スペクトル密度推定

統計的信号処理において、スペクトル密度推定（SDE）または単にスペクトル推定の目的は、信号の時間サンプルのシーケンスから信号のスペクトル密度（パワースペクトル密度とも呼ばれる）を推定することです。[ 1 ]直感的に^言えば、スペクトル密度は信号の周波数成分を特徴づけます。スペクトル密度を推定する目的の1つは、これらの周期性に対応する周波数のピークを観測することによって、データ内の周期性を検出することです。

SDE（スペクトルデータ抽出）手法の中には、信号が限られた（通常は少数の）発生周波数とノイズから構成されていると仮定し、発生周波数の位置と強度を特定しようとするものがある。一方、成分数に関する仮定を一切行わず、発生スペクトル全体を推定しようとする手法もある。

スペクトル解析（周波数領域解析またはスペクトル密度推定とも呼ばれる）は、複雑な信号をより単純な部分に分解する技術的なプロセスです。前述のように、多くの物理プロセスは、多数の個々の周波数成分の和として最もよく説明できます。周波数（または位相）に対して、さまざまな量（振幅、電力、強度など）を定量化するプロセスはすべて、スペクトル解析と呼ぶことができます。

スペクトル分析は信号全体に対して実行できます。あるいは、信号を短いセグメント（フレームと呼ばれることもあります）に分割し、これらの個々のセグメントにスペクトル分析を適用することもできます。周期関数（例えば、${\displaystyle \sin(t)}$) は、この細分化に特に適しています。非周期関数を分析するための一般的な数学的手法は、フーリエ解析の範疇に属します。

関数のフーリエ変換は、元の信号に関するすべての情報を含む周波数スペクトルを生成しますが、その形式は異なります。つまり、元の関数は逆フーリエ変換によって完全に再構成（合成）できます。完全な再構成のためには、スペクトルアナライザは各周波数成分の振幅と位相の両方を保持する必要があります。これらの2つの情報は、2次元ベクトル、複素数、または極座標における振幅と位相（つまり、フェーザ）として表現できます。信号処理でよく用いられる手法は、振幅の2乗、つまりパワーを考慮することです。この場合、得られるプロットはパワースペクトルと呼ばれます。

可逆性があるため、フーリエ変換は関数を時間ではなく周波数で表現したものと呼ばれ、したがって周波数領域表現と呼ばれます。時間領域で実行できる線形演算には、周波数領域でより簡単に実行できる対応する演算がしばしば存在します。周波数解析は、線形および非線形の両方のさまざまな時間領域演算の効果の理解と解釈を簡素化します。たとえば、周波数スペクトルに新しい周波数を生成できるのは、非線形または時間変化する演算のみです。

実際には、周波数スペクトルを生成するほぼすべてのソフトウェアと電子機器は、信号のサンプルに対して動作し、完全な積分解の数学的近似を提供する離散フーリエ変換（DFT）を利用します。DFTは、高速フーリエ変換（FFT）と呼ばれる効率的なアルゴリズムによってほぼ例外なく実装されます。DFTの二乗振幅成分の配列は、周期図と呼ばれるパワースペクトルの一種であり、フィルタのインパルス応答やウィンドウ関数などのノイズのない関数の周波数特性を調べるために広く使用されています。しかし、周期図は、ノイズのような信号や、信号対雑音比が低い正弦波に適用した場合、処理利得を提供しません。言い換えれば、特定の周波数でのスペクトル推定の分散は、計算に使用されるサンプル数が増加しても減少しません。これは、時間平均（ウェルチ法^{[ 2 ]}）または周波数平均（平滑化）によって軽減できます。ウェルチ法は、スペクトル密度推定（SDE）に広く使用されています。しかし、周期図に基づく手法は、用途によっては許容できないほどの小さなバイアスを生じさせる。そこで、次のセクションでは他の代替手法を紹介する。 

