コンパクトオープン型トポロジー

数学において、コンパクト開位相とは、 2つの位相空間間の連続写像の集合上で定義される位相である。コンパクト開位相は関数空間上でよく用いられる位相の一つであり、ホモトピー理論や関数解析に応用されている。これは1945年にラルフ・フォックスによって導入された。^[¹^]

検討対象の関数の終域が一様構造または距離構造を持つ場合、コンパクト開位相は「コンパクト集合上の一様収束位相」である。つまり、関数列がコンパクト開位相で収束するのは、定義域のすべてのコンパクト部分集合上で一様収束する場合に限る。^[²^]

意味

$X$ と $Y$ を2 つの位相空間とし、 $C (X, Y)を$ $X$ と $Y$ の間の $すべての$ 連続写像の集合とする。Xのコンパクト部分集合 $K$ と $Y$ の開部分集合 $U$ が与えられたとき、 $V$ $($ $K$ $,$ $U$ $)を$ $f$ $($ $K$ $) \subseteq$ $U$ となるすべての関数 $f$ $\in$ $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ の集合とする $。$ 言い換えれば、 $V(K,U)=C(K,U)\times _{C(K,Y)}C(X,Y)$ $すると、そのようなV (K, U)$ の集合は、 $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ 上のコンパクト開位相のサブベースとなる。（この集合は必ずしも $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ 上の位相のベースを形成するとは限らない。）

コンパクト生成空間のカテゴリーを扱う場合、コンパクトハウスドルフ空間の像である $K$ から形成される部分基底に制限することで、この定義を修正するのが一般的です。もちろん、 $X$ がコンパクト生成かつハウスドルフであれば、この定義は前の定義と一致します。しかし、コンパクト生成弱ハウスドルフ空間の便利なカテゴリーが、他の有用な性質の中でも特にデカルト閉であることを望む場合、修正された定義が重要になります。^[³^]^[⁴^]^[⁵^]この定義と上記の定義との混同は、コンパクトという言葉の使い方の違いに起因します。

$X$ が局所コンパクトである場合、 $X\times -$ 位相空間のカテゴリーからは常に右随伴空間を持つ $Hom(X,-)$ この随伴空間はコンパクト開位相と一致し、これを一意に定義するために使用できます。コンパクト生成空間の定義の変更は、位相空間の圏ではなく、コンパクト生成空間の圏における積の随伴空間を取ることと見なすことができ、これにより常に適切な随伴空間が存在することが保証されます。

物件

$*$ が一点空間である場合、 $C (*, Y)を$ $Y$ と同一視することができ、この同一視の下ではコンパクト開位相は $Y$ 上の位相と一致します。より一般的には、 $X が$ 離散空間である場合、 $C (X, Y)は$ $Y$ の $|$ $X$ $|$ コピーのデカルト積と同一視することができ、コンパクト開位相は積位相と一致します。
$Y$ が $T 0$ 、 $T 1$ 、ハウスドルフ、正則、またはチコノフである場合、コンパクト開位相は対応する分離公理を持つ。
$X$ がハウスドルフ空間であり、 $S が$ $Y$ の部分基底である場合、集合 ${$ $V$ $($ $K$ $,$ $U$ $)$ $:$ $U$ $\in$ $S$ $,$ $K$ $compact}は$ $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ 上のコンパクト開位相の部分基底である。^[⁶^]
$Y が$ 距離空間(またはより一般的には一様空間)である場合、コンパクト開位相はコンパクト収束の位相に等しくなります。言い換えれば、 $Y が$ 距離空間である場合、数列 ${f n}がコンパクト開位相で$ $f$ に収束するのは、 $X$ の任意のコンパクト部分集合 $K$ に対して、 ${$ $f$ $n$ $} が$ $K$ 上で一様に $f$ に収束する場合に限ります。X がコンパクトで Y が一様空間である場合 $、$ コンパクト $開位相は$ 一様収束の位相に等しくなります。
$X 、 Y$ 、 $Z$ が位相空間であり、 $Y が$ 局所コンパクトハウスドルフ空間(または局所コンパクトプレ正則空間)である場合、 $($ $f$ $,$ $g$ $) \mapsto$ $f$ $\circ$ $g$ で与えられる合成写像 $C (Y$ $,$ $Z$ $) \times$ $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $) \to$ $C$ $($ $X$ $,$ $Z$ $)は連続$ $です$ (ここで、すべての関数空間にはコンパクト開位相が与えられ、 $C$ $($ $Y$ $,$ $Z$ $) \times$ $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)には$ 積位相が与えられます)。
$X$ が局所的にコンパクトなハウスドルフ空間（またはプレ正則空間）である場合、 $e$ $($ $f$ $,$ $x$ $) =$ $f$ $($ $x$ $)$ で定義される評価写像 $e : C (X, Y) \times X \to Y$ $は連続である。これは、 Xが$ 一点空間である場合の上記の場合の特殊なケースと見なすことができる。
$X$ がコンパクトで、 $Y が$ 距離 $d$ を持つ距離空間である場合、 $C (X, Y)$ 上のコンパクト開位相は距離化可能であり、その距離は、f 、g が C ( X , Y ) に属する $場合$ $、$ $e ( f 、 g$ $)$ = $sup$ ${d (f (x), g (x)) : x$ $\in$ $X$ $}$ $で$ $与え$ $られ$ $ます$ 。 $より一般的に、$ $Xが$ $半$ コンパクトで、 $Y$ $が$ $距離空間$ $で$ ある場合、コンパクト開位相は、ここにリンクされている構成によって距離化可能です。

