シンプレクティックベクトル空間

数学において、シンプレクティックベクトル空間は、シンプレクティック双線型形式を備えた体（たとえば実数）上のベクトル空間 です。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

シンプレクティック双線型 形式は、 ${\displaystyle \omega :V\times V\to F}$

双線形

各引数ごとに線形です。

交互

${\displaystyle \omega (v,v)=0}$すべてに当てはまります。そして${\displaystyle v\in V}$

非退化

${\displaystyle \omega (v,u)=0}$すべて に対して はを意味します。${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle u=0}$

基底体の標数が2 でない場合、交代は歪対称性と同等です。標数が 2 の場合、歪対称性は によって暗示されますが、交代性は暗示されません。この場合、すべてのシンプレクティック形式は対称形式ですが、その逆は当てはまりません。

固定基底で作業する場合、は行列で表すことができます。上記の条件は、この行列が歪対称、非特異、中空（すべての対角要素がゼロ）であることと同等です。これを、空間のシンプレクティック変換を表すシンプレクティック行列と混同しないでください。が有限次元の場合、奇数サイズの歪対称中空行列はすべて行列式がゼロになるため、その次元は必然的に偶数でなければなりません。 体の標数が 2 の場合、行列が中空であるという条件は不要ではないことに注意してください。シンプレクティック形式は、ユークリッドベクトル空間上のスカラー積などの対称形式とはまったく異なる動作をします。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle V}$

標準シンプレクティック空間は、特異でない歪対称行列によって与えられるシンプレクティック形式を持つ。典型的には、ブロック行列として選択される。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$

ここで、I _{n は}n × n 単位行列です。基底ベクトル( x ₁、...、x _n、y ₁、...、y _n )に関して:

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (x_{i},y_{j})=-\omega (y_{j},x_{i})&=\delta _{ij},\\\omega (x_{i},x_{j})=\omega (y_{i},y_{j})&=0.\end{aligned}}}$

グラム・シュミット過程の修正版は、任意の有限次元シンプレクティックベクトル空間には、ダルブー基底またはシンプレクティック基底と呼ばれる形式をとる基底が存在することを示しています。 ${\displaystyle \omega}$

プロセスの概要:

任意の基底 から始めて、各基底ベクトルの双対を双対基底で表します。これにより、の要素を持つ行列が得られます。そのヌル空間を解きます。ヌル空間内の任意の について、 が得られるため、ヌル空間は退化した部分空間 を与えます。 ${\displaystyle v_{1},...,v_{n}}$${\displaystyle \omega (v_{i},\cdot )=\sum _{j}\omega (v_{i},v_{j})v_{j}^{*}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})}$${\displaystyle (\lambda _{1},...,\lambda _{n})}$${\displaystyle \sum _{i}\omega (v_{i},\cdot )=0}$${\displaystyle V_{0}}$

ここで、となる補集合を任意に選び、を の基底とします。 、および なので、WLOG です。ここで、 となるようにスケールします。次に、のそれぞれについて を定義します。これを繰り返します。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle V=V_{0}\oplus W}$${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \omega (w_{1},\cdot )\neq 0}$${\displaystyle \omega (w_{1},w_{1})=0}$${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\neq 0}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})=1}$${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$

この方法は、実数体だけでなく、任意の体上のシンプレクティック ベクトル空間に適用されることに注意してください。

実数体または複素数体の場合:

空間が実数体上にある場合、修正グラム・シュミット過程を次のように修正できます。同じ方法で開始します。を の正規直交基底 ( 上の通常の内積に関して)とします。、および であるため、WLOG です。ここで に符号を掛けて とします。次に のそれぞれについて を定義し、それぞれがノルム 1 を持つようにスケーリングします。これを繰り返します。 ${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \omega (w_{1},\cdot )\neq 0}$${\displaystyle \omega (w_{1},w_{1})=0}$${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\neq 0}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\geq 0}$${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$${\displaystyle w'}$

同様に、複素数体に対しては、ユニタリ基底を選択できます。これは、反対称行列のスペクトル理論を証明します。

この標準的なシンプレクティック形式を解釈する別の方法があります。上で使用したモデル空間R ^{2 n は}多くの標準構造を持ち、誤解を招きやすいため、代わりに「匿名」ベクトル空間を使用します。Vをn次元の実ベクトル空間とし、V ^{∗ を}その双対空間とします。ここで、次の形式を備えたこれらの空間の 直和 W = V ⊕ V ^∗を考えます。

