線形形式

実座標空間のベクトルを仮定する$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$列ベクトルとして表現される $${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

各行ベクトルについて${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}}$線形関数が存在する${\displaystyle f_{\mathbf {a} }}$定義される $${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}$$ そして、それぞれの線形汎関数はこの形式で表現できる。

これは、行ベクトルの行列積または内積として解釈できます。${\displaystyle \mathbf {a} }$そして列ベクトル${\displaystyle \mathbf {x} }$: $${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

痕跡​${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$正方行列の${\displaystyle A}$は、その主対角線上のすべての要素の合計です。行列はスカラーで乗算でき、同じ次元の2つの行列は加算できます。これらの操作により、すべての要素の集合からベクトル空間が作成されます。${\displaystyle n\times n}$行列。トレースはこの空間上の線形汎関数です。${\displaystyle \operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)}$そして${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle s}$そしてすべて${\displaystyle n\times n}$行列${\displaystyle A{\text{と}}B。}$

線形汎関数は、関数のベクトル空間の研究である関数解析において初めて登場しました。線形汎関数の典型的な例は積分です。積分とは、リーマン積分によって定義される線形変換です。$${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$ ベクトル空間からの線形汎関数${\displaystyle C[a,b]}$区間上の連続関数${\displaystyle [a,b]}$実数へ。線形性${\displaystyle I}$積分に関する標準的な事実から、次のことが導かれる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}}$$

させて${\displaystyle P_{n}}$次数が の実数値多項式関数のベクトル空間を表す。${\displaystyle \leq n}$区間上で定義される${\displaystyle [a,b].}$もし${\displaystyle c\in [a,b],}$それから${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}:P_{n}\to \mathbb {R} }$評価関数とする$${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}$$ マッピング${\displaystyle f\mapsto f(c)}$線形であるため $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}$$

もし${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$は${\displaystyle n+1}$明確な点${\displaystyle [a,b],}$次に評価関数${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}},}$${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$双対空間の基底を形成する${\displaystyle P_{n}}$（ラックス（1996）はラグランジュ補間を用いてこの最後の事実を証明している。）

関数${\displaystyle f}$直線の式を持つ${\displaystyle f(x)=a+rx}$と${\displaystyle a\neq 0}$（例えば、${\displaystyle f(x)=1+2x}$) は線形汎関数ではない${\displaystyle \mathbb {R} }$線形ではないため。^{[注2 ]}ただし、アフィン線形です。

もし${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$は${\displaystyle n+1}$[ a , b ]内の異なる点の場合、線形汎関数は${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}}:f\mapsto f\left(x_{i}\right)}$上記で定義されたものは、次数nの多項式の空間であるP _nの双対空間の基底を形成する。${\displaystyle \leq n.}$ 積分汎関数IもP _n上の線形汎関数であり、したがってこれらの基底要素の線形結合として表現できます。記号では、係数は次のようになります。${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$そのために $${\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}$$ すべての人々のために${\displaystyle f\in P_{n}.}$これは数値積分理論の基礎を形成する。^{[ 7 ]}

線形汎関数は量子力学において特に重要です。量子力学系はヒルベルト空間で表され、ヒルベルト空間は自身の双対空間と反同型です。量子力学系の状態は線形汎関数と同一視できます。詳細については、ブラケット記法を参照してください。

一般化関数の理論では、分布と呼ばれる特定の種類の一般化関数は、テスト関数の空間上の線形汎関数として実現できます。

ベクトル空間V の基底を${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$必ずしも直交するとは限らない。すると双対空間は${\displaystyle V^{*}}$根拠がある${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}}$双対基底と呼ばれる特別な性質によって定義される $${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}}$$

あるいは、もっと簡潔に言うと、 $${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}}$$

どこ${\displaystyle \delta _{ij}}$はクロネッカーのデルタです。ここで、基底汎関数の上付き文字は指数ではなく、反変インデックスです。

線形関数${\displaystyle {\tilde {u}}}$双対空間に属する${\displaystyle {\tilde {V}}}$は、係数（「成分」）u _iを持つ基底汎関数の線形結合として表現できます。 $${\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.}$$

次に、関数を適用する${\displaystyle {\tilde {u}}}$基底ベクトルへ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$収量 $${\displaystyle {\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left(\mathbf {e} _{j}\right)\right]}$$

汎関数のスカラー倍の線形性と汎関数の和の点ごとの線形性により、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {u}}({\mathbf {e} }_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\mathbf {e} }_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\&=u_{j}.\end{aligned}}}$$

