _{1},...,\omega _{M}){=}A(\omega _{1})B(\omega _{2})...Y(\omega _{M})$

MD FFT

高速フーリエ変換(FFT) は、離散フーリエ変換 (DFT) とその逆変換を計算するアルゴリズムです。FFT は DFT を計算し、DFT の定義を直接評価した場合とまったく同じ結果を生成します。唯一の違いは、FFT の方がはるかに高速であることです。(丸め誤差が存在する場合、多くの FFT アルゴリズムは、DFT の定義を直接評価する場合よりもはるかに正確です)。単純な複素数演算から群論や数論まで、幅広い数学を扱うさまざまな FFT アルゴリズムが存在します。詳しくはFFTを参照してください。

MD DFT

多次元離散フーリエ変換（DFT）は、離散領域のフーリエ変換を等間隔のサンプリング周波数で評価することによって得られるサンプリング版である。_{[2] N 1}^{× N 2} × ... N m _DFTは次_のように表される。

Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{m})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{n_{m}=0}^{N_{m}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})e^{-i{\frac {2\pi }{N_{1}}}n_{1}K_{1}-i{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots -i{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}

0 ≤ K _i ≤ N _i − 1、i = 1, 2, ..., mの場合。

逆多次元DFT方程式は

fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})={\frac {1}{N_{1}\cdots N_{m}}}\sum _{K_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{K_{m}=0}^{N_{m}-1}Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{m})e^{i{\frac {2\pi }{N_{1}}}n_{1}K_{1}+i{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots +i{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}

0 ≤ n ₁ , n ₂ , ... , n _m ≤ N _{(1, 2, ... , m )} – 1 の場合。

多次元離散コサイン変換

離散コサイン変換（DCT）は、データ圧縮、特徴抽出、画像再構成、マルチフレーム検出など、幅広い用途で使用されています。多次元DCTは次のように表されます。

Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{r})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\cdots \sum _{n_{r}=0}^{N_{r}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})\cos {\frac {\pi (2n_{1}+1)K_{1}}{2N_{1}}}\cdots \cos {\frac {\pi (2n_{r}+1)K_{r}}{2N_{r}}}

k _i = 0, 1, ..., N _i − 1、i = 1, 2, ..., rの場合。

多次元ラプラス変換

多次元ラプラス変換は、境界値問題の解法に有用である。偏微分方程式で特徴付けられる2つ以上の変数の境界値問題は、ラプラス変換を直接用いることで解くことができる。^{[ 3 ]} M次元の場合のラプラス変換は次のように定義される^{[ 3 ]。}

$F(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})e^{-s_{n}t_{n}-s_{n-1}t_{n-1}\cdots \cdots s_{1}t_{1}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{n}$

ここで、Fは信号f(t)のs領域表現を表す。

関数 f(x,y) の多次元ラプラス変換の特殊なケース (2 次元に沿ったもの) は次のように定義される^{[ 4 ] 。}

$F(s_{1},s_{2})=\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }\ f(x,y)e^{-s_{1}x-s_{2}y}\,dxdy$

$F(s_{1},s_{2})$ は、 $f(x,y)$ そして $f(x,y)$ のオリジナルとして知られています $F(s_{1},s_{2})$ この特殊なケースは、電信方程式を解くために使用できます。

多次元Z変換

出典：^{[ 5 ]}

多次元Z変換は、離散時間領域の多次元信号をZ領域にマッピングするために使用されます。これはフィルタの安定性を確認するために使用できます。多次元Z変換の式は次のとおりです。

$F(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{m})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}\ldots z_{m}^{-n_{m}}$

ここで、Fは信号f(n)のz領域表現を表す。

多次元Z変換の特殊なケースとして、2D Z変換があり、これは次のように表される。

$F(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}$

フーリエ変換は、単位円（1次元）および単位二重円（2次元）に沿って評価されたZ変換の特殊なケースです。

${\textstyle z=e^{iw}}$ ここで、zとwはベクトルである。

収束領域

点 ( z ₁ , z ₂ ) で $F(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }|f(n_{1},n_{2})||z_{1}|^{-n_{1}}|z_{2}|^{-n_{2}}$ $<\infty$ 中華民国に位置しています。

例：

図 1.1a に示すようなサポートを持つシーケンスの場合、その ROC は図 1.1b に示されます。このことから、| F ( z ₁ , z ₂ )| < ∞となります。

$(z_{01},z_{02})$ ROC にある場合、すべてのポイント $(z_{1},z_{2})$ |z1|≥|z01| および |z2|≥|z02| を満たすものは ROC 内にあります。

したがって、図1.1aと1.1bの場合、ROCは次のようになります。

\ln |z_{1}|\geq \ln |z_{01}|{\text{ and }}\ln |z_{2}|\geq L\ln |z_{1}|+\{\ln |z_{02}|-L\ln |z_{01}|\}

