メーラー 核は、 量子調和振動子 の 伝播関数 であることがわかった複素数値関数です 。
メーラー （1866）は関数を定義した [1]
え （ x 、 ええ ） =
1
1 −
ρ
2
経験
（
−
ρ
2
（
x
2
+
ええ
2
） − 2 ρ x ええ
（ 1 −
ρ
2
）
）
、
{\displaystyle E(x,y)={\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{(1-\rho ^{2})}}\right)~,}
そして、現代化された表記法では、 [2]は、 重み関数exp(− x ²)
に基づく エルミート多項式 H (.)で展開できることを示した。
え （ x 、 ええ ） =
∑
ん = 0
∞
（ ρ
/
2
）
ん
ん ！
H
ん
（ x ）
H
ん
（ ええ ）
。
{\displaystyle E(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}~{\mathit {H} }_{n}(x){\mathit {H}}_{n}(y)~.}
この結果は、修正された形で量子物理学、確率論、調和解析に役立ちます。
物理バージョン 物理学では、 量子調和振動子 のハミルトニアンの 基本解 （ グリーン関数 ）、または 伝播関数は メーラー核 と呼ばれ、メーラー核は [3] φ ( x , t )の 基本解を 与える 。
∂ φ
∂ t
=
∂
2
φ
∂
x
2
−
x
2
φ ≡
だ
x
φ
。
{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}-x^{2}\varphi \equiv D_{x}\varphi ~.}
演算子 Dの正規直交固有関数は エルミート関数 であり 、
ψ
ん
=
H
ん
（ x ） 経験 （ −
x
2
/
2 ）
2
ん
ん ！
π
、
{\displaystyle \psi _{n}={\frac {H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}},}
対応する固有値（-2 n -1）を持ち、特定の解を与える。
φ
ん
（ x 、 t ） =
e
− （ 2 ん + 1 ） t
H
ん
（ x ） 経験 （ −
x
2
/
2 ）
。
{\displaystyle \varphi_{n}(x,t)=e^{-(2n+1)t}~H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)~.}
一般解はこれらの線形結合であり、初期条件 φ ( x ,0) に適合すると、一般解は次のように簡約される。
φ （ x 、 t ） = ∫ け （ x 、 ええ ; t ） φ （ ええ 、 0 ） d ええ
、
{\displaystyle \varphi (x,t)=\int K(x,y;t)\varphi (y,0)dy~,}
ここで、核 Kは 分離表現を持つ。
け （ x 、 ええ ; t ） ≡
∑
ん ≥ 0
e
− （ 2 ん + 1 ） t
π
2
ん
ん ！
H
ん
（ x ）
H
ん
（ ええ ） 経験 （ − （
x
2
+
ええ
2
）
/
2 ）
。
{\displaystyle K(x,y;t)\equiv \sum _{n\geq 0}{\frac {e^{-(2n+1)t}}{{\sqrt {\pi }}2^{ n}n!}}~H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)~.}
メーラーの公式を用いると、
∑
ん ≥ 0
（ ρ
/
2
）
ん
ん ！
H
ん
（ x ）
H
ん
（ ええ ） 経験 （ − （
x
2
+
ええ
2
）
/
2 ） =
1
（ 1 −
ρ
2
）
経験
（
4 x ええ ρ − （ 1 +
ρ
2
） （
x
2
+
ええ
2
）
2 （ 1 −
ρ
2
）
）
。
{\displaystyle {\sum _{n\geq 0}{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)={1 \over {\sqrt {(1-\rho ^{2})}}}\exp \left({4xy\rho -(1+\rho ^{2})(x^{2}+y^{2}) \over 2(1-\rho ^{2})}\right)}~.}
これをK の式に代入し、 ρ に exp(−2 t ) の値を与えると 、メーラー核は最終的に次のように表される。
け （ x 、 ええ ; t ） =
1
2 π シン （ 2 t ）
経験
（
− コス （ 2 t ）
（
x
2
+
ええ
2
）
/
2 + チェコ （ 2 t ）
x ええ
）
。
{\displaystyle K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sinh(2t)}}}~\exp \left(-\coth(2t)~(x^{2}+y^{2})/2+\operatorname {csch} (2t)~xy\right).}
t = 0のとき 、変数 x と yは 一致し、初期条件に必要な極限式が得られる。
け （ x 、 ええ ; 0 ） = δ （ x − ええ ）
。
{\displaystyle K(x,y;0)=\delta (xy)~.}
根本的な解決策として、カーネルは加法的であり、
∫ d ええ け （ x 、 ええ ; t ） け （ ええ 、 ず ;
t ′
） = け （ x 、 ず ; t +
t ′
）
。
{\displaystyle \int dyK(x,y;t)K(y,z;t')=K(x,z;t+t')~.}
これはさらに、核 K のシンプレクティック回転構造と関係している。 [4]
通常の物理学の慣例に従って 量子
調和振動子を定義する場合、
私
∂ φ
∂ t
=
1 2
（
−
∂
2
∂
x
2
+
x
2
）
φ ≡ H φ 、
{\displaystyle i{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}\right)\varphi \equiv H\varphi ,}
そして、 自然な長さとエネルギースケール を仮定すると、メーラー核は ファインマン伝播関数 となり、次のように表される。
け
H
{\displaystyle K_{H}}