${\displaystyle \omega (x\oplus \eta ,y\oplus \xi )=\xi (x)-\eta (y)。}$

ここで、Vの任意の基底 （v ₁、...、v _n）を選択し、その双対基底を考える。

${\displaystyle \left(v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\right).}$

x _i = ( v _i , 0) およびy _i = (0, v _i ^∗ )と書けば、基底ベクトルはWにあると解釈できる。これらを合わせると、Wの完全な基底が形成される。

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}).}$

ここで定義された形式ω は、このセクションの冒頭で示したものと同じ特性を持つことがわかります。一方、すべてのシンプレクティック構造は、形式V ⊕ V ^∗のいずれかに同型です。部分空間V は一意ではなく、部分空間Vの選択は分極と呼ばれます。このような同型性を与える部分空間は、ラグランジアン部分空間または単にラグランジアンと呼ばれます。

明示的には、以下に定義されるラグランジアン部分空間が与えられた場合、基底( x ₁、...、x _n )の選択により、 ω ( x _i、y _j ) = δ _ijによって補集合の双対基底が定義されます。

すべてのシンプレクティック構造が形式V ⊕ V ^∗のいずれかに同型であるのと同様に、ベクトル空間上のすべての複素構造は形式V ⊕ Vのいずれかに同型です。これらの構造を使用すると、2 n多様体として考えた場合のn多様体の接線バンドルはほぼ複素構造を持ち、2 n多様体として考えた場合のn多様体の余接線バンドルはシンプレクティック構造T _∗ ( T ^∗ M ) _p = T _p ( M ) ⊕ ( T _p ( M )) ^{∗ を}持ちます。

ラグランジアン部分空間の複素類似物は実部分空間であり、その複素化が空間全体である部分空間です: W = V ⊕ J V。上記の標準シンプレクティック形式からわかるように、R ^{2 n}上のすべてのシンプレクティック形式は、 C ⁿ上の標準複素（エルミート）内積の虚部と同型です（最初の引数が反線形であるという慣例があります）。

ω をn次元実ベクトル空間V上の交代双線型形式とし、ω ∈ Λ ² ( V )とする。このとき、ωが非退化であるためには、nが偶数でω ^{n /2} = ω ∧ ... ∧ ωが体積形式となる必要がある。n次元ベクトル空間V上の体積形式は、n形式e ₁ ^∗ ∧ ... ∧ e _n ^∗の非ゼロ倍であり、e ₁、e ₂、 ...、e _{n は}Vの基底である。

前のセクションで定義した標準基底については、

${\displaystyle \omega ^{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}x_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge y_{n}^{*}.}$

順序を変えると、

${\displaystyle \omega ^{n}=x_{1}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{n}^{*}.}$

標準的な体積形式として、ω ⁿまたは (−1) ^{n /2} ω ^{n を}さまざまな方法で定義します。交代積の定義にn ! の因子が含まれるかどうかに応じて、n ! の因子が時々現れることもあります。体積形式は、シンプレクティックベクトル空間( V、ω )上の方向を定義します。

( V , ω )と( W , ρ )がシンプレクティックベクトル空間であると仮定します。線型写像 f  : V → Wは、プルバックがシンプレクティック形式を保存する場合、つまりf ^∗ ρ = ωである場合に、シンプレクティック写像と呼ばれます。ここで、プルバック形式は( f ^∗ ρ )( u , v ) = ρ ( f ( u ), f ( v ))で定義されます。シンプレクティック写像は、体積と方向を保存します。

V = Wの場合、シンプレクティック写像はVの線型シンプレクティック変換と呼ばれます。特に、この場合、ω ( f ( u ), f ( v )) = ω ( u , v )であるため、線型変換fはシンプレクティック形式を保存します。すべてのシンプレクティック変換の集合は、グループ、特にリー群を形成します。リー群はシンプレクティック群と呼ばれ、 Sp( V ) または場合によってはSp( V , ω )で表されます。行列形式では、シンプレクティック変換はシンプレクティック行列によって与えられます。

