エルミート関数

数学的解析において、エルミート関数とは、その複素共役が、変数の符号を変更した元の関数と等しいという性質を持つ複素関数です。

${\displaystyle f^{*}(x)=f(-x)}$

(ここで は複素共役を示します) はの領域内のすべての に対して成り立ちます。物理学では、この特性はPT 対称性と呼ばれます。 ${\displaystyle ^{*}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

この定義は2つ以上の変数の関数にも適用されます。例えば、 2変数の関数の 場合、次の条件を満たすときエルミート関数となります。${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{*}(x_{1},x_{2})=f(-x_{1},-x_{2})}$

のドメイン内のすべてのペアに対して。 ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$${\displaystyle f}$

この定義から、次のことが直ちに分かります。はエルミート関数であり、その場合のみ${\displaystyle f}$

• の実部は偶関数であり、${\displaystyle f}$
• の虚数部は奇関数です。${\displaystyle f}$

エルミート関数は数学、物理学、信号処理の分野で頻繁に登場します。たとえば、フーリエ変換の基本的な性質から次の 2 つのステートメントが導かれます。^{[引用が必要]}

• 関数が実数値となるのは、のフーリエ変換がエルミート変換である場合のみです。${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$
• 関数は、のフーリエ変換が実数値である場合に限り、エルミート関数となります。${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

実信号のフーリエ変換はエルミートであることが保証されているため、エルミートの偶数/奇数対称性を使用して圧縮できます。これにより、たとえば、信号 (通常は複素数) の離散フーリエ変換を元の実信号と同じ空間に格納できます。

• f がエルミート行列であれば、 .${\displaystyle f\star g=f*g}$

ここで、は相互相関、 は畳み込みです。 ${\displaystyle \star}$${\displaystyle *}$

• fとg の両方がエルミートである場合、.${\displaystyle f\star g=g\star f}$

• 複素共役 – 複素数の基本演算
• 偶関数と奇関数 – f(–x) が f(x) または –f(x) に等しい関数