フィルター（数学）

数学において、フィルタまたは順序フィルタは、部分的に順序付けられた集合(poset)の特殊なサブセットであり、「大きな」または「最終的な」要素を表します。フィルタは順序理論や格子理論だけでなく、位相理論にも登場し、そこから生まれました。フィルタの双対の概念は、順序イデアルです。

フィルターの特殊なケースには、拡大できないフィルターであるウルトラフィルターがあり、数理論理学における非構成的手法を表します。

集合上のフィルタは、 1937 年にアンリ・カルタンによって導入されました。ニコラ・ブルバキは、著書「トポロジーの一般化」で、 EH ムーアとハーマン・L・スミスが 1922 年に提唱したネットの概念に代わる概念としてフィルタを普及させました。順序フィルタは、包含下のべき集合という特定のケースから任意の半順序集合にこの概念を一般化します。しかし、べき集合フィルタの理論は、部分的には位相幾何学における重要な応用のため、それ自体で関心を集めています。

モチベーション

半順序集合（poset） $P を$ 固定します。直感的には、フィルタ $F は$ $P$ のサブセットであり、そのメンバーは何らかの基準を満たすのに十分な大きさの要素です。^[1]たとえば、 $x \in P$ $の場合、 x$ より上の要素の集合はフィルタであり、 $x$ における主フィルタと呼ばれます。（ $x$ と $yが$ $Pの$ 比較不可能な要素である場合、 $x$ と $y$ のどちらにおける主フィルタも、他方には含まれません。）

$同様に、集合S$ 上のフィルターには、ある特定の対象を含むのに十分な大きさの部分集合が含まれます。たとえば、 $S が$ 実数直線で $x \in S$ の場合、 $x を$ 内部に含む集合の族はフィルターであり、 $x$ における近傍フィルターと呼ばれます。この場合の対象は $x$ よりわずかに大きいですが、直線上の他の特定の点は含まれません。

上記の考慮事項により、以下の定義における上方閉鎖要件が導かれます。つまり、「十分に大きい」オブジェクトは常に大きくすることができます。

他の 2 つの条件を理解するには、役割を逆にして、 $F を$ $x を$ 見つけるための「配置スキーム」として考えます。この解釈では、ある空間 $X を$ 検索し、 $F が$ 目標を含む $X$ のサブセットを記述することを期待します。目標はどこかに配置されている必要があります。したがって、空集合 $\emptyset が$ $F$ に存在することはありません。また、2 つのサブセットの両方に目標が含まれている場合は、共通領域に「ズームイン」する必要があります。

ウルトラフィルタは、各スキームコンポーネントが新しい情報 (「ここを参照」または「他の場所を参照」) を提供する「完全な検索スキーム」を表します。コンパクト性とは、「すべての検索が有益である」、または別の言い方をすれば、「すべての検索スキームが検索結果で終わる」という特性です。

フィルターの一般的な用途は、何らかの位相空間の「一般的な」要素が満たす特性を定義することです。^[2] このアプリケーションは、「配置スキーム」を一般化して、明示的に記述するのが難しい可能性のあるポイントを見つけます。

意味

部分集合 $($ $P$ $、\leq)$ のサブセット $F$ は、次の条件が満たされる場合、 フィルターまたは双対イデアルです。

非自明性: 集合 $F は$ 空ではありません。
下向き: $あらゆるx 、 y \in F$ に対して、 $z$ $\leq$ $x$ かつ $z$ $\leq$ $y を$ 満たす $z \in F$ が存在します。
上向き閉鎖: $すべてのx \in F$ および $p \in P$ に対して、条件 $x \leq p は$ $p \in F$ を意味します。

さらに、 $F \neq P$ の場合、 $F は$ 適切なフィルターであると言われます。集合論や数理論理学の著者は、すべてのフィルターが適切であることを要求することがよくありますが、この記事ではその慣例を避けます。 ^[3]ウルトラフィルターは、他の適切なフィルターに含まれないフィルターです。

フィルターベース

$F$ のサブセット $S は、$ $S$ によって生成される上集合(つまり、 $S$ を含む最小の上向き閉集合) が $F$ 全体である場合に、 $F$ の基底または基数になります。すべてのフィルターは、それ自体の基底になります。

さらに、 $B \subseteq P$ が空でなく下向きである場合、 $B は$ フィルターである上集合 $F を生成します ($ $Bはその基底です)。このような集合は、前述の$ フィルター基底/基底と同様にプレフィルターと呼ばれ、 $F は$ $B$ によって生成されるか張られると言われます。プレフィルターは、適切なフィルターを生成する場合のみ適切です。