基本的な周期図の欠点を軽減するために、スペクトル推定のための他の多くの手法が開発されてきました。これらの手法は、一般的に、非パラメトリック、パラメトリック、そして最近ではセミパラメトリック（スパースとも呼ばれる）手法に分類できます。^{[ 3 ]}非パラメトリックアプローチは、プロセスが特定の構造を持つと仮定することなく、プロセスの共分散またはスペクトルを明示的に推定します。基本的なアプリケーションで使用される最も一般的な推定器のいくつか（たとえば、ウェルチ法）は、周期図と密接に関連する非パラメトリック推定器です。対照的に、パラメトリックアプローチは、基礎となる定常確率プロセスが、少数のパラメータを使用して記述できる特定の構造を持っていると仮定します（たとえば、自己回帰モデルまたは移動平均モデルを使用するなど）。これらのアプローチでは、タスクは、確率プロセスを記述するモデルのパラメータを推定することです。セミパラメトリック法を使用する場合、基礎となるプロセスはノンパラメトリックフレームワークを使用してモデル化され、モデルの非ゼロ成分の数が少ない（つまり、モデルが疎である）という追加の仮定が置かれます。同様のアプローチは、欠損データの回復^{[ 4 ]}や信号再構成にも使用できます。

以下は、スペクトル密度推定手法の一部です。

• 信号サンプルが時間的に不均等な間隔で取得される（記録が不完全な場合もある） 非パラメトリック法
  • 最小二乗スペクトル解析（既知の周波数への最小二乗フィッティングに基づく）
  • ロンブ・スカーグル周期図、最小二乗スペクトル解析の近似
  • 非一様離散フーリエ変換
• 信号サンプルが時間的に等間隔である必要がある（記録が完全である必要がある） ノンパラメトリック法：
  • 周期図、離散フーリエ変換の絶対値の二乗
  • バートレット法は、信号の複数のセグメントから取得した周期図の平均をとることで、スペクトル密度推定値の分散を低減する手法である。
  • ウェルチ法は、重複するセグメントを使用するバートレット法のウィンドウ版である。
  • マルチテーパーは、スペクトル密度推定値の分散を低減するために、複数のテーパー（ウィンドウ）を使用してスペクトル密度の独立した推定値を生成する周期図ベースの手法です。
  • 特異スペクトル分析は、共分散行列の特異値分解を用いてスペクトル密度を推定するノンパラメトリック手法である。
  • 短時間フーリエ変換
  • クリティカルフィルターは、情報場理論に基づくノンパラメトリック手法であり、ノイズ、不完全なデータ、および機器応答関数を扱うことができる。
• パラメトリック手法（不完全なリスト）：
  • 自己回帰モデル（AR）推定では、n番目のサンプルは前のp個のサンプルと相関していると仮定します。
  • 移動平均モデル（MA）推定では、n番目のサンプルは、前のp個のサンプルのノイズ項と相関があると仮定します。
  • 自己回帰移動平均（ARMA）推定は、ARモデルとMAモデルを一般化したものである。
  • 多重信号分類（MUSIC）は、広く用いられている超解像手法の一つである。
  • 回転不変性技術による信号パラメータ推定（ESPRIT）は、もう一つの超解像手法である。
  • 最大エントロピースペクトル推定は、鋭いピークなどの特異なスペクトル特性が予想される場合のスペクトルデータ推定（SDE）に有用な全極法である。
• セミパラメトリック手法（不完全なリスト）：
  • SParse Iterative Covariance-based Estimation (SPICE) 推定、^{[ 3 ]}、およびより一般化された${\displaystyle (r,q)}$-スパイス。^{[ 5 ]}
  • 反復適応アプローチ（IAA）推定。^{[ 6 ]}
  • Lassoは、最小二乗スペクトル解析に似ていますが、スパース性を強制するペナルティがあります。^{[ 7 ]}

周波数推定とは、成分の数に関する仮定に基づいて、ノイズが存在する状況下で信号の周波数、振幅、位相シフトを推定するプロセスです。 ^{[ 10 ]}これは、成分について事前の仮定を行わない上記の一般的な方法とは対照的です。

仮定する${\displaystyle x_{n}}$、から${\displaystyle n=0}$に${\displaystyle N-1}$これは平均値がゼロの時系列（離散時間）です。これは有限個の周期成分（すべての周波数は正）の和であると仮定します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&=\sum _{k}A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}n+\phi _{k})\\&=\sum _{k}A_{k}\left[\sin(\phi _{k})\cos(2\pi \nu _{k}n)+\cos(\phi _{k})\sin(2\pi \nu _{k}n)\right]\\&=\sum _{k}\left[a_{k}\cos(2\pi \nu _{k}n)+b_{k}\sin(2\pi \nu _{k}n)\right]\end{aligned}}}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=A_{k}\sin(\phi _{k}),&b_{k}&=A_{k}\cos(\phi _{k}).\end{aligned}}}$$

