無次元化

無次元化とは、適切な変数の置換によって物理量を含む方程式から物理次元を部分的または完全に削除することです。この手法により、測定単位が関係する問題を簡素化し、パラメータ化することができます。これは次元解析と密接に関連しています。一部の物理システムでは、スケーリングという用語は無次元化と互換的に使用され、特定の量を適切な単位と比較して測定する方がよいことを示しています。これらの単位は、SI単位などの単位ではなく、システムに固有の量を指します。無次元化は、方程式の示量量を示量に変換することとは異なります。後者の手順では、変数に依然として単位が残るためです。^[1]

無次元化によって、システムの特性を復元することもできます。たとえば、システムに固有の共振周波数、長さ、または時定数がある場合、無次元化によってこれらの値を復元できます。この手法は、微分方程式で記述できるシステムに特に役立ちます。重要な用途の 1 つは、制御システムの分析です。最も単純な特性単位の 1 つは、指数関数的増加を経験するシステムの倍増時間、または逆に指数関数的減少を経験するシステムの半減期です。より自然な特性単位のペアは、平均年齢/平均寿命で、これは底 2 ではなく 底eに対応します。

無次元化の多くの実例は、微分方程式の単純化から生まれます。これは、物理的な問題の大部分が微分方程式で定式化できるためです。次の例を考えてみましょう。

• 動的システムと微分方程式のトピックのリスト
• 偏微分方程式のトピックのリスト
• 数理物理学の微分方程式

無次元化はこれらの問題に適していますが、これらに限定されるわけではありません。非微分方程式の応用例としては次元解析があり、別の例としては統計における正規化があります。

計測装置は、日常生活で発生する無次元化の実際的な例です。計測装置は、何らかの既知の単位を基準として較正されます。その後の計測は、この標準を基準として行われます。次に、標準を基準としてスケーリングすることで、計測の絶対値が復元されます。

振り子が特定の周期 Tで振動しているとします。このようなシステムでは、 Tに対する振動に関する計算を実行するのが有利です。ある意味では、これは周期に関して測定値を正規化することです。

システムの固有特性を基準にして行われた測定は、同じ固有特性を持つ他のシステムにも適用されます。また、同じシステムの異なる実装の共通特性を比較することもできます。無次元化は、システムの固有特性に関する事前の知識に大きく依存することなく、使用するシステムの特性単位を体系的に決定します (システムの特性単位と自然の自然単位を混同しないでください)。実際、無次元化は、システムの分析に使用するパラメータを提案することができます。ただし、システムを適切に記述する方程式から始める必要があります。

方程式系を無次元化するには、次の操作を行う必要があります。

1. すべての独立変数と従属変数を特定します。
2. それぞれを、決定する特性測定単位に相対的にスケーリングされた量に置き換えます。
3. 最高次の多項式または微分項の係数で割ります。
4. できるだけ多くの項の係数が 1 になるように、各変数の特性単位の定義を慎重に選択します。
5. 方程式系を新しい無次元量で書き直します。

最後の 3 つのステップは、通常、無次元化が適用される問題に固有のものです。ただし、ほとんどすべてのシステムでは、最初の 2 つのステップを実行する必要があります。

「 x」と「t 」の代わりに使用する変数名に制限はありません。ただし、通常は、手元の問題に便利かつ直感的に使用できるように選択されます。たとえば、「x」が質量を表す場合、文字「m」は無次元の質量量を表すのに適切な記号です。

この記事では、次の規則が使用されています。

• t – 独立変数（通常は時間量）を表します。その無次元化された対応物は です。${\displaystyle \tau}$
• xは従属変数を表します。質量、電圧、または任意の測定可能な量になります。無次元化されたものは です。${\displaystyle \chi}$

量の変数名に追加された下付き文字「c」は、その量をスケールするために使用される特性単位を示すために使用されます。たとえば、xが量の場合、x _cはそれをスケールするために使用される特性単位です。

説明例として、定数係数を持つ1階微分方程式を考えます。 $${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$$

1. この方程式では、独立変数はt、従属変数はxです。
2. と設定します。この式は次のようになります。${\displaystyle x=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}}}$$${\displaystyle a{\frac {x_{\text{c}}}{t_{\text{c}}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+bx_{\text{c}}\chi =Af(\tau t_{\text{c}})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AF(\tau ).}$$
3. 最高次項の係数は第1導関数項の前にあります。これを割ると次のようになります。$${\displaystyle {\frac {d\chi}{d\tau}}+{\frac {bt_{\text{c}}}{a}}\chi ={\frac {At_{\text{c}}}{ax_{\text{c}}}}F(\tau ).}$$
4. の前の係数には特性変数t _{c が}1 つだけ含まれているため、最初にこれを 1 に設定するのが最も簡単です。${\displaystyle \chi}$

その後、

1. この場合の最終的な無次元方程式は、単位を持つパラメータから完全に独立します。$${\displaystyle {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