したがって、線形汎関数の各成分は、対応する基底ベクトルにその汎関数を適用することによって抽出できる。

空間Vが内積を持つ場合、与えられた基底の双対基底の公式を明示的に記述することが可能です。Vが(必ずしも直交ではない) 基底を持つとします。${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.}$3次元（n = 3）では、双対基底は明示的に記述できる。 $${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$ のために${\displaystyle i=1,2,3,}$ここでεはレヴィ＝チヴィタ記号であり、${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$Vの内積 (またはドット積) 。

高次元では、これは次のように一般化される。 $${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$ どこ${\displaystyle \star }$ホッジスター演算子です。

すべての線形関数${\displaystyle X}$は複素数値であり、すべての線形汎関数は${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$は実数値です。${\displaystyle \dim X\neq 0}$次に、どちらか一方に対する線形関数${\displaystyle X}$または${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$非自明である（つまり、同一ではない）${\displaystyle 0}$) は全射である場合に限る (なぜなら、${\displaystyle \varphi (x)\neq 0}$すると任意のスカラーに対して${\displaystyle s,}$${\displaystyle \varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s}$)、ここで、上の線形汎関数の像${\displaystyle X}$は${\displaystyle \mathbb {C} }$線形汎関数の画像は${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$は${\displaystyle \mathbb {R} .}$ したがって、唯一の機能は${\displaystyle X}$それは線形汎関数である${\displaystyle X}$そして線形関数${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$は自明な関数です。言い換えれば、${\displaystyle X^{\#}\cap X_{\mathbb {R} }^{\#}=\{0\},}$どこ${\displaystyle \,{\cdot }^{\#}}$は空間の代数的双対空間を表す。ただし、すべての${\displaystyle \mathbb {C} }$-線形関数${\displaystyle X}$は${\displaystyle \mathbb {R} }$-線形演算子（つまり、加法的かつ同次である）${\displaystyle \mathbb {R} }$)、ただし、それが同一でない限り${\displaystyle 0,}$それは${\displaystyle \mathbb {R} }$-線形関数${\displaystyle X}$なぜならその範囲は${\displaystyle \mathbb {C} }$) は 2 次元である${\displaystyle \mathbb {R} .}$逆に、ゼロでない${\displaystyle \mathbb {R} }$-線形関数は、${\displaystyle \mathbb {C} }$線形関数でもある。

もし${\displaystyle \varphi \in X^{\#}}$次に、その実部をで表す。${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$そしてその想像上の部分は${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$ それから${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:X\to \mathbb {R} }$そして${\displaystyle \varphi _{i}:X\to \mathbb {R} }$は線形汎関数である${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$そして${\displaystyle \varphi =\varphi _{\mathbb {R} }+i\varphi _{i}.}$ 事実${\displaystyle z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz)=\operatorname {Im} (iz)+i\operatorname {Im} z}$すべての人々のために${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$すべての${\displaystyle x\in X,}$^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\varphi (x)&=\varphi _{\mathbb {R} }(x)-i\varphi _{\mathbb {R} }(ix)\\&=\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}}$$ そしてその結果、${\displaystyle \varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)}$そして${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix).}$^{[ 11 ]}

課題${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{\mathbb {R} }}$全単射を定義する^{[ 11 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$-線形演算子${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$その逆写像は${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$割り当てによって定義される${\displaystyle g\mapsto L_{g}}$送信${\displaystyle g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }$線形関数へ${\displaystyle L_{g}:X\to \mathbb {C} }$定義される $${\displaystyle L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)\quad {\text{ for all }}x\in X.}$$ 本当の部分は${\displaystyle L_{g}}$は${\displaystyle g}$そして全単射${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$は${\displaystyle \mathbb {R} }$-線形演算子、つまり${\displaystyle L_{g+h}=L_{g}+L_{h}}$そして${\displaystyle L_{rg}=rL_{g}}$すべての人々のために${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$そして${\displaystyle g,h\in X_{\mathbb {R} }^{\#}.}$^{[ 11 ]} 同様に虚数部についても、割り当ては${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{i}}$誘発する${\displaystyle \mathbb {R} }$-線形全単射${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$その逆写像は${\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$送信によって定義される${\displaystyle I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}}$線形汎関数へ${\displaystyle X}$定義される${\displaystyle x\mapsto I(ix)+iI(x).}$

この関係は1934年にヘンリー・レーヴィヒによって発見されました（通常はF.マレーの功績とされています）^{[ 12 ]} 。そして、自然な方法で任意の有限体拡大に一般化することができます。この関係には多くの重要な帰結があり、そのうちのいくつかをこれから説明します。

仮定する${\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }$は線形汎関数である${\displaystyle X}$実際の部品付き${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$そして想像上の部分${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$