ここでLは傾きである。

2D Z変換は、Z変換と同様に、多次元信号処理において、2次元離散時間信号を複素周波数領域に関連付けるために使用され、4D空間におけるフーリエ変換が存在する2D表面は、単位表面または単位双円として知られています。

アプリケーション

DCTとDFTは信号処理^{[ 6 ]}や画像処理でよく用いられ、スペクトル法による偏微分方程式の効率的な解法にも利用されています。DFTは畳み込みや大きな整数の乗算など、他の演算にも使用できます。DFTとDCTは多くの分野で幅広く利用されており、以下ではいくつかの例を簡単に紹介します。

画像処理

DCTは、 JPEG 画像圧縮、MJPEG、MPEG、DV、Daala、Theora ビデオ圧縮で使用されます。これらの圧縮では、 N x Nブロックの2次元DCT-IIが計算され、結果が量子化され、エントロピー符号化されます。この場合、Nは通常8であり、DCT-II式はブロックの各行と各列に適用されます。結果は8x8の変換係数配列であり、(0,0)要素(左上)はDC(ゼロ周波数)成分であり、垂直および水平インデックス値が増加するエントリは、右の図に示すように、より高い垂直および水平空間周波数を表します。

画像処理では、2D DCT に基づく非従来型の暗号化手法を分析して、2D 画像平面に目に見えないバイナリ透かしを挿入することもできます。^{[ 7 ]}また、異なる方向に応じて、2-D 方向 DCT-DWT ハイブリッド変換を超音波画像のノイズ除去に適用できます。^{[ 8 ]} 3-D DCT は、変換領域での透かし埋め込みスキームでビデオデータまたは 3D 画像データを変換するためにも使用できます。^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

スペクトル分析

DFT をスペクトル解析に使用する場合、{ x _n } シーケンスは通常、時間tを表す信号x ( t )の等間隔の時間サンプルの有限セットを表します。連続時間からサンプル (離散時間) への変換により、x ( t )の基となるフーリエ変換は離散時間フーリエ変換(DTFT)に変わりますが、これは一般的にエイリアシングと呼ばれる種類の歪みを伴います。適切なサンプリングレート (ナイキストレートを参照) を選択することが、この歪みを最小限に抑える鍵となります。同様に、非常に長い (または無限) シーケンスから扱いやすいサイズへの変換には、リーケージと呼ばれる種類の歪みが伴い、これは DTFT の詳細 (別名解像度)の損失として現れます。適切なサブシーケンス長を選択することが、この影響を最小限に抑える主要な鍵となります。利用可能なデータ（および処理時間）が、目的の周波数分解能を達成するために必要な量よりも多い場合、標準的な手法として、例えばスペクトログラムを作成するために、複数のDFTを実行します。目的の結果がパワースペクトルであり、データにノイズやランダム性が存在する場合、複数のDFTの振幅成分を平均化することは、スペクトルの分散（この文脈では周期図とも呼ばれる）を低減するための有効な手順です。このような手法の2つの例として、ウェルチ法とバートレット法があります。ノイズのある信号のパワースペクトルを推定する一般的な主題は、スペクトル推定と呼ばれます。

歪み（あるいは錯覚）の最後の原因は、DFT自体です。なぜなら、DFTは連続周波数領域の関数であるDTFTの離散サンプリングにすぎないからです。これは、DFTの解像度を上げることで軽減できます。その手順は、§ DTFTのサンプリングで説明されています。

この手順はゼロパディングと呼ばれることもあり、高速フーリエ変換（FFT）アルゴリズムと組み合わせて使用される特定の実装方法です。ゼロ値の「サンプル」を用いて乗算や加算を行う際の非効率性は、FFT本来の効率性によって十分に相殺されます。
既に述べたように、リークはDTFTの本来の解像度に限界をもたらします。したがって、きめ細かいDFTから得られるメリットには実際的な限界があります。

偏微分方程式

離散フーリエ変換は偏微分方程式を解くためによく用いられ、ここでもDFTはフーリエ級数の近似として用いられる（ Nが無限大の極限ではフーリエ級数が復元される）。このアプローチの利点は、信号を複素指数関数e ^inxで展開することである。複素指数関数e inxは微分固有関数である。d / dx e ^inx = in e ^inx。したがって、フーリエ表現では微分は簡単である。単にinを掛けるだけである。（ただし、エイリアシングのためnの選択は一意ではないことに注意。この方法が収束するためには、上記の三角関数補間のセクションでの選択と同様の選択を用いるべきである。）定数係数を持つ線形微分方程式は、容易に解ける代数方程式に変換される。次に、逆DFTを用いて結果を通常の空間表現に戻す。このようなアプローチはスペクトル法と呼ばれる。

