数学 において、畳み込み定理は 、適切な条件下では、2つの関数（または信号）の 畳み込み のフーリエ変換は 、それぞれのフーリエ変換の積に等しいと述べています。より一般的には、一方の領域（例えば時間領域 ）における畳み込みは、他方の領域（例えば周波数領域 ）における各要素の乗算に等しくなります。畳み込み定理の他のバージョンは、さまざまなフーリエ変換 に適用できます。
連続変数の関数 2つの関数を考えてみましょうu （ x ） {\displaystyle u(x)} v （ x ） {\displaystyle v(x)} フーリエ変換を 用いてU {\displaystyle U} V {\displaystyle V}
U （ f ） ≜ F { u } （ f ） = ∫ − ∞ ∞ u （ x ） e − 私 2 π f x d x 、 f ∈ R V （ f ） ≜ F { v } （ f ） = ∫ − ∞ ∞ v （ x ） e − 私 2 π f x d x 、 f ∈ R {\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\[1ex]V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }v(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}}
どこF \displaystyle {\mathcal {F}}} はフーリエ変換演算子 を表します。変換は他の方法で正規化することもできます。その場合、定数スケーリング係数（通常は2 π 2π 2 π {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}} u {\displaystyle u} v {\displaystyle v}
r （ x ） = { u * v } （ x ） ≜ ∫ − ∞ ∞ u （ τ ） v （ x − τ ） d τ = ∫ − ∞ ∞ u （ x − τ ） v （ τ ） d τ 。 {\displaystyle r(x)=\{u*v\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }u(x-\tau )v(\tau )\,d\tau 。}
この文脈では、アスタリスクは 標準的な乗算ではなく畳み込みを表します。テンソル積 記号⊗ {\displaystyle \otimes }
畳み込み定理は 次のように述べている。[ 1 ] [ 2 ] ：
R （ f ） ≜ F { r } （ f ） = U （ f ） V （ f ） 。 f ∈ R {\displaystyle R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)=U(f)V(f).\quad f\in \mathbb {R} } （式1a ）
逆フーリエ変換を適用するF − 1 、 {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1},} ： [ 2 ] ：
畳み込み定理 r （ x ） = { u * v } （ x ） = F − 1 { U ⋅ V } 。 {\displaystyle r(x)=\{u*v\}(x)={\mathcal {F}}^{-1}\{U\cdot V\}.} （式1b ）
この定理は一般的に多次元関数にも適用できる。
この定理は、ラプラス変換 、両側ラプラス変換 、そして適切に修正すればメリン変換 およびハートレー変換 にも適用できる（メリン反転定理を参照）。また、 局所コンパクトアーベル群 上で定義された抽象調和解析 のフーリエ変換にも拡張できる。
式1と同様の導出により、2つの連続関数のサンプルなどの数列についても同様の定理が得られ、F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は離散時間フーリエ変換 u [ n ] {\displaystyle u[n]} v [ n ] {\displaystyle v[n]} U {\displaystyle U} V {\displaystyle V}
U （ f ） ≜ F { u } （ f ） = ∑ n = − ∞ ∞ u [ n ] ⋅ e − 私 2 π f n 、 f ∈ R 、 V （ f ） ≜ F { v } （ f ） = ∑ n = − ∞ ∞ v [ n ] ⋅ e − 私 2 π f n 、 f ∈ R 。 {\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}}
§離散 畳み込み u {\displaystyle u} v {\displaystyle v}
r [ n ] ≜ （ u * v ） [ n ] = ∑ m = − ∞ ∞ u [ m ] ⋅ v [ n − m ] = ∑ m = − ∞ ∞ u [ n − m ] ⋅ v [ m ] 。 {\displaystyle r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-m]\cdot v[m].}
離散数列の畳み込み定理は次のとおりです。[ 3 ] [ 4 ] ：p.60 （
R （ f ） = F { u * v } （ f ） = U （ f ） V （ f ） 。 {\displaystyle R(f)={\mathcal {F}}\{u*v\}(f)=\ U(f)V(f).} （式3 ）
逆フーリエ変換にも畳み込み定理が存在する。
ここ、 "⋅ {\displaystyle \cdot } 「」はアダマール積 を表し、* {\displaystyle *}
F { u * v } = F { u } ⋅ F { v } F { u ⋅ v } = F { u } * F { v } {\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\end{aligned}}}
となることによって
u * v = F − 1 { F { u } ⋅ F { v } } u ⋅ v = F − 1 { F { u } * F { v } } {\displaystyle {\begin{aligned}&u*v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\right\}\\&u\cdot v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\right\}\end{aligned}}}
参考文献 ↑ McGillem, Clare D.; Cooper, George R. (1984). Continuous and Discrete Signal and System Analysis (2nd ed.). Holt, Rinehart and Winston. p. 118 (3–102). ISBN 0-03-061703-0 。1 2 Weisstein, Eric W. 「畳み込み定理」 . MathWorld--A Wolfram Web Resource より . 2021年 2月8日 取得. ↑ Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (3 ed.), New Jersey: Prentice-Hall International, p. 297, Bibcode : 1996dspp.book.....P , ISBN 9780133942897 、sAcfAQAAIAAJ1 2 Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999). 離散時間信号処理 （第2 版）. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2 。↑ ラビナー、ローレンス R. ; ゴールド、バーナード (1975). デジタル信号処理の理論と応用 . ニュージャージー州エングルウッド・クリフス: プレンティス・ホール社. p. 59 (2.163). ISBN 978-0139141010 。↑ Amiot, Emmanuel (2016). Music through Fourier Space . Computational Music Science. Zürich: Springer. p. 8. doi : 10.1007/978-3-319-45581-5 . ISBN 978-3-319-45581-5 . S2CID 6224021 . ↑ Horváth, John (1966). Topological Vector Spaces and Distributions . Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ↑ バロス＝ネト、ホセ (1973)。 分布理論の紹介 。ニューヨーク州ニューヨーク州: デッカー。 ↑ Petersen, Bent E. (1983). Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators . Boston, MA: Pitman Publishing.
さらに読む カッツネルソン、イツァク（1976）、『調和解析入門』 、ドーバー、ISBN 0-486-63331-4 Li, Bing; Babu, G. Jogesh (2019)、「畳み込み定理と漸近効率」、統計的推論に関する大学院コース 、ニューヨーク：Springer、pp. 295–327 、ISBN 978-1-4939-9759-6 クラッチフィールド、スティーブ（2010年10月9日）、「畳み込みの喜び」、ジョンズ・ホプキンス大学、 2010年 11月19日 取得
追加リソース 信号処理 における畳み込み定理の使用例を視覚的に表現したものについては、以下を参照してください。
![{\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\[1ex]V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }v(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8528895f7c5b48d3251bf4e78569d328c613622b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}u_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{任意の長さの区間における積分}}P\\V[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{v_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b732f1fe5d5074f423f1b96c4eea07631284ed)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\cdot v_{_{P}}\}[k]=\{U*V\}[k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab30eb678559f102051cedba4be0fc07f346a4c0)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]=\ P\cdot U[k]\ V[k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4ee3375f365aa800cc34e56a6bf89e0a90ed3b)
![{\displaystyle u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f1362207606428a09d907db25527859eab6ac3)
![{\displaystyle v[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cbc20699310c20ae48d376fc4f6365c67966405)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244dd8c93040378c9c8849ab6483c6582445d1b7)
![{\displaystyle r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[nm]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[nm]\cdot v[m]。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22aac1f7102502f6b39153be6aacd9bce5fc7cdd)
![{\displaystyle u_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-mN]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed44f4cf6f7e56baa871eef261cd01f53855dd07)
![\begin{array}{ll} v_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b3cb372f16be04589aa1f446455da9d8bcd8f0)
![{\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u_{_{N}}[m]\cdot v[nm]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[nm]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907f89efecfca8b8c1519230c0efe93f721d0ad3)
![\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}[k]=\ \underbrace {{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}[k]} _{U(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}[k]} _{V(k/N)},\quad k\in \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf1eab2ab63c1b6db4fc8f33c8a4a30b1391f50)
![{\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}\cdot {\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}\}。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd918e288950dc7554d3cb3e478d441022b16afc)
![{\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac7a801e261a01f897517049a2095ee7d745cf6)