W をVの線型部分空間とする。Wのシンプレクティック補空間を部分空間として 定義する。

${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V\mid \omega (v,w)=0{\mbox{ for all }}w\in W\}.}$

シンプレクティック補集合は以下を満たします:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(W^{\perp }\right)^{\perp }&=W\\\dim W+\dim W^{\perp }&=\dim V.\end{aligned}}}$

しかし、直交補集合とは異なり、W ^⊥ ∩ Wは0である必要はありません。4つのケースを区別します。

• W ^⊥ ∩ W = {0 }のとき、W はシンプレクティックである。これは、 ω がW上の非退化形式に制限される場合にのみ真である。制限された形式を持つシンプレクティック部分空間は、それ自体がシンプレクティックベクトル空間である。
• W ⊆ W ^⊥のとき、W は等方性である。これは、 ω がW上で 0 に制限される場合にのみ真である。任意の 1 次元部分空間は等方性である。
• W が共等方性を持つのは、W ^⊥ ⊆ Wのときです。Wが共等方性を持つのは、 ω が商空間 W / W ⊥ 上で非退化形式に降下する場合のみです。同様に、W が共等方性を持つのは、 W ⊥ が等方性である場合のみです。任意の共 次元が-1^の部分空間は共等方^性です。
• W = W ^⊥のとき、W はラグランジアンです。部分空間がラグランジアンとなるのは、それが等方性かつ共等方性である場合のみです。有限次元ベクトル空間では、ラグランジアン部分空間は、次元がVの半分である等方性部分空間です。すべての等方性部分空間は、ラグランジアン部分空間に拡張できます。

上記の正準ベクトル空間R ^{2 n}を参照すると、

• { x ₁ , y ₁ }によって張られる部分空間はシンプレクティックである
• { x ₁ , x ₂ }によって張られる部分空間は等方性である
• { x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ }で張られる部分空間は共等方性である
• { x ₁ , x ₂ , ..., x _n }によって張られる部分空間はラグランジアンである。

ハイゼンベルク群は任意のシンプレクティックベクトル空間に対して定義することができ、これがハイゼンベルク群が生じる典型的な方法です。

ベクトル空間は、可換リー群（加法の下で）として考えることができます。または、それと同等に、自明なリー括弧を持つ可換リー代数として考えることができます。ハイゼンベルク群は、このような可換リー群/代数の中心的な拡張です。シンプレクティック形式は、標準交換関係（CCR）と同様に交換を定義し、ダルブー基底は標準座標 （物理学用語では、運動量演算子と位置演算子）に対応します。

実際、ストーン・フォン・ノイマンの定理によれば、CCR を満たすすべての表現 (ハイゼンベルク群のすべての表現) はこの形式であり、より正確には標準の表現とユニタリ共役です。

さらに、ベクトル空間（の双対）の群代数は対称代数であり、ハイゼンベルク群（の双対）の群代数はワイル代数です。中心拡大は量子化または変形に対応するものと考えることができます。

正式には、体F上のベクトル空間Vの対称代数は、双対の群代数Sym( V ) := F [ V ^∗ ]であり、ワイル代数は (双対) ハイゼンベルク群の群代数W ( V ) = F [ H ( V ^∗ )]です。群代数への移行は反変関数であるため、中心拡大写像H ( V ) → V は包含Sym( V ) → W ( V )になります。

• シンプレクティック多様体は、各接空間上で滑らかに変化する閉じたシンプレクティック形式を持つ滑らかな多様体です。
• マスロフ指数
• シンプレクティック表現は、各グループ要素がシンプレクティック変換として機能するグループ表現です。

• クロード・ゴドビヨン (1969) 「幾何学の違いと機械的分析」、ヘルマン
• アブラハム、ラルフ、マースデン、ジェロルド E. (1978)。「ハミルトン系とラグランジアン系」。力学の基礎(第 2 版)。ロンドン: ベンジャミン カミングス。pp. 161–252。ISBN 0-8053-0102-X。PDF
• ポレット・リベルマンとシャルル＝ミシェル・マール（1987）「シンプレクティック幾何学と解析力学」、D. ライデル
• ジャン＝マリー・スーリオ（1997）「動的システムの構造、物理学のシンプレクティックな見方」、シュプリンガー