DCTは、スペクトル法による偏微分方程式の解法にも広く用いられており、DCTの様々なバリエーションは、アレイの両端におけるわずかに異なる偶数/奇数の境界条件に対応している。

ラプラス変換は偏微分方程式を解くために用いられる。この手法で解を得るための一般理論は、n次元ラプラス変換に関する定理によって発展させられている。^{[ 3 ]}

多次元Z変換は偏微分方程式を解くためにも使用できる。^{[ 11 ]}

FFTによる美術品表面解析のための画像処理

非常に重要な要素の 1 つは、美術作品に関する貴重な情報 (HVS の視点から、色彩情報と空間情報全体に焦点が当てられています) を非破壊的な方法で取得し、美術作品に損傷を与えないことです。色の変化を見たり、表面の均一性の変化を測定したりすることで、美術作品を理解できます。画像全体が非常に大きくなるため、ダブルレイズドコサインウィンドウを使用して画像を切り取ります。^{[ 12 ]}

w(x,y)={\frac {1}{4}}\left(1+\cos {\frac {x\pi }{N}}\right)\left(1+\cos {\frac {y\pi }{N}}\right)

ここで、Nは画像の次元であり、x、yは画像の中心からの座標で、0 からN /2 までの範囲です。著者は、空間周波数に対して次のような等しい値を計算したいと考えていました。^{[ 12 ]}

{\begin{aligned}A_{m}(f)^{2}=\left[\sum _{i=-f}^{f}\right.&\operatorname {FFT} (-f,i)^{2}+\sum _{i=-f}^{f}\operatorname {FFT} (f,i)^{2}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FFT} (i,-f)^{2}+\sum _{i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FFT} (i,f)^{2}\right]\end{aligned}}

ここで「FFT」は高速フーリエ変換を表し、fは空間周波数で0からN /2-1までの範囲です。提案されたFFTベースのイメージングアプローチは、文化芸術の長寿命と安定性を保証する診断技術です。これはシンプルで安価であり、博物館の日常的な使用に影響を与えることなく使用できます。しかし、この方法では腐食速度を定量的に測定することはできません。

弱非線形回路シミュレーションへの応用

出典: ^{[ 13 ]}

逆多次元ラプラス変換は、非線形回路のシミュレーションに適用できる。これは、回路を状態空間として定式化し、ラゲール関数展開に基づいて逆ラプラス変換を展開することによって実現される。

ラゲール法は、弱非線形回路のシミュレーションに使用でき、また、多次元ラプラス変換を高精度で効率的に逆変換することができる。

多次元ラプラス変換を用いることで、大規模な非線形回路のシミュレーションにおいて、高い精度と大幅な高速化が実現できることが確認されている。

参考文献

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↑ Peter KULLAI、Pavol SABAKAI、Jozef HUSKAI。「デジタルモノクロ画像暗号化における2D DCTアプリケーションのシンプルな可能性」。第17回国際無線電子工学会議、IEEE、2007年、1～6ページ。
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↑ジンウェイ・ワン、シグオ・リアン、ジョンシュアン・リウ、ジェン・レン、ユエウェイ・ダイ、ハイラ・ワン。 3-D DCT に基づく画像透かし方式。産業用エレクトロニクスとアプリケーション、2006 年第 1 回 IEEE カンファレンス、1 ～ 6 ページ
↑ Jin Li、Moncef Gabbouj、Jarmo Takala、Hexin Chen。「ビデオ符号化のための直接3次元DCT-DCTリサイズアルゴリズム」。画像および信号処理と解析、2009年。ISPA 2009。第6回国際シンポジウム議事録、pp. 105–110
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↑ Wang, Tingting (2012). "高速多次元逆ラプラス変換に基づく弱非線形回路解析" .第17回アジア太平洋設計自動化会議. pp. 547–552 . doi : 10.1109/ASPDAC.2012.6165013 . ISBN 978-1-4673-0772-7. S2CID 15427178 .

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[13] Wang, Tingting (2012). "高速多次元逆ラプラス変換に基づく弱非線形回路解析" .第17回アジア太平洋設計自動化会議. pp. 547–552 . doi : 10.1109/ASPDAC.2012.6165013 . ISBN 978-1-4673-0772-7. S2CID 15427178 .

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× N 2

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多次元フーリエ変換

フーリエ変換の性質

線形性

シフト

変調

乗算

分化

転置

反射

複雑な共役

パーセバルの定理（MD）

分離可能性

MD FFT

MD DFT

多次元離散コサイン変換

多次元ラプラス変換

多次元Z変換

収束領域

アプリケーション

画像処理

スペクトル分析

偏微分方程式

FFTによる美術品表面解析のための画像処理

弱非線形回路シミュレーションへの応用

関連項目

参考文献