簡単にするために、あるシステムが 2 つの変数、つまり従属変数xと独立変数tによって特徴付けられるとします。ここで、 xはtの関数です。 xとt はどちらも単位を持つ量を表します。これら 2 つの変数をスケーリングするには、それぞれxとtと同じ単位を持つ2 つの固有の測定単位x _cとt _cがあると仮定します。この場合、次の条件が満たされます。 $${\displaystyle \tau ={\frac {t}{t_{\text{c}}}}\Rightarrow t=\tau t_{\text{c}}}$$ $${\displaystyle \chi ={\frac {x}{x_{\text{c}}}}\Rightarrow x=\chi x_{\text{c}}.}$$

これらの方程式は、無次元化するときにxとt を置き換えるために使用されます。元のシステムを記述するために微分演算子が必要な場合は、スケールされた対応する演算子が無次元微分演算子になります。

関係性を考える $${\displaystyle t=\tau t_{\text{c}}\Rightarrow dt=t_{\text{c}}d\tau \Rightarrow {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}.}$$

独立変数に関する無次元微分演算子は $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {d\tau }{dt}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\Rightarrow {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n}=\left({\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\right)^{n}={\frac {1}{{t_{\text{c}}}^{n}}}{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}.}$$

システムに強制機能 がある場合 ${\displaystyle f(t)}$$${\displaystyle f(t)=f(\tau t_{\text{c}})=f(t(\tau ))=F(\tau ).}$$

したがって、新しい強制関数は無次元量に依存するようになります。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle \tau}$

一次システムの微分方程式を考えてみましょう。 $${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$$

このシステムにおける 式1と式2の特性単位の導出は、$${\displaystyle t_{\text{c}}={\frac {a}{b}},\ x_{\text{c}}={\frac {A}{b}}.}$$

2次システムは次の形式をとる。 $${\displaystyle a{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {dx}{dt}}+cx=Af(t).}$$

変数xとtをスケールされた量に置き換えます。方程式は次のようになります。

$${\displaystyle a{\frac {x_{\text{c}}}{{t_{\text{c}}}^{2}}}{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+b{\frac {x_{\text{c}}}{t_{\text{c}}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+cx_{\text{c}}\chi =Af(\tau t_{\text{c}})=AF(\tau ).}$$

この新しい方程式は、単位付きの変数はすべて係数に分離されているにもかかわらず、無次元ではありません。最高次の項の係数で割ると、方程式は次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+t_{\text{c}}{\frac {b}{a}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+{t_{\text{c}}}^{2}{\frac {c}{a}}\chi ={\frac {A{t_{\text{c}}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}F(\tau ).}$$

ここで、係数が正規化されるようにx _cとt _cの量を決定する必要があります。 自由パラメータが 2 つあるため、最大で 2 つの係数のみが 1 に等しくなります。

変数t _{c を}考えてみましょう。

1. 一次項が正規化されている場合。${\displaystyle t_{\text{c}}={\frac {a}{b}}}$
2. ゼロ次項が正規化されている場合。${\displaystyle t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {a}{c}}}}$

どちらの置換も有効です。ただし、教育上の理由から、2 次システムでは後者の置換が使用されます。この置換を選択すると、強制関数の係数を正規化することでx _cを決定できます。 $${\displaystyle 1={\frac {At_{\text{c}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}={\frac {A}{cx_{\text{c}}}}\Rightarrow x_{\text{c}}={\frac {A}{c}}.}$$

微分方程式は $${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+{\frac {b}{\sqrt {ac}}}{\frac {d\chi }{d \タウ }}+\カイ =F(\タウ ).}$$

一次項の係数は単位なしです。定義 $${\displaystyle 2\zeta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b}{\sqrt {ac}}}.}$$

係数 2 が存在するのは、解をζでパラメータ化できるようにするためです。機械システムや電気システムの文脈では、ζ は減衰比として知られており、制御システムの解析に必要な重要なパラメータです。 2 ζはシステムの線幅としても知られています。定義の結果は、普遍的な振動子方程式です。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

定数係数を持つ一般的なn次線形微分方程式は次の形式になります。 $${\displaystyle a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}x(t)+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}x(t)+\ldots +a_{1}{\frac {d}{dt}}x(t)+a_{0}x(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\big (}{\frac {d}{dt}}{\big )}^{k}x(t)=Af(t).}$$

関数f ( t ) は強制関数として知られています。

微分方程式に実数（複素数ではない）の係数のみが含まれる場合、そのようなシステムの特性は、1 次システムと 2 次システムのみの混合として動作します。これは、その特性多項式の根が実数または複素共役ペアのいずれかであるためです。したがって、無次元化が 1 次システムと 2 次システムにどのように適用されるかを理解することで、重ね合わせを通じて高次システムの特性を決定できます。

システムの無次元化形式における自由パラメータの数は、システムの次数とともに増加します。このため、高次微分方程式では無次元化はほとんど使用されません。この手順の必要性も、記号計算の出現により減少しました。

さまざまなシステムは、1 次または 2 次システムとして近似できます。これには、機械、電気、流体、熱量、ねじりシステムが含まれます。これは、これらの各例に含まれる基本的な物理量が、1 次および 2 次導関数を通じて関連しているためです。

