メリン変容

数学において、メリン変換は積分変換の一種であり、両側ラプラス変換の乗法版とみなすことができます。この積分変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論、数理統計学、漸近展開の理論などでよく用いられます。本質的にはラプラス変換と同じであり、フーリエ変換、ガンマ関数、および関連する特殊関数の理論と密接に関係しています。

複素数値関数fのメリン変換は、${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{\times }=(0,\infty )}$関数は${\displaystyle {\mathcal {M}}f}$複雑な変数の${\displaystyle s}$（存在する場合は、下記の§ 基本ストリップを参照）によって 与えられる$${\displaystyle {\mathcal {M}}\left\{f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\int _{\mathbf {R} _{+}^{\times }}f(x)x^{s}{\frac {dx}{x}}.}$$ 注目してください${\displaystyle dx/x}$乗法群上のハール測度$\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{\times }}$そして${\displaystyle x\mapsto x^{s}}$は（一般に非ユニタリな）乗法的な指標です。逆変換は $$\displaystyle {\mathcal {M}}^{-1}\left\{\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.}$$ この表記は、複素平面上の垂直線に沿った線積分を意味し、その実部cは緩やかな下限を満たすだけでよい。この反転が成り立つ条件は、メリンの反転定理に示されている。

この変換は1859年にベルンハルト・リーマンによって導入されました。^{[ 1 ]}この変換は、1897年にActa Societatis Scientiarum Fennicaeに掲載された論文で最初の厳密な説明を展開したフィンランドの数学者ヒャルマル・メリンにちなんで名付けられました。^{[ 2 ]}

両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて次のように定義できる。 $${\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f\right\}(s)={\mathcal {M}}\left\{f(-\ln x)\right\}(s)}$$ 逆に、両側ラプラス変換からメリン変換を得るには、 $$\displaystyle {\mathcal {M}}\left\{f\right\}(s)={\mathcal {B}}\left\{f(e^{-x})\right\}(s).}$$

メリン変換は、乗法ハール測度に関してカーネルx ^sを使用して積分することと考えることができる。${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$これは拡大縮小に対して不変である。${\displaystyle x\mapsto ax}$、 となることによって${\textstyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}};}$両側ラプラス変換は加法ハール測度に関して積分される${\displaystyle dx}$⁠は並進不変であるため、${\displaystyle d(x+a)=dx}$⁠ .

また、フーリエ変換をメリン変換を用いて定義することもでき、その逆も可能です。さらに、メリン変換と上記で定義した両側ラプラス変換を用いて定義することも できます。$${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)\ .}$$ また、そのプロセスを逆にして、 $${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)\ .}$$

メリン変換は、ポアソン・メリン・ニュートンサイクルによって、ニュートン級数または二項変換とポアソン母関数を結びつけます。

メリン変換は、乗法を持つ正の実数の局所コンパクトアーベル群の畳み込み代数に対するゲルファント変換とみなすこともできる。

について​${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$開いたストリップを${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$すべてと定義される${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$そのため${\displaystyle s=\sigma +it}$と共に​${\displaystyle \alpha <\sigma <\beta }$⁠。なストリップ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$は、それが定義されている最大のオープン ストリップとして定義されます。たとえば、${\displaystyle a>b}$基本的なストリップ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{a}&x<1,\\x^{b}&x>1,\end{cases}}}$$ です​${\displaystyle \langle -a,-b\rangle }$この例からわかるように、関数の漸近挙動は次のようになります。${\displaystyle x\to 0^{+}}$その基本ストリップの左端点を定義し、関数の漸近挙動を次のように定義する。${\displaystyle x\to +\infty }$右端点を定義します。ビッグオー記法でまとめると、${\displaystyle f}$は${\displaystyle O(x^{a})}$として${\displaystyle x\to 0^{+}}$そして${\displaystyle O(x^{b})}$として​${\displaystyle x\to +\infty }$⁠、それから${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ストリップ内で定義されています${\displaystyle \langle -a,-b\rangle }$[ ⁶ ]^​​

この応用例はガンマ関数に見られる。${\displaystyle \Gamma (s)}$⁠。以来${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$は${\displaystyle O(x^{0})}$として${\displaystyle x\to 0^{+}}$そして${\displaystyle O(x^{k})}$すべての人にとって${\displaystyle k}$⁠、それから${\displaystyle \Gamma (s)={\mathcal {M}}f(s)}$ストリップ内で定義されるべきです${\displaystyle \langle 0,+\infty \rangle }$⁠、これは、${\displaystyle \Gamma (s)}$は解析的である${\displaystyle \Re (s)>0}$⁠ .

この表に記載されている特性は、Bracewell (2000)およびErdélyi (1954)に記載されています。

ヒルベルト空間の研究では、メリン変換はしばしば少し異なる形で定式化される。${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$（L ^p空間を参照）基本ストリップは常に⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} }$⁠、したがって線形演算子を定義することができます${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$として $${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),}$$$${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx.}$$ 言い換えれば、私たちは設定した $${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}+is).}$$ この演算子は通常、単に と表記されます。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$そして「メリン変換」と呼ばれていますが、${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ここでは、この記事の他の箇所で使用されている定義と区別するために使用されている。メリン反転定理は、次のことを示している。${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$逆演算で可逆である $${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),}$$$${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.}$$ さらに、この演算子は等長変換である。つまり、${\displaystyle \|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}}$すべての人々のために${\displaystyle f\in L^{2}(0,\infty )}$（これが、${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$（使用されました）。