それから${\displaystyle \varphi =0}$かつその場合に限り${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }=0}$かつその場合に限り${\displaystyle \varphi _{i}=0.}$

と仮定する${\displaystyle X}$は位相ベクトル空間である。すると${\displaystyle \varphi }$連続であるのは、その実部が${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }}$連続であるのは、${\displaystyle \varphi }$の想像上の部分${\displaystyle \varphi _{i}}$連続である。つまり、3つすべてが${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$そして${\displaystyle \varphi _{i}}$連続であるか、連続していないかのいずれかである。これは、「連続」という言葉を「有界」という言葉に置き換えても変わらない。特に、${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$かつその場合に限り${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$ここでプライム記号は空間の連続双対空間を表す。^{[ 10 ]}

させて${\displaystyle B\subseteq X.}$もし${\displaystyle uB\subseteq B}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle u\in \mathbb {C} }$単位長さ（つまり${\displaystyle |u|=1}$) 次に^{[証明 1 ] [ 13 ]}$${\displaystyle \sup _{b\in B}|\varphi (b)|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|.}$$ 同様に、${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathbb {R} }$複素数部分を表す${\displaystyle \varphi }$それから${\displaystyle iB\subseteq B}$暗示する$${\displaystyle \sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{i}(b)\right|.}$$ もし${\displaystyle X}$ノルムを持つノルム空間${\displaystyle \|\cdot \|}$そしてもし${\displaystyle B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$が閉じた単位球である場合、上記の上限は演算子ノルム（通常の方法で定義）である。${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$そして${\displaystyle \varphi _{i}}$そのため^{[ 13 ]}$${\displaystyle \|\varphi \|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\varphi _{i}\right\|.}$$ この結論は、一般的な位相ベクトル空間における平衡集合の極座標についても同様の主張が成り立つことを示唆している。

• もし${\displaystyle X}$は、（複素）内積を持つ複素ヒルベルト空間である。${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$それは最初の座標に関して反線形であり（そして2番目の座標に関して線形である）、${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$実部が備わると、実ヒルベルト空間となる。${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle .}$具体的には、この実際の内積は${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$定義される${\displaystyle \langle x|y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x|y\rangle }$すべての人々のために${\displaystyle x,y\in X}$そしてそれは同じ規範を${\displaystyle X}$として${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$なぜなら${\displaystyle {\sqrt {\langle x|x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x|x\rangle }}}$すべてのベクトルについて${\displaystyle x.}$リース表現定理を適用する${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$（対応して）${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$)は一意のベクトルの存在を保証する${\displaystyle f_{\varphi }\in X}$(それぞれ)${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }}$) のように${\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }|\,x\right\rangle }$(それぞれ)${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}|\,x\right\rangle _{\mathbb {R} }}$）すべてのベクトルについて${\displaystyle x.}$この定理はまた、${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\|\varphi \|_{X^{\prime }}}$そして${\displaystyle \left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}.}$容易に検証できるのは${\displaystyle f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.}$今${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|}$そして、前述の等式は、${\displaystyle \|\varphi \|_{X^{\prime }}=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }},}$これは、上で述べた結論と同じである。

連続線形汎関数は解析において優れた性質を持つ。線形汎関数は、その核が閉じている場合に限り連続であり、^{[ 15 ]}非自明な連続線形汎関数は、（位相的）ベクトル空間が完備でなくても開写像である。 ^{[ 16 ]}

ベクトル部分空間上の任意の（代数的）線形汎関数は、空間全体に拡張できます。たとえば、上述の評価汎関数は、すべての多項式のベクトル空間に拡張できます。${\displaystyle \mathbb {R} .}$ しかし、この拡張は線形汎関数を連続に保ちながら常に実行できるとは限りません。ハーン・バナッハの定理は、この拡張が可能な条件を示しています。例えば、

X を連続双対空間を持つ位相ベクトル空間(TVS)とする${\displaystyle X'.}$

の任意の部分集合Hに対して${\displaystyle X',}$以下は同等です: ^{[ 20 ]}

1. Hは等連続である。
2. Hはある近傍の極性に含まれています${\displaystyle 0}$Xにおいて;
3. Hの(前)極性は、${\displaystyle 0}$Xにおいて;

Hが等連続部分集合である場合${\displaystyle X'}$すると、次の集合も等連続になります。弱*閉包、平衡包、凸包、凸平衡包。^{[ 20 ]} さらに、アラオグルの定理は、等連続部分集合の弱*閉包が ${\displaystyle X'}$弱*コンパクトである（したがって、すべての等連続部分集合は弱*相対コンパクトである）。^{[ 21 ] [ 20 ]}