定期的な合計

数学では、任意の積分可能な関数は 、関数の変換をPの整数倍で合計することによって、周期Pの周期関数にすることができます。これを周期和と呼びます。${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s_{P}(t)}$${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s_{P}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(t+nP)}$

をフーリエ級数として表す と、フーリエ係数はの間隔で連続フーリエ変換の値に等しくなります。^{[1] [2]この恒等式は}ポアソン和公式の一種です。同様に、係数が一定間隔 ( T ) での のサンプルであるフーリエ級数は、離散時間フーリエ変換と呼ばれる の周期的な和に相当します。 ${\displaystyle s_{P}(t)}$${\displaystyle S(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{s(t)\},}$${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f),}$

ディラックのデルタ関数の周期的な和はディラックの櫛形関数です。同様に、積分可能な関数の周期的な和はディラックの櫛形関数との 畳み込みです。

周期関数を商空間 領域 を使用して表す場合は、次のように記述できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \varphi _{P}:\mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi _{P}(x)=\sum _{\tau \in x}s(\tau )~.}$

の引数は、で割ったときに同じ小数部を共有する実数の同値類です。 ${\displaystyle \varphi_{P}}$${\displaystyle P}$

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