確率論において、メリン変換は確率変数の積の分布を研究する上で不可欠なツールである。^{[ 9 ]}もし${\displaystyle X}$は確率変数であり、${\displaystyle X^{+}=\max\{X,0\}}$⁠はその正の部分を表し、一方⁠${\displaystyle X^{-}=\max\{-X,0\}}$は負の部分であり、そのメリン変換はです。${\displaystyle X}$⁠は^{[ 10 ]}と定義される。$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+\gamma \int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),}$$ どこで${\displaystyle \gamma }$⁠は形式的な不定形であり、${\displaystyle \gamma ^{2}=1}$⁠。この変換はすべての⁠に対して存在します${\displaystyle s}$複雑な帯状の${\displaystyle D=\{s:a\leq \Re (s)\leq b\}}$⁠、そこで⁠${\displaystyle a\leq 0\leq b}$⁠ . ^{[ 10 ]}

メリン変換${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(it)}$確率変数の${\displaystyle X}$分布関数を一意に決定する${\displaystyle F_{X}}$⁠ . ^{[ 10 ]}確率論におけるメリン変換の重要性は、もし⁠${\displaystyle X}$そして​​${\displaystyle Y}$は2 つの独立した確率変数であるとき、それらの積のメリン変換は のメリン変換の積に等しい。${\displaystyle X}$そして​​${\displaystyle Y}$⁠ : ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)}$$

一般的な次元（ 1つの角度と1つの半径、および残りの長さを持つ 直交座標）における円筒座標のラプラシアンには、常に次の項があります。$${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)=f_{rr}+{\frac {f_{r}}{r}}}$$

例えば、2次元極座標におけるラプラシアンは次のようになります。 $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}}$$ そして3次元円筒座標では、ラプラシアンは次のようになる。 $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

この項は、メリン変換^{[ 12 ]}を用いて処理することができる。なぜなら、 $${\displaystyle {\mathcal {M}}\left(r^{2}f_{rr}+rf_{r},r\to s\right)=s^{2}{\mathcal {M}}\left(f,r\to s\right)=s^{2}F}$$

例えば、極座標における 2次元ラプラス方程式は、2変数偏微分方程式で表されます。$${\displaystyle r^{2}f_{rr}+rf_{r}+f_{\theta \theta }=0}$$ そして乗算によって： $${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}=0}$$ 半径に対するメリン変換により、単純調和振動子となる。 $${\displaystyle F_{\theta \theta }+s^{2}F=0}$$ 一般的な解法： $${\displaystyle F(s,\theta )=C_{1}(s)\cos(s\theta )+C_{2}(s)\sin(s\theta )}$$

それでは、例えば、元のラプラス方程式に いくつかの単純なくさび境界条件を課してみましょう。$${\displaystyle f(r,-\theta _{0})=a(r),\quad f(r,\theta _{0})=b(r)}$$ これらはメリン変換にとって特に単純で、次のようになります。 $${\displaystyle F(s,-\theta _{0})=A(s),\quad F(s,\theta _{0})=B(s)}$$

これらの条件を解に課すことで、解は以下のように具体化される。 $${\displaystyle F(s,\theta )=A(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}-\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}+B(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}+\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}}$$

メリン変換の畳み込み定理により、メリン領域における解は逆変換できる。 $${\displaystyle f(r,\theta )={\frac {r^{m}\cos(m\theta )}{2\theta _{0}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {a(x)}{x^{2m}+2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}+{\frac {b(x)}{x^{2m}-2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}\right)x^{m-1}\,dx}$$ ここで、以下の逆変換関係が用いられた。 $${\displaystyle {\mathcal {M}}^{-1}\left({\frac {\sin(s\varphi )}{\sin(2\theta _{0}s)}};s\to r\right)={\frac {1}{2\theta _{0}}}{\frac {r^{m}\sin(m\varphi )}{1+2r^{m}\cos(m\varphi )+r^{2m}}}}$$ どこ${\displaystyle m={\frac {\pi }{2\theta _{0}}}}$。

メリン変換は、そのスケール不変性のため、アルゴリズムの解析においてコンピュータサイエンスで広く用いられています^{[ 13 ]}。スケール変換された関数のメリン変換の大きさは、純虚数入力の場合、元の関数の大きさと同一になります。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性に類似しています。時間シフトされた関数のフーリエ変換の大きさは、元の関数のフーリエ変換の大きさと同一になります。

この特性は画像認識において有用である。対象物がカメラに近づいたり遠ざかったりすると、対象物の画像は容易に拡大縮小できる。

量子力学、特に量子場理論では、 運動量と位置が互いにフーリエ変換の関係にあるため、フーリエ空間は非常に有用で広く利用されています（例えば、ファインマン図は運動量空間で計算する方がはるかに簡単です）。2011年、A. Liam Fitzpatrick、Jared Kaplan、João Penedones、Suvrat Raju、Balt C. van Reesは、 AdS/CFT対応の文脈において、メリン空間が同様の役割を果たすことを示しました。^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

• ペロンの公式は、ディリクレ級数に適用される逆メリン変換を記述する。
• メリン変換は素数計数関数の解析に用いられ、リーマンゼータ関数の議論にも登場する。
• 逆メリン変換はリース平均でよく発生します。
• メリン変換は、オーディオのタイムスケール・ピッチの変更 に使用できます。

以下に、メリン変換の興味深い例をいくつか示します。

• メリンの反転定理
• ペロンの公式
• ラマヌジャンのマスター定理

• Philippe Flajolet、Xavier Gourdon、Philippe Dumas、「メリン変換と漸近解析：調和和」
• アントニオ ゴンザレス、マルコ リーデル クラシコのセレブランド、ニュースグループ es.ciencia.matematicas
• フアン・サセルドティ、ファンシオネス・エウレリアナス（スペイン語）。
• メリン変換法、数学関数デジタルライブラリ、2011年8月29日、米国国立標準技術研究所
• アントニオ・デ・セナとダヴィデ・ロッケッソ、「DAFXへの応用を伴う高速メリン変換」