分散${\displaystyle x_{n}}$上記のように平均値がゼロの関数の場合、次式で与えられる。

$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.}$$

これらのデータが電気信号から採取されたサンプルである場合、これはその信号の平均電力になります（電力は単位時間あたりのエネルギーなので、エネルギーが振幅の二乗に相当するとすれば、分散に相当します）。

さて、簡単にするために、信号が時間的に無限に続くと仮定し、極限をとると${\displaystyle N\to \infty .}$平均電力が有界である場合（これは現実にはほぼ常に当てはまる）、次の限界が存在し、それがデータの分散となる。

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.}$$

ここでも、簡略化のため、連続時間の場合を考え、信号が両方向に時間的に無限に続くと仮定します。すると、これら2つの式は次のようになります。

$${\displaystyle x(t)=\sum _{k}A_{k}\sin \left(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k}\right)}$$

そして

$${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)^{2}\,dt.}$$

二乗平均平方根${\displaystyle \sin }$は${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$なので、分散は${\displaystyle A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k})}$は${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.}$したがって、平均電力への寄与は${\displaystyle x(t)}$周波数を持つ部品から発せられる${\displaystyle \nu _{k}}$は${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.}$これらの貢献をすべて合計すると、平均電力は${\displaystyle x(t).}$

すると、周波数の関数としての電力は次のようになる。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2},}$およびその統計的累積分布関数${\displaystyle S(\nu )}$になるだろう

$${\displaystyle S(\nu )={\frac {1}{2}}\sum _{k:\nu _{k}<\nu }A_{k}^{2}.}$$

${\displaystyle S}$は単調非減少の階段関数である。そのジャンプは、の周期成分の周波数で発生する。${\displaystyle x}$そして、各ジャンプの値は、その成分のパワーまたは分散である。

分散は、データとそれ自身との共分散です。ここで、同じデータでラグが${\displaystyle \tau }$共分散を取ることができる${\displaystyle x(t)}$と${\displaystyle x(t+\tau )}$そしてこれを自己相関関数と定義する${\displaystyle c}$信号（またはデータ）の${\displaystyle x}$:

$${\displaystyle c(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)\,x(t+\tau )\,dt.}$$

存在する場合、それは${\displaystyle \tau .}$平均電力が制限されている場合、${\displaystyle c}$どこにでも存在し、有限であり、${\displaystyle c(0)}$これは、データの平均パワーまたは平均分散です。

次のように証明できる。${\displaystyle c}$は、同じ周期を持つ周期成分に分解できます。${\displaystyle x}$:

$${\displaystyle c(\tau )={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}A_{k}^{2}\cos(2\pi \nu _{k}\tau ).}$$

これは実際にはスペクトル分解である${\displaystyle c}$異なる周波数にわたって、電力の分布に関連しています。${\displaystyle x}$周波数全体にわたって: 周波数成分の振幅${\displaystyle c}$これは、信号の平均電力に対する寄与度です。

この例のパワースペクトルは連続ではないため、微分値がなく、したがってこの信号にはパワースペクトル密度関数がありません。一般に、パワースペクトルは通常、2つの部分の合計になります。1つは、この例のように連続ではなく密度関数を持たない線スペクトル、もう1つは、完全に連続で密度関数を持つ残差です。

• Porat, B. (1994).デジタルランダム信号処理：理論と方法. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-063751-2。
• Priestley, MB (1991).スペクトル分析と時系列. Academic Press. ISBN 978-0-12-564922-3。
• ストイカ、P.、モーゼス、R. (2005).信号のスペクトル解析. プレンティスホール. ISBN 978-0-13-113956-5。
• Thomson, DJ ( 1982). "スペクトル推定と高調波解析". Proceedings of the IEEE . 70 (9): 1055–1096 . Bibcode : 1982IEEEP..70.1055T . CiteSeerX 10.1.1.471.1278 . doi : 10.1109/PROC.1982.12433 . S2CID 290772 .