連続ウェーブレット変換

数学において、連続ウェーブレット変換( CWT ) は、ウェーブレットの変換とスケール パラメーターを連続的に変化させることで信号の過剰表現を提供する形式的な (つまり、非数値的な) ツールです。

スケールと並進値における関数の連続ウェーブレット変換は、次の積分で表される。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle a\in \mathbb {R^{+*}} }$${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle X_{w}(a,b)={\frac {1}{|a|^{1/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\overline {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,\mathrm {d} t}$$

ここで、 は時間領域と周波数領域の両方で連続する関数で、マザー ウェーブレットと呼ばれ、上線は複素共役の演算を表します。マザー ウェーブレットの主な目的は、マザー ウェーブレットを変換してスケーリングしただけの娘ウェーブレットを生成するためのソース関数を提供することです。元の信号 を復元するには、最初の逆連続ウェーブレット変換を利用できます。 ${\displaystyle \psi (t)}$${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=C_{\psi }^{-1}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X_{w}(a,b){\frac {1}{|a|^{1/2}}}{\tilde {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,\mathrm {d} b\ {\frac {\mathrm {d} a}{a^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)}$は、および の二重の機能である。${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\overline {\hat {\psi }}}(\omega ){\hat {\tilde {\psi }}}(\omega )}{|\omega |}}\,\mathrm {d} \omega }$

は許容定数であり、ハットはフーリエ変換演算子を意味する。 のとき、許容定数は次のようになる。 ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)=\psi (t)}$

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|{\hat {\psi }}(\omega )\right|^{2}}{\left|\omega \right|}}\,\mathrm {d} \omega }$

伝統的に、この定数はウェーブレット許容定数と呼ばれています。許容定数が

${\displaystyle 0<C_{\psi }<\infty }$

は許容ウェーブレットと呼ばれます。元の信号を復元するには、2番目の逆連続ウェーブレット変換を利用できます。 ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi {\overline {\hat {\psi }}}(1)}}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a^{2}}}X_{w}(a,b)\exp \left(i{\frac {t-b}{a}}\right)\,\mathrm {d} b\ \mathrm {d} a}$

この逆変換はウェーブレットを次のように定義することを示唆している。

${\displaystyle \psi (t)=w(t)\exp(it)}$

ここで、はウィンドウです。このように定義されたウェーブレットは、時間周波数解析が可能であることから、解析ウェーブレットと呼ぶことができます。解析ウェーブレットは、許容可能である必要はありません。 ${\displaystyle w(t)}$

スケール係数は、信号を拡張または圧縮します。スケール係数が比較的低い場合、信号はより収縮し、その結果、より詳細なグラフが生成されます。ただし、欠点は、低いスケール係数が信号の全期間にわたって持続しないことです。一方、スケール係数が高い場合、信号は引き伸ばされ、結果として得られるグラフは詳細度が低くなります。それでも、通常は信号の全期間にわたって持続します。 ${\displaystyle a}$

定義上、連続ウェーブレット変換は、入力データシーケンスとマザーウェーブレットによって生成された一連の関数との畳み込みです。畳み込みは、高速フーリエ変換(FFT) アルゴリズムを使用して計算できます。通常、出力は、マザーウェーブレットが複素数である場合を除き、実数値関数です。複素数マザーウェーブレットは、連続ウェーブレット変換を複素数値関数に変換します。連続ウェーブレット変換のパワースペクトルは、次のように表すことができます。^{[1] [2]}${\displaystyle X_{w}(a,b)}$${\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot |X_{w}(a,b)|^{2}}$

ウェーブレット変換の最も一般的な用途の 1 つは、画像圧縮です。画像圧縮にウェーブレットベースのコーディングを使用する利点は、従来の手法よりも高い圧縮率で画質を大幅に向上できることです。ウェーブレット変換は複雑な情報やパターンを基本形式に分解できるため、音響処理やパターン認識でよく使用されますが、瞬時周波数推定器としても提案されています。^[3]さらに、ウェーブレット変換は、エッジとコーナーの検出、偏微分方程式の解法、過渡検出、フィルタ設計、心電図(ECG) 分析、テクスチャ分析、ビジネス情報分析、歩行分析などの科学研究分野にも適用できます。^{[4]ウェーブレット変換は、}てんかんに起因するてんかんスパイクを識別するための脳波(EEG) データ解析にも使用できます。^{[5]ウェーブレット変換は、地滑り[6]}や地盤沈下^[7]の時系列の解釈や、伝染病の周期性の変化の計算にも効果的に使用されています。 ^[8]

連続ウェーブレット変換（CWT）は、振動信号の減衰率を決定するのに非常に効率的です（例：動的システムにおける減衰の識別）。CWTは信号内のノイズに対しても非常に耐性があります。^[9]

• 連続ウェーブレット
• S変換
• 時間周波数分析
• コーシーウェーブレット

• ^[10]
• A. Grossmann & J. Morlet、1984、「ハーディ関数の定形状の平方積分ウェーブレットへの分解」、Soc. Int. Am. Math. (SIAM)、J. Math. Analys.、15、723–736。
• Lintao Liu と Houtse Hsu (2012)「時間周波数変換の反転と正規化」AMIS 6 No. 1S pp. 67S-74S。
• ステファン・マラット、「信号処理のウェーブレットツアー」第 2 版、Academic Press、1999 年、ISBN  0-12-466606-X
• Ding, Jian-Jiun (2008)、時間周波数解析とウェーブレット変換、2008年1月19日閲覧
• Polikar, Robi (2001)、The Wavelet Tutorial、2008 年 1 月 19 日閲覧
• WaveMetrics (2004)、時間周波数分析、2008年1月18日閲覧
• Valens, Clemens (2004)、『ウェーブレットへの本当にわかりやすいガイド』、2018 年 9 月 18 日閲覧]
• Mathematica 連続ウェーブレット変換
• Lewalle, Jacques: 連続ウェーブレット変換^{[永久リンク切れ‍ ]}、2010 年 2 月 6 日閲覧

• ウェーブレット: YouTube上の数学顕微鏡