$p \in P$ の場合、集合 ${x : p \leq x}は$ $p を$ 含む最小のフィルターであり、 $↑ p$ と表記されることもあります。このようなフィルターは主フィルターと呼ばれ、 $p は$ $F$ の主要素である、または $F を$ 生成すると言われます。

$B$ と $C が$ $P$ 上の2つの前置フィルタであり、各 $c \in Cに対して$ $b \in B$ が存在し、 $b \leq c$ であるとする。このとき、 $B$ は $C$ よりも細かい（または精製する）; 同様に、 $C は$ $B$ 粗い（または粗くする）です。精製は、事前順序付け。実際、 $C が$ $B$ も精製する、 $B$ と $C は$ 同等であると呼ばれます。したがって、プレフィルタからフィルタへの移行は、事前順序付けから関連する部分順序付けへの移行のインスタンスです。

特別なケース

歴史的に、フィルタは任意の半順序よりも前に順序論的格子に一般化されました。格子の場合、下方向は有限集合の下での閉包として記述できます。つまり、すべての $x 、 y \in Fに対して、$ $x \land y \in F$ が成り立ちます。^[4]

線形フィルタ

線型（超）フィルタは、与えられたベクトル空間のベクトル部分空間の格子上の、包含順に並べられた（超）フィルタである。明示的には、ベクトル空間 $X上の線型フィルタは、$ $X$ のベクトル部分空間の族 $B$ であって、 $A$ $、$ $B$ $\in$ $B$ であり、 $Cが$ $A を$ 含む $X$ のベクトル部分空間であるならば、 $A$ $\cap$ $B$ $\in$ $B$ かつ $C$ $\in$ $B$ である。^[5]

$線形フィルタは{0}$ を含まない場合に適切である。^[5]

セットのフィルター; サブベース

集合 $S$ が与えられたとき、冪集合 $P (S)$ は集合包含によって部分的に順序付けられる。この poset 上のフィルタは、用語の乱用により単に「 $S$ 上のフィルタ」と呼ばれることが多い。このような poset の場合、下向きの方向と上向きの閉包は次のように簡略化される。^[3]

有限交差における閉包: $A 、 B \in F$ ならば、 $A \cap B \in F$ も成り立ちます。
等張性: [ ⁶ $]$ $A\inF$ かつ $A\subseteqB\subseteqS$ ならば $B\inF$ で $ある$ $。$ $$ $$ $$ $$ $$

適切な^[7] /非退化^[8] $フィルタは\emptyset$ を含まないフィルタであり、これら3つの条件（非退化を含む）はアンリ・カルタンによるフィルタのオリジナルの定義です。^[9]^[10]集合上のフィルタが適切であることを要求することは一般的ですが、普遍的ではありません （posetフィルタに対する立場が何であれ）。ここでもこの慣例を避けることにします。

セット上のプレフィルタは、 $\emptyset$ も含まれていない場合にのみ適切です。

$P$ $($ $S$ $)$ のすべての部分集合 $T$ に対して、 $T を$ 含む最小のフィルタ $F$ が存在します。プレフィルタと同様に、 $T はF を生成する、または$ $F を$ 張ると言われます。 $F$ の基底は、 $T$ のすべての有限交差の集合 $Uです。$ $F$ (および $U$ ) が適切な場合、集合 $T は$ フィルタのサブベースであると言われます。

集合上の適切なフィルタには有限交差特性があります。

$S = \emptyset$ の場合、 $S は$ 不適切なフィルタ ${\emptyset}$ のみを許可します。

無料フィルター

フィルターのメンバーの交差が空の場合、そのフィルターはフリーであると言われます。適切なプリンシパルフィルターはフリーではありません。

フィルターの任意の有限個のメンバーの共通部分もメンバーであるため、有限集合上の適切なフィルターは自由ではなく、実際、そのすべてのメンバーの共通共通部分によって生成される主フィルターは自由です。ただし、無限集合上の非主フィルターは必ずしも自由ではありません。フィルターが自由になるのは、フィルターがフレシェフィルターを含む場合のみです(§ 例を参照)。

