フーリエ積分演算子

数学的解析において、フーリエ積分演算子は偏微分方程式の理論における重要なツールとなっている。フーリエ積分演算子のクラスには、特殊なケースとして、古典的な積分演算子だけでなく微分演算子も含まれる。

フーリエ積分演算子は次のように与えられます。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi i\Phi (x,\xi )}a(x,\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi }$

ここで、 はのフーリエ変換を表し、 はでコンパクトにサポートされている標準記号であり、 で実数値で同次次です。 また、 のサポート上にが必要であることも必要です。 これらの条件下で、が0 次である場合、が からへの有界演算子を定義することを示すことができます。^[1]${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a(x,\xi )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{i}\,\partial \xi _{j}}}\right)\neq 0}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

フーリエ積分演算子を研究する動機の 1 つは、波動演算子の初期値問題の解演算子です。実際、次の問題を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}(t,x)=\Delta u(t,x)\quad \mathrm {for} \quad (t,x)\in \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{n},}$

そして

${\displaystyle u(0,x)=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}(0,x)=f(x),\quad \mathrm {for} \quad f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}).}$^{[定義が必要]}

この問題の解は次のように与えられる。

${\displaystyle u(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int {\frac {e^{i(\langle x,\xi \rangle +ct| \xi |)}}{2ic|\xi |}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi -{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\ int {\frac {e^{i(\langle x,\xi \rangle -ct|\xi |)}}{2ic|\xi |}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

これらは一般に収束しないため、振動積分として解釈する必要があります。これは形式的には 2 つのフーリエ積分演算子の和のように見えますが、各積分の係数は原点で滑らかではなく、したがって標準の記号ではありません。この特異点をカットオフ関数で切り離すと、そのようにして得られた演算子は、滑らかな関数を法として初期値問題の解を提供します。したがって、初期データの特異点の伝播のみに関心がある場合は、このような演算子を検討すれば十分です。実際、波動方程式の音速 c が位置によって変化することを許容すると、滑らかな関数を法として解を提供するフーリエ積分演算子を見つけることができ、したがってフーリエ積分演算子は、可変速度波動方程式、およびより一般的には他の双曲型方程式の解の特異点の伝播を研究するための便利なツールを提供します。

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• エリアス・スタイン『調和解析：実変数法、直交性、振動積分』プリンストン大学出版、1993年。ISBN 0-691-03216-5 
• F. トレベス『擬似微分およびフーリエ積分演算子入門』 (大学数学シリーズ)、プレナム出版、1981年。ISBN 0-306-40404-4 
• JJ Duistermaat、フーリエ積分演算子、(数学の進歩)、Birkhäuser 1995。ISBN 0-8176-3821-0 

• 「フーリエ積分演算子」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]