周波数応答

信号処理や電子工学では、システムの周波数応答は、入力周波数の関数としての出力の振幅と位相を定量的に表したものです。 ^{[ 1 ]}周波数応答は、オーディオ機器や制御システムなどのシステムの設計や解析で広く使用されており、支配微分方程式を代数方程式に変換することで数学的解析を簡略化します。オーディオシステムでは、マイクロホン、アンプ、スピーカーなどのコンポーネントを設計して、システム帯域幅全体にわたって応答が可能な限り平坦（均一）になるようにすることで、可聴歪みを最小限に抑えるために使用できます。車両のクルーズコントロールなどの制御システムでは、多くの場合ボード線図を使用してシステムの安定性を評価するために使用できます。特定の周波数応答を持つシステムは、アナログフィルタとデジタルフィルタを使用して設計できます。

周波数応答は周波数領域におけるシステムを特徴づけるものであり、インパルス応答が時間領域におけるシステムを特徴づけるのと同様です。線形システム（または、2次非線形特性を無視した実システムの近似）では、どちらの応答もシステムを完全に記述するため、1対1の対応関係が存在します。つまり、周波数応答はインパルス応答のフーリエ変換です。周波数応答を用いることで、多段増幅器などのカスケード接続システムの解析が容易になります。これは、システム全体の応答が、各段の周波数応答の乗算によって求められるためです（時間領域におけるインパルス応答の畳み込みとは異なります）。周波数応答は、線形システムにおける伝達関数（インパルス応答のラプラス変換）と密接に関連しています。実部が${\displaystyle \sigma }$伝達関数の複素変数${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ゼロです。^{[ 2 ]}

周波数応答の測定では、通常、入力信号でシステムを励起し、結果として得られる出力信号を測定し、 2つの信号の周波数スペクトルを計算し（例えば、離散信号の場合は高速フーリエ変換を使用）、スペクトルを比較してシステムの影響を分離します。線形システムの場合、入力信号の周波数範囲は、対象となる周波数範囲をカバーしている必要があります。

システムの周波数応答を測定するには、さまざまな入力信号を用いた複数の方法が用いられる。例えば、以下のような方法がある。

• 一定振幅の正弦波を周波数範囲にわたって段階的に印加し、入力に対する出力の振幅と位相シフトを比較する。周波数掃引は、システムが各測定点で定常状態に達するのに十分な遅さでなければならない。
• インパルス信号を入力し、システムの応答のフーリエ変換を行う。
• 広義定常白色雑音信号を長期間印加し、システムの応答のフーリエ変換を行う。この方法では、位相情報が必要な場合は、（パワースペクトル密度ではなく）クロススペクトル密度を使用する必要がある。

周波数応答は、従属変数の振幅（通常はデシベル（dB）または一般的な振幅）と位相（ラジアンまたは度）によって特徴付けられ、周波数（ラジアン/秒、ヘルツ（Hz）またはサンプリング周波数の分数）に対して測定されます。

応答測定値をグラフ化する一般的な方法は3つあります。

• ボード線図は、 2つの長方形のグラフ上に、周波数に対する振幅と位相をプロットしたものです。
• ナイキストプロットは、振幅と位相を極座標形式で周波数に対してパラメトリックにグラフ化する。
• ニコルスは、周波数に対して振幅と位相を矩形形式でパラメトリックにグラフ化する。

制御システムの設計においては、3 種類のプロットのいずれも、開ループ周波数応答から閉ループ安定性と安定余裕を推測するために使用できます。多くの周波数領域アプリケーションでは、位相応答は比較的重要ではなく、ボード線図の振幅応答だけで十分な場合があります。デジタルシステム (デジタルフィルタなど) では、サンプリングやウィンドウ処理などのデジタル処理によるスペクトル漏れのため、周波数応答には複数の周期的なサイドローブを持つ主ローブが含まれることがよくあります。^{[ 3 ]}

可聴域における周波数応答は、通常、電子増幅器、マイクロホン、スピーカーに関連して言及されます。無線スペクトル周波数応答は、同軸ケーブル、ツイストペアケーブル、ビデオスイッチング機器、無線通信機器、アンテナシステムの測定を指す場合があります。超低周波周波数応答の測定には、地震や脳波検査が含まれます。

周波数応答曲線は、電子部品やシステムの精度を示すためによく使用されます。^{[ 4 ]}システムまたはコンポーネントが、特定の周波数帯域を強調したり減衰させたりすることなく、必要なすべての入力信号を再現する場合、そのシステムまたはコンポーネントは「フラット」である、またはフラットな周波数応答曲線を持つと言われます。^{[ 4 ]}場合によっては、周波数応答グラフの 3D 形式が使用されることもあります。

周波数応答の要件は、用途によって異なります。^{[ 5 ]}高忠実度オーディオでは、アンプは少なくとも 20～20,000 Hz のフラットな周波数応答を必要とし、 1000 Hz 付近の中域周波数では ±0.1 dB という厳しい許容範囲が求められます。しかし、電話では、400～4,000 Hz の周波数応答で、±1 dB の許容範囲があれば、音声の明瞭度を確保できます。^{[ 5 ]}    

周波数応答が測定された後（例えば、インパルス応答として）、システムが線形かつ時不変であれば、その特性はデジタルフィルタによって任意の精度で近似できる。同様に、システムの周波数応答が不良であることが判明した場合、デジタルフィルタまたはアナログフィルタを信号再生前に適用することで、これらの欠点を補償することができる。

周波数応答曲線の形状は、レーダー、通信機器、その他のシステムの妨害電波対策において非常に重要である。

周波数応答解析は、拮抗過程ダイナミクスを伴う反復行動におけるホルミシスの検出^{[ 6 ]}や、薬物治療レジメンの最適化^{[ 7 ]など、生物学的領域にも適用できる。}

注記

参考文献

• ルーサー、アーチ・C.、イングリッシュ、アンドリュー・F. 『ビデオエンジニアリング』マグロウヒル、1999年。ISBN 0-07-135017-9
• スターク、スコット・ハンター。『ライブサウンド・リインフォースメント』、カリフォルニア州ヴァレーホ、Artistpro.com、1996年～2002年。ISBN 0-918371-07-4
• L.R.ラビナー、B.ゴールド著『デジタル信号処理の理論と応用』―ニュージャージー州エングルウッド・クリフス：プレンティス・ホール、1975年―720ページ

• ミシガン大学：周波数応答解析と設計チュートリアル（ 2012年10月17日にWayback Machineにアーカイブ済み）
• スミス、ジュリアス・O. III著『オーディオアプリケーション付きデジタルフィルタ入門』には、周波数応答に関する優れた章がある。