例

$有限順序集合P ({1, 2, 3, 4})$ 上のフィルターの簡単な例については、この記事の上部にある画像を参照してください。

$ℝ \to ℝ$ $（ ℝ$ 上の実数値関数の空間）を点ごとの比較によって部分的に順序付けします。すると、「無限大」の関数の集合は $ℝ \to ℝ$ 上のフィルターになります。ドメインをコンパクト化し、コドメインを完成することで、この構成をかなり一般化できます。つまり、 $X が区別された部分集合$ $S$ を持つ集合であり、 $Y が区別された元$ $m$ を持つ半集合である場合、 ${$ $f$ $:$ $f$ $|$ $S$ $\geq$ $m$ $}は$ $X$ $\to$ $Y$ のフィルターになります。 $\left\{f:\lim _{x\to \pm \infty }{f(x)}=\infty \right\}{\text{,}}$

集合 ${{k : k \geq N} : N \in ℕ}は$ $P (ℕ)$ のフィルターです。より一般的には、 $D が$ 任意の有向集合である場合、は $P$ $($ $D$ $)$ のフィルターであり、テールフィルターと呼ばれます。同様に、任意のネット ${$ $x$ $α$ $}$ $α\inΑ は$ $、イベントチュアリティフィルター{{$ $x$ $β$ $: α \leq β} : α \in Α}$ を生成します。テールフィルターは、 $x$ $α$ $= α$ の場合のイベントチュアリティフィルターです。 $\{\{k:k\geq N\}:N\in D\}$

無限集合 $X$ 上のフレシェフィルターは、 $($ $X$ $、 μ)が$ 測度空間である場合、集合 ${$ $A$ $: μ($ $X$ $∖$ $A$ $) = 0}$ はフィルターです。 $μ($ $X$ $) = \infty で$ ある場合、 ${$ $A$ $: μ($ $X$ $∖$ $A$ $) < \infty}もフィルターです。フレシェフィルターは、$ $μ$ が計数測度である場合です。 $\{A:X\setminus A{\text{ finite}}\}{\text{.}}$

順序数 $aが与えられたとき、$ $a$ のサブセットが $a$ の順序位相で閉じているが、ネット理論的極限 $a$ を持つ場合、そのサブセットはクラブと呼ばれます。 $a$ のクラブはフィルター、つまりクラブフィルター $♣($ $a$ $)$ を形成します。

前述の構成は、次のように一般化されます。任意のクラブ $C は、$ $aの稠密な部分集合 ($ 順序位相)のコレクションでもあり、 $♣($ $a$ $) は$ $C$ の各要素を満たします。 $C を$ 任意の稠密集合のコレクション $C̃に置き換えると、「通常」$ $C̃$ の各要素を満たすフィルターが存在します。これを汎用フィルターと呼びます。可算 $C̃$ の場合、Rasiowa–Sikorski の補題は、そのようなフィルターが存在する必要があることを意味します。「小さい」非可算 $C̃$ の場合、そのようなフィルターの存在はMartin の公理によって強制できます。

$P が$ 、同型性を法として、限られた濃度の半順序集合を表すものとします。P $を$ 次のように半順序付けします。

厳密に増加するf : A \to B

が存在する場合、

A

\leq

B と

なります。

すると、非原子的半順序のサブセットがフィルターを形成します。同様に、 $I が$ 、同型性を法として、限られた濃度の、ある与えられた可換環上の入射加群の集合である場合、 $I$ 上の半順序は次のようになります。

A \leq Bならば、

f

:

A

\to

B

という入射線型写像が存在する。^[11]

任意の無限基数 $κが与えられた場合、$ $κ$ 個未満の要素では生成できない $I$ 内のモジュールはフィルターを形成します。

集合 $X$ 上のすべての均一構造は、 $X$ $\times$ $X$ 上のフィルターです。

理想との関係

フィルターの双対概念、つまり、すべての $\leq を逆にして$ $\land を$ $\lor$ と交換することによって得られる概念は、順序イデアルです。この双対性により、フィルターに関するあらゆる質問は、イデアルに関する質問に機械的に翻訳することができ、その逆も同様です。特に、プライムフィルターまたは最大フィルターは、対応するイデアルが (それぞれ) プライムフィルターまたは最大フィルターであるフィルターです。