⟨ x ∣ 経験 （ − 私 t H ） ∣ ええ ⟩ ≡
け
H
（ x 、 ええ ; t ） =
1
2 π 私 罪 t
経験
（
私
2 罪 t
（
（
x
2
+
ええ
2
） コス t − 2 x ええ
）
）
、 t < π 、
{\displaystyle \langle x\mid \exp(-itH)\mid y\rangle \equiv K_{H}(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left((x^{2}+y^{2})\cos t-2xy\right)\right),\quad t<\pi ,}
つまり
け
H
（ x 、 ええ ; t ） = け （ x 、 ええ ; 私 t
/
2 ） 。
{\displaystyle K_{H}(x,y;t)=K(x,y;it/2).}
逆平方根の は に置き換えられ 、追加の マスロフ位相 係数 [5] を乗じる必要があります 。
t > π
{\displaystyle t>\pi }
私 罪 t
{\displaystyle i\sin t}
|
罪 t
|
{\displaystyle |\sin t|}
け
H
{\displaystyle K_{H}}
経験
（
私
θ
ま 1つの s l o ヴ
）
= 経験
（
− 私
π 2
（
1 2
+
⌊
t π
⌋
）
）
。
{\displaystyle \exp \left(i\theta _{\rm {Maslov}}\right)=\exp \left(-i{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {1}{2}}+\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}\right\rfloor \right)\right).}
一般解が 初期条件の フーリエ変換 に比例する
場合 、
t = π
/
2
{\displaystyle t=\pi /2}
ふ
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
φ
0
（ ええ ） ≡ φ （ ええ 、 0 ）
{\displaystyle \varphi _{0}(y)\equiv \varphi (y,0)}
φ （ x 、 t = π
/
2 ） = ∫
け
H
（ x 、 ええ ; π
/
2 ） φ （ ええ 、 0 ） d ええ =
1
2 π 私
∫ 経験 （ − 私 x ええ ） φ （ ええ 、 0 ） d ええ = 経験 （ − 私 π
/
4 ）
ふ
[
φ
0
] （ x ）
、
{\displaystyle \varphi (x,t=\pi /2)=\int K_{H}(x,y;\pi /2)\varphi (y,0)dy={\frac {1}{\sqrt {2\pi i}}}\int \exp(-ixy)\varphi (y,0)dy=\exp(-i\pi /4){\mathcal {F}}[\varphi _{0}](x)~,}
そして、正確な フーリエ変換は 量子調和振動子の 数演算子 から次のように得られる [6]
いいえ ≡
1 2
（
x −
∂
∂ x
）
（
x +
∂
∂ x
）
= H −
1 2
=
1 2
（
−
∂
2
∂
x
2
+
x
2
− 1
）
{\displaystyle N\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=H-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right)~}
結果として得られるカーネル
⟨ x ∣ 経験 （ − 私 t いいえ ） ∣ ええ ⟩ ≡
け
いいえ
（ x 、 ええ ; t ） = 経験 （ 私 t
/
2 ）
け
H
（ x 、 ええ ; t ） = 経験 （ 私 t
/
2 ） け （ x 、 ええ ; 私 t
/
2 ）
{\displaystyle \langle x\mid \exp(-itN)\mid y\rangle \equiv K_{N}(x,y;t)=\exp(it/2)K_{H}(x,y;t)=\exp(it/2)K(x,y;it/2)}
は、および で依然として発生する位相因子を補償する 。すなわち、
K
H
{\displaystyle K_{H}}
K
{\displaystyle K}
φ
(
x
,
t
=
π
/
2
)
=
∫
K
N
(
x
,
y
;
π
/
2
)
φ
(
y
,
0
)
d
y
=
F
[
φ
0
]
(
x
)
,
{\displaystyle \varphi (x,t=\pi /2)=\int K_{N}(x,y;\pi /2)\varphi (y,0)dy={\mathcal {F}}[\varphi _{0}](x)~,}
これは、 数演算子 がメーラー核を介して、任意の t の値に対する分数フーリエ変換の 生成子 として、また 特定の値 に対する従来の フーリエ変換の生成子として解釈できることを示している。メーラー核は 能動変換を 提供し 、対応する受動変換は 位置空間から 運動量空間への 基底変換 にすでに埋め込まれている。 の固有関数は 通常の エルミート関数であり、したがって の 固有関数 で もある 。 [7]
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
t
=
π
/
2
{\displaystyle t=\pi /2}
N
{\displaystyle N}
ψ
n
(
x
)
{\displaystyle \psi _{n}(x)}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
確率バージョン メーラーの結果は確率にも結び付けられる。このためには、変数を x → x / √ 2 、 y → y / √ 2 と再スケールし、物理学者のエルミート多項式 H (.) (重み関数 exp(− x 2 )) から確率論者のエルミート多項式 He (.) (重み関数 exp(− x 2 /2)) に変更する必要がある。すると、 E は 次のようになる。
1
1
−
ρ
2
exp
(
−
ρ
2
(
x
2
+
y
2
)
−
2
ρ
x
y
2
(
1
−
ρ
2
)
)
=
∑
n
=
0
∞
ρ
n
n
!