アプリケーション

コンパクト開位相（またはそのk化）は、次の集合の位相化に使用できます。^{[ 7 ]}

$\Omega (X,x_{0})=\{f:I\to X\mid f(0)=f(1)=x_{0}\}$ ループ空間 $X$ で $x_{0}$ 、
$E(X,x_{0},x_{1})=\{f:I\to X\mid f(0)=x_{0}{\text{ および }}f(1)=x_{1}\}$ 、
$E(X,x_{0})=\{f:I\to X\mid f(0)=x_{0}\}$ 。

さらに、空間間にはホモトピー同値性がある。 $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ ここで、Σは縮約サスペンションである。^{[ 7 ]}位相空間 $C(X,Y)$ これらはホモトピー理論において有用である。なぜなら、これらは位相空間を形成し、写像のホモトピー類の集合のホモトピー型のモデルを構築するために使用できるからである。 $\pi (X,Y)=\{[f]:X\to Y\mid f{\text{はホモトピー類である}}\}.$ これは $\pi (X,Y)$ はパスコンポーネントのセットです $C(X,Y)$ つまり、集合の同型性が存在する。 $\pi (X,Y)\to C(I,C(X,Y))/{\sim },$ どこ $\sim$ これはホモトピー同値である。

フレシェ微分可能関数

$X$ と $Y$ を同じ体上で定義された2 つのバナッハ空間とし、 $C$ $m$ $($ $U$ $,$ $Y$ $)$ を、開集合 $U$ $\subseteq$ $X$ $からY$ へのすべての $m$ 連続フレシェ微分可能な関数の集合とする。コンパクト開位相は、半ノルムによって誘導される初期位相である。

{\displaystyle p_{K}(f)=\sup \left\{\left\|D^{j}f(x)\right\|\

ここで、 $D 0 f (x) = f (x)$ 、各コンパクト部分集合 $K \subseteq U$ に対して。

参考文献

↑ Fox, Ralph H. (1945). "関数空間の位相について" . Bulletin of the American Mathematical Society . 51 (6): 429– 433. doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08370-0 .
↑ケリー、ジョン L. (1975).一般トポロジー. シュプリンガー・フェルラーク. p. 230.
↑ McCord, MC (1969). "空間と無限対称積の分類" .アメリカ数学会紀要. 146 : 273– 298. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251719-4 . JSTOR 1995173 .
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↑ 「コンパクトに生成された空間」(PDF)。2016年3月3日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2012年1月14日に取得。
↑ Jackson, James R. (1952). "位相積上の写像の空間とホモトピー理論への応用" (PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 3 (2): 327– 333. doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0047322-4 . JSTOR 2032279 .
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ああ。ヴィロ、OA イワノフ、VM ハルラモフ、N.Yu。 Netsvetaev (2007)初等トポロジーの問題の教科書。
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トポロジーと群体第5.9節ロナルド・ブラウン、2006年

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[2] ケリー、ジョン L. (1975).一般トポロジー. シュプリンガー・フェルラーク. p. 230.

[3] McCord, MC (1969). "空間と無限対称積の分類" .アメリカ数学会紀要. 146 : 273– 298. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251719-4 . JSTOR 1995173 .

[4] 「代数トポロジーの簡潔なコース」（PDF）

[5] 「コンパクトに生成された空間」(PDF)。2016年3月3日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2012年1月14日に取得。

[6] Jackson, James R. (1952). "位相積上の写像の空間とホモトピー理論への応用" (PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 3 (2): 327– 333. doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0047322-4 . JSTOR 2032279 .

[:0-7] 1 2フォメンコ、アナトリー; フックス、ドミトリー。ホモトピカルトポロジー（第2版）。pp. 20–23。

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コンパクトオープン型トポロジー

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物件

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関連項目

参考文献

関連するトピック

数学

位相空間

連続写像

集合