フィルターは、対応するイデアルが最小である場合にのみ、超フィルターになります。

モデル理論では

集合 $S上のすべてのフィルタ$ $F$ について、によって定義される集合関数は有限加算的であり、その用語がかなり緩く解釈されるならば「測度」である。さらに、 $Fが$ 超フィルタである場合、このように構築された測度はどこでも定義される。したがって、このステートメントは、 $φ が$ 「ほとんどどこでも」成り立つというステートメントといくらか類似していると考えることができる。フィルタのメンバーシップのこの解釈は、数理論理学の一分野であるモデル理論の超積の理論で使用されている（実際の証明ではなく、動機付けのため）。 $m(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}A\in F\\0&{\text{if }}S\smallsetminus A\in F\\{\text{is undefined}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ $\left\{\,x\in S:\varphi (x)\,\right\}\in F$

トポロジーでは

一般的な位相幾何学と解析学では、フィルターは距離空間におけるシーケンスの役割に似た方法で収束を定義するために使用されます。フィルターは、さまざまな任意の位相空間にわたって極限の概念を統一します。

フィルターの必要性を理解するには、ネットの同等の概念から始めます。シーケンスは通常、自然数 $ℕ$ でインデックス付けされ、これは完全に順序付けられた集合です。ネットは、 $ℕ を$ 任意の有向集合に置き換えることで、シーケンスの概念を一般化します。第一可算空間などの特定のカテゴリの位相空間では、シーケンスがほとんどの位相特性を特徴付けますが、これは一般には当てはまりません。ただし、ネットはフィルターと同様に、常にそれらの位相特性を特徴付けます。

$フィルタは位相空間X$ の外部の集合には関与しませんが、シーケンスとネットは他の有向集合に依存します。このため、 $X$ 上のすべてのフィルタのコレクションは常に集合ですが、すべての $X$ 値ネットのコレクションは適切なクラスです。

近隣拠点

位相空間 $X$ 内の任意の点 $x は$ 近傍フィルタまたはシステム $N$ $x$ を定義します。つまり、内部に $x を含むすべての集合の族です。$ $x$ の近傍の集合 $N は、$ $N が$ $N$ $x を$ 生成する場合、 $x$ における近傍基数です。同様に、 $S$ $\subseteq$ $X が$ $x$ の近傍であるためには、 $N$ $\in$ $N$ が存在して $N$ $\subseteq$ $S$ となる必要があります。

収束フィルタとクラスタポイント

プレフィルタ $B が$ 点 $x （$ $B$ $\to$ $x$ と表記）に収束するのは、 $B が$ 近傍フィルタ $N$ $x$ を含むフィルタ $F を$ 生成する場合のみです。つまり、 $x$ のすべての近傍 $Uに対して、$ $V$ $\in$ $Bが存在し、$ $V$ $\subseteq$ $U$ となります。あまり明示的ではありませんが、 $B$ $\to$ $x$ $となるのは、 B が$ $N$ $x を$ 改良する場合のみであり、この条件では、 $xの任意の近傍基数が$ $N$ $x を$ 置き換えることができます。明らかに、 $x$ のすべての近傍基数は $x$ に収束します。

フィルタ $F$ (それ自体を生成する) は、 $N$ $x$ $\subseteq$ $F$ のとき $xに収束します。上記を逆にして近傍フィルタ$ $N$ $x を$ 特徴付けることもできます。N $x は$ $、$ $x$ に収束する各フィルタよりも粗い最も細かいフィルタです。

$B \to x$ の場合、 $x は$ $Bの$ 極限（点）と呼ばれます。プレフィルタ $Bは、$ $Bの各要素が$ $x$ の各近傍と空でない交差を持つ場合にのみ、 $x$ にクラスター化する（または $x を$ クラスター点として持つ）と言われます。すべての極限点はクラスター点ですが、その逆は一般には当てはまりません。ただし、ウルトラフィルタのすべてのクラスター点は極限点です。

参照

濾過（数学）
フィルタリング（確率論） - ランダムプロセスの特定の時点で利用可能な情報のモデル
フィルタリング（抽象代数）
汎用フィルタ – 集合論において、半集合の密な開集合の集合が与えられたとき、その集合内のすべての集合を満たすフィルタ
イデアル（集合論） – 有限和集合と部分集合の下で閉じている空でない集合族

注記

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参考文献

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さらに読む

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[FOOTNOTEKoutrasMoyzesNomikosTsaprounis2021-1] Koutras et al. 2021.

[2] 五十嵐あゆみ; ウィリアム・S・ツヴィッカー (2021年2月16日). 「グラフともつれたケーキの公平な分割」. arXiv : 2102.08560 [math.CO].

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[4] Davey, BA; Priestley, HA (1990).格子と秩序入門. ケンブリッジ数学教科書. ケンブリッジ大学出版局. p. 184.

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