H
e
n
(
x
)
H
e
n
(
y
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~{\mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.}
ここでの左側は p ( x , y )/ p ( x ) p ( y ) であり、 p ( x , y ) は 平均がゼロで分散が単位である 変数 x 、 y の二変量ガウス確率密度 関数です。
p
(
x
,
y
)
=
1
2
π
1
−
ρ
2
exp
(
−
(
x
2
+
y
2
)
−
2
ρ
x
y
2
(
1
−
ρ
2
)
)
,
{\displaystyle p(x,y)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)~,}
p ( x ) 、 p ( y ) は、 x と y の対応する確率密度です （両方とも標準正規分布）。
以下に、よく引用される結果の形式を示す（Kibble 1945） [8]
p
(
x
,
y
)
=
p
(
x
)
p
(
y
)
∑
n
=
0
∞
ρ
n
n
!
H
e
n
(
x
)
H
e
n
(
y
)
.
{\displaystyle p(x,y)=p(x)p(y)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~{\mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.}
この展開は、 p ( x , y ) の2次元フーリエ変換を使用することによって最も簡単に導かれ 、
c
(
i
u
1
,
i
u
2
)
=
exp
(
−
(
u
1
2
+
u
2
2
−
2
ρ
u
1
u
2
)
/
2
)
.
{\displaystyle c(iu_{1},iu_{2})=\exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\rho u_{1}u_{2})/2)~.}
これは次のように拡張できる。
exp
(
−
(
u
1
2
+
u
2
2
)
/
2
)
∑
n
=
0
∞
ρ
n
n
!
(
u
1
u
2
)
n
.
{\displaystyle \exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})/2)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}(u_{1}u_{2})^{n}~.}
逆フーリエ変換により、上記の展開式が直ちに得られます。
この結果は多次元の場合にも拡張できる。 [8] [9] [10]
エルミート関数 ψn は フーリエ変換の 正規直交固有関数なので 、
F
[
ψ
n
]
(
y
)
=
(
−
i
)
n
ψ
n
(
y
)
,
{\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi _{n}](y)=(-i)^{n}\psi _{n}(y)~,}
調和解析 と 信号処理 では 、フーリエ演算子を対角化し、
F
[
f
]
(
y
)
=
∫
d
x
f
(
x
)
∑
n
≥
0
(
−
i
)
n
ψ
n
(
x
)
ψ
n
(
y
)
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}[f](y)=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.}
したがって、実 角 α の連続一般化は 容易に定義できる（ Wiener 、1929; [11] Condon 、1937 [12] ）、 分数フーリエ変換 （FrFT）は、カーネル
F
α
=
∑
n
≥
0
(
−
i
)
2
α
n
/
π
ψ
n
(
x
)
ψ
n
(
y
)
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }=\sum _{n\geq 0}(-i)^{2\alpha n/\pi }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.}
これは、 フーリエ変換 を一般化する連続的な線型変換族であり、 α = π /2 の場合は 標準フーリエ変換に簡約され、 α = − π /2 の場合は逆フーリエ変換に簡約されます。
メーラーの公式は ρ = exp(−i α )に対して直接的に次の式を与える。
F
α
[
f
]
(
y
)
=
1
−
i
cot
(
α
)
2
π
e
i
cot
(
α
)
2
y
2
∫
−
∞
∞
e
−
i
(
csc
(
α
)
y
x
−
cot
(
α
)
2
x
2
)
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f](y)={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}~e^{i{\frac {\cot(\alpha )}{2}}y^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\left(\csc(\alpha )~yx-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x~.}
平方根は、結果の引数が [− π /2, π /2] の区間内になるように定義されます。
αが π の整数倍の 場合 、上記の コタンジェント関数 と コセカント 関数は発散します。 の 極限 では、核は 被積分関数の ディラックのデルタ関数 δ(x−y) または δ(x+y) になります( αはそれぞれ π の偶数倍または奇数倍 ) 。 [ f ] = f (− x ) なので 、 [ f ] は 、 α が π の 偶数 倍または奇数倍 の場合に 、それぞれ単純に f ( x ) または f (− x ) になります 。
F
2
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}}
F
α
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }}
参照
参考文献
