ハートレー変換

数学において、ハートレー変換( HT ) はフーリエ変換(FT)と密接に関連した積分変換であるが、実数値関数を実数値関数に変換する。これは1942 年にラルフ・V・L・ハートレーによってフーリエ変換の代替として提案され、 ^{[1]多くの既知の}フーリエ関連変換の 1 つである。フーリエ変換と比較すると、ハートレー変換には、実関数を実関数に変換する (複素数を必要としない) という利点と、それ自身の逆変換であるという 利点がある。

離散版の変換である離散ハートレー変換（DHT）は、1983年にロナルド・N・ブレイスウェルによって導入されました。 ^[2]

2次元ハートレー変換は、光フーリエ変換（OFT）に似たアナログ光学プロセスによって計算することができ、複素位相ではなく振幅と符号のみを決定すればよいという利点がある。^[3]しかし、光ハートレー変換は広く使用されているようには見えない。

関数 のハートレー変換は次のように定義されます。 ${\displaystyle f(t)}$

$${\displaystyle H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\operatorname {cas} (\omega t)\,\mathrm {d} t\,,}$$

アプリケーションでは角周波数と ${\displaystyle \omega}$

$${\displaystyle \operatorname {cas} (t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)={\sqrt {2}}\cos(t-\pi /4)\,,}$$

は、コサインとサイン (cas) またはハートレーカーネルです。工学用語では、この変換は、信号 (関数) を時間領域からハートレー スペクトル領域 (周波数領域) に変換します。

ハートレー変換は、それ自身の逆変換（反転）であるという便利な性質を持っています。

$${\displaystyle f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}\,.}$$

上記はハートリーの元の定義と一致していますが、（フーリエ変換と同様に）さまざまな細かい詳細は慣例事項であり、基本的な特性を変えずに変更できます。

• 順変換と逆変換に同じ変換を使用する代わりに、順変換から を削除して逆変換に を使用するか、または、積が となる正規化の任意のペアを使用することができます。 (このような非対称の正規化は、純粋に数学的なコンテキストとエンジニアリングのコンテキストの両方で時々見られます。)${\displaystyle {1}/{\sqrt {2\pi }}}$${\displaystyle {1}/{2\pi }}$${\displaystyle {1}/{2\pi }}$
• の代わりに（つまり、角周波数の代わりに周波数）を使用することもできます。その場合、係数は完全に省略されます。${\displaystyle 2\pi \nu t}$${\displaystyle \omega t}$${\displaystyle {1}/{\sqrt {2\pi }}}$
• カーネルとして の代わりにを使うこともできます。${\displaystyle \cos -\sin }$${\displaystyle \cos +\sin }$

この変換は、カーネルの選択において 古典的なフーリエ変換と異なります 。フーリエ変換では、指数カーネル （虚数単位 ） を使用します。 ${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}(\omega )}$${\displaystyle \exp \left({-\mathrm {i} \omega t}\right)=\cos(\omega t)-\mathrm {i} \sin(\omega t)}$${\displaystyle \mathrm {i} }$

ただし、2 つの変換は密接に関連しており、フーリエ変換 (同じ正規化規則を使用していると仮定) は、次のようにハートレー変換から計算できます。 ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

$${\displaystyle F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-\mathrm {i} {\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}\,.}$$

つまり、フーリエ変換の実数部と虚数部は、それぞれハートレー変換の 偶数部と奇数部によって単純に与えられます。

逆に、実数値関数の場合、ハートレー変換はフーリエ変換の実部と虚部から与えられます。 ${\displaystyle f(t)}$

$${\displaystyle \{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\cdot (1+\mathrm {i} )\}\,,}$$

ここで、 と は実部と虚部を表します。 ${\displaystyle \Re }$${\displaystyle \Im }$

ハートレー変換は実線型演算子であり、対称（かつエルミート）です。対称性と自己逆の性質から、変換はユニタリ演算子（つまり直交）であることがわかります。

ハートレー変換を用いた畳み込みは^[4] であり、$${\displaystyle f(x)*g(x)={\frac {F(\omega )G(\omega )+F(-\omega )G(\omega )+F(\omega )G(-\omega )-F(-\omega )G(-\omega )}{2}}}$$${\displaystyle F(\omega )=\{{\mathcal {H}}f\}(\omega )}$${\displaystyle G(\omega )=\{{\mathcal {H}}g\}(\omega )}$

フーリエ変換と同様に、偶数/奇数関数のハートレー変換はそれぞれ偶数/奇数になります。

ハートレー核の特性は、ハートレーが1942年に（コサインとサインから） cas関数という名前を導入したが、 ^{[1] [5]}三角法と位相シフト三角関数としての定義から直接導かれる。例えば、それは次の角度加法恒等式を持つ。 ${\displaystyle \operatorname {cas} (t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)=\sin(t)+\cos(t)}$

$${\displaystyle 2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b)\,.}$$

さらに：

$${\displaystyle \operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,,}$$

その導関数は次のように与えられる。

$${\displaystyle \operatorname {cas} '(a)={\frac {d}{da}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a)\,.}$$

• cis（数学）
• 分数フーリエ変換

• Bracewell, Ronald N. (1986)。米国カリフォルニア州スタンフォードで執筆。Hartley Transform。オックスフォード工学科学シリーズ。第 19 巻 (第 1 版)。米国ニューヨーク州ニューヨーク: Oxford University Press, Inc. ISBN 0-19-503969-6。（注：ドイツ語とロシア語にも翻訳されています。）
• Bracewell, Ronald N. (1994). 「ハートレー変換の側面」. IEEE 紀要. 82 (3): 381–387. doi :10.1109/5.272142.
• Millane, Rick P. (1994). 「ハートレー変換の解析的性質」. Proceedings of the IEEE . 82 (3): 413–428. doi :10.1109/5.272146.

• Olnejniczak, Kraig J.; Heydt, Gerald T. 編 (1994 年 3 月)。「ハートレー変換に関する特別セクションのスキャン」。ハートレー変換に関する特別号。第 82 巻。IEEE の議事録。pp . 372–380。2017年 10 月 31 日に閲覧。(注: 広範な参考文献が含まれています。)