バネとダンパーに質量が取り付けられており、バネとダンパーは壁に取り付けられており、同じ線に沿って質量に力が作用しているとします。定義

• ${\displaystyle x}$= 平衡からの変位 [m]
• ${\displaystyle t}$= 時間[秒]
• ${\displaystyle f}$= システムに適用される外力または「外乱」 [kg⋅m⋅s ⁻² ]
• ${\displaystyle m}$= ブロックの質量 [kg]
• ${\displaystyle B}$= ダッシュポットの減衰定数 [kg⋅s ⁻¹ ]
• ${\displaystyle k}$= バネの力定数 [kg⋅s ⁻² ]

加えられた力が正弦波F = F ₀ cos( ωt )であるとすると、ブロックの運動を記述する微分方程式は次のようになる。 $${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+B{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)}$$

§ 2 次システムで説明したのと同じ方法でこの方程式を無次元化すると、システムのいくつかの特性が得られます。

• 固有単位x _cは、ブロックが単位力あたりに移動する距離に対応する。

$${\displaystyle x_{\text{c}}={\frac {F_{0}}{k}}.}$$

• 特性変数t _{c は}振動の周期に等しい

$${\displaystyle t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}$$

• 無次元変数 2 ζはシステムの線幅に対応します。

$${\displaystyle 2\zeta ={\frac {B}{\sqrt {mk}}}}$$

• ζ自体は減衰比である

置換された 電圧源に接続された直列RCの場合 $${\displaystyle R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V(t)\Rightarrow {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau )}$$$${\displaystyle Q=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}},\ x_{\text{c}}=CV_{0},\ t_{\text{c}}=RC,\ F=V.}$$

最初の特性単位は回路内の総電荷に対応します。 2 番目の特性単位はシステムの 時定数に対応します。

R、C、L成分の直列構成の場合、 Qは 置換された システム内の電荷である。 $${\displaystyle L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}+R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V_{0}\cos(\omega t)\Rightarrow {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =\cos(\Omega \tau )}$$$${\displaystyle Q=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}},\ \ x_{\text{c}}=CV_{0},\ t_{\text{c}}={\sqrt {LC}},\ 2\zeta =R{\sqrt {\frac {C}{L}}},\ \Omega =t_{\text{c}}\omega .}$$

最初の変数は、回路に蓄えられた最大電荷に対応します。共振周波数は、特性時間の逆数で与えられます。最後の式は、システムの線幅です。Ω は、正規化された強制関数周波数と見なすことができます。

1次元の時間独立量子調和振動子のシュレーディンガー方程式は $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

波動関数 | ψ ( x )| ²の係数の二乗は確率密度を表し、xにわたって積分すると無次元確率になります。したがって、| ψ ( x )| ^{2 は}長さの逆数の単位を持ちます。これを無次元化するには、無次元変数の関数として書き直す必要があります。これを行うには、 を代入します。ここで、 x c_はこのシステムの特徴的な長さです。これにより、次のように定義される 無次元波動関数が得られます。$${\displaystyle {\tilde {x}}\equiv {\frac {x}{x_{\text{c}}}},}$$${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$$${\displaystyle \psi (x)=\psi ({\tilde {x}}x_{\text{c}})=\psi (x(x_{\text{c}}))={\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

すると微分方程式は次のようになる。 $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{x_{\text{c}}^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{\text{c}}^{2}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E\,{\tilde {\psi }}({\tilde {x}})\Rightarrow \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\frac {2mx_{\text{c}}^{2}E}{\hbar ^{2}}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

の前の項を無次元にするには、 ${\displaystyle {\tilde {x}}^{2}}$$${\displaystyle {\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}.}$$

完全に無次元化された方程式は、 定義したもので あり 、 の前の因子は実際には（偶然にも）調和振動子の基底状態エネルギーである。通常、量子状態のエネルギーを決定することに関心があるため、エネルギー項は無次元化されない。最初の方程式を整理すると、調和振動子のよく知られた方程式は次のようになる。 $${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\tilde {E}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}),}$$$${\displaystyle E\equiv {\frac {\hbar \omega }{2}}{\tilde {E}}.}$$${\displaystyle {\tilde {E}}}$$${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

統計学では、類似のプロセスとして、通常、差（距離）をスケール係数（統計的分散の尺度）で割り、正規化と呼ばれる無次元数を生成します。ほとんどの場合、これは誤差または残差をそれぞれ標準偏差またはサンプル標準偏差で割ることであり、標準得点とスチューデント化残差が生成されます。

• 生物学における微分方程式モデルの分析：クローバー分裂組織集団のケーススタディ（生物学の問題への無次元化の応用）。
• 数学モデリングと工業数学のコースノート、Jonathan Evans、バース大学数学科学科。(第 3 章を参照)。
• 微分方程式のスケーリングHans Petter Langtangen、Geir K. Pedersen、オスロ大学、 Simula 研究研究所、情報学部、バイオメディカル コンピューティング センター。