^ Mehler, FG (1866)、「Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung」、 Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語) (66): 161–176、 ISSN 0075-4102、 ERAM 066.1720cj （174ページ、式（18）および173ページ、式（13）を参照） ^ エルデーリ、アーサー ； マグナス、ウィルヘルム ；オーバーヘッティンガー、フリッツ； トリコミ、フランチェスコ G. (1955)、 高次超越関数。第 2 巻 、マグロウヒル （スキャン：p.194 10.13（22）） ^ Pauli, W. , Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620 ; セクション44を参照。 ^ 指数が −1/2 までの 二次形式 は、Sp(2, R )における最も単純な（ユニモジュラ、対称） シンプレクティック行列 を含む。つまり、
(
x
,
y
)
M
(
x
y
)
,
{\displaystyle (x,y){\mathbf {M} }{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}~,~}
どこ
M
≡
csch
(
2
t
)
(
cosh
(
2
t
)
−
1
−
1
cosh
(
2
t
)
)
,
{\displaystyle {\mathbf {M} }\equiv \operatorname {csch} (2t){\begin{pmatrix}\cosh(2t)&-1\\-1&\cosh(2t)\end{pmatrix}}~,}
シンプレクティック計量は保存されるので、
M
T
(
0
1
−
1
0
)
M
=
(
0
1
−
1
0
)
.
{\displaystyle {\mathbf {M} }^{\text{T}}~{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}~{\mathbf {M} }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}~.}
^ Horvathy, Peter (1979). 「調和振動子のための拡張されたファインマン公式」. 国際理論物理学ジャーナル . 18 (4): 245-250. Bibcode :1979IJTP...18..245H. doi :10.1007/BF00671761. S2CID 117363885. ^ Wolf, Kurt B. (1979)、 科学と工学における積分変換 、Springer （[1]と[2]）；セクション7.5.10を参照。 ^ Celeghini, Enrico; Gadella, Manuel; del Olmo, Mariano A. (2021). 「エルミート関数とフーリエ級数」. Symmetry . 13 (5): 853. arXiv : 2007.10406 . Bibcode :2021Symm...13..853C. doi : 10.3390/sym13050853 . ^ ab Kibble, WF (1945). 「メラーの定理のエルミート多項式への拡張」. ケンブリッジ哲学協会数学紀要 . 41 (1): 12–15. Bibcode :1945PCPS...41...12K. doi :10.1017/S0305004100022313. MR 0012728. S2CID 121931906. ^ スレピアン、デイヴィッド（1972）、「行列の対称化されたクロネッカーべき乗とエルミート多項式に対するメーラーの公式の拡張について」、 SIAM Journal on Mathematical Analysis 、 3 （4）：606–616、 doi ：10.1137 / 0503060、 ISSN 0036-1410、 MR 0315173 ^ ラース、ヘルマンダー (1995)。 「二次形式のシンプレクティック分類と一般的なメーラー公式」。 数学的ツァイシュリフト 。 219 : 413–449。 土井 ：10.1007/BF02572374。 S2CID 122233884。 ^ Wiener , N. (1929)、「エルミート多項式とフーリエ解析」、 数学物理学ジャーナル 8 :70–73。 ^ Condon, EU (1937). 「関数変換の連続グループへのフーリエ変換の浸漬」 Proc. Natl. Acad. Sci. USA 23 , 158–164. オンライン ニコール・ベルリン、エズラ・ゲッツラー、ミシェル・ベルニュ（2013）。 Heat Kernels and Dirac Operators 、(Springer: Grundlehren Text Editions) ペーパーバック ISBN 3540200622 Louck, JD (1981). 「ボソン演算子法を用いたエルミート多項式に対するキブル・スレピアン式の拡張」. 応用数学の進歩 . 2 (3): 239–249. doi : 10.1016/0196-8858(81)90005-1 . Srivastava, HM; Singhal, JP (1972). 「メーラー公式のいくつかの拡張」 アメリカ数学会紀要 . 31 : 135–141. doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0285738-4 . 
~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02b4b95b49793ca02cf6a02234e8919179c89a5)
~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c360425b3ce6136c9ed7427eb38a18f4b210a00)
=(-i)^{n}\psi _{n}(y)~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fef130b65b78970374e39cbabcbf271b22d7e4)
=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\ psi _{n}(y)~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3ea91402c790262f95baec52a351081245d48c)
={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}~e^{i{\frac {\cot(\alpha )}{2}}y^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\left(\csc(\alpha )~yx-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d01d9ea704d135d386380e64673d3cd0b2bd4aec)
