ウェーブレット変換

数学において、ウェーブレット級数は、ウェーブレットによって生成される特定の正規直交級数による二乗可積分（実数値または複素数値）関数の表現です。この記事では、正規直交ウェーブレットと積分ウェーブレット変換の正式な数学的定義を提供します。^[¹^]^[²^]^[³^]^[⁴^]

意味

関数 $\psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )$ ヒルベルト基底、すなわち実数直線上の二乗可積分関数のヒルベルト空間に対する完全な正規直交系を定義するために使用できる場合、それは正規直交ウェーブレットと呼ばれます。

ヒルベルト基底は関数の族として構成される $\{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}$ 二項変換と拡大によって $\psi \,$ 、 $\psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}xk\right),$ 整数の場合 $j,\,k\,\in \,\mathbb {Z}$ 。

標準内積の下で $L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$ 、 $\langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx,$ この族が正規直交系であるならば、それは正規直交系である。 $\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx,\\&=\delta _{jl}\delta _{km},\end{aligned}}}$ どこ $\delta _{jl}\,$ はクロネッカーデルタです。

すべての関数が満たされれば、完全性が満たされる。 $f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$ 基礎において拡張される可能性がある

f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)

級数の収束はノルム収束として理解される。このような表現は $f$ これはウェーブレット系列として知られています。これは、正規直交ウェーブレットが自己双対であることを意味します。

積分ウェーブレット変換は、次のように定義される積分変換である。 $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {xb}{a}}\right)}}f(x)dx\,$ ウェーブレット係数 $c_{jk}$ は次のように与えられる。 $c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)$

ここ、 $a=2^{-j}$ これは二進膨張または二進膨張と呼ばれ、 $b=k2^{-j}$ は二項または二進位置です。

原理

ウェーブレット変換の基本的な考え方は、変換は時間的拡張のみを許容し、形状は許容しないというものであり、適切な基底関数の選択に制約を課します。時間的拡張の変化は、基底関数の対応する解析周波数に適合することが期待されます。信号処理の不確定性原理に基づき、

\Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}

どこ $t$ 時間と $\omega$ 角周波数（ $\omega =2\pi f$ 、どこ $f$ （通常の周波数です）。

時間分解能の要求値が高いほど、周波数分解能は低くする必要があります。解析ウィンドウの拡張範囲を大きく選択するほど、 $\Delta t$ 。

いつ $\Delta t$ 大きい

時刻解像度が悪い
良好な周波数分解能
低周波、大きなスケーリング係数

いつ $\Delta t$ 小さい

良好な時間分解能
周波数分解能が悪い
高周波、小さなスケーリング係数

言い換えれば、基底関数 $\psi$ 関数を持つシステムのインパルス応答とみなすことができる $x(t)$ フィルタリングされています。変換された信号は、時間と周波数に関する情報を提供します。したがって、ウェーブレット変換は、短時間フーリエ変換と同様の情報を含みますが、基底関数のより高い解析周波数で時間分解能に現れるウェーブレットの特別な特性が追加されています。フーリエ変換とウェーブレット変換の周波数上昇時の時間分解能の違いを以下に示します。ただし、周波数分解能は周波数の増加とともに減少し、時間分解能は増加することに注意してください。フーリエの不確定性原理のこの結果は、図には正しく表示されていません。

これは、ウェーブレット変換が高周波の時間分解能に優れている一方で、緩やかに変化する関数においては周波数分解能が顕著であることを示している。

別の例：3つの重ね合わせた正弦波信号の解析 $y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)$ STFTとウェーブレット変換を用いて。

ウェーブレット圧縮

ウェーブレット圧縮は、画像圧縮（場合によってはビデオ圧縮や音声圧縮にも）に適したデータ圧縮の一種です。注目すべき実装としては、静止画用のJPEG 2000、DjVu、ECW 、 JPEG XS、CineForm、BBCのDiracなどがあります。目標は、画像データをファイル内のできるだけ小さなスペースに保存することです。ウェーブレット圧縮は、可逆圧縮または非可逆圧縮のいずれかです。^[⁵^]

方法

まず、ウェーブレット変換が適用されます。これにより、画像内のピクセル数と同じ数の係数が生成されます（つまり、これは単なる変換なので、まだ圧縮は行われていません）。これらの係数は、情報が統計的に少数の係数に集中しているため、より簡単に圧縮できます。この原理は変換符号化と呼ばれます。その後、係数が量子化され、量子化された値はエントロピー符号化および/またはランレングス符号化されます。

ウェーブレット圧縮の1Dおよび2Dアプリケーションのいくつかでは、「ウェーブレットフットプリント」と呼ばれる技術が使用されています。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

評価

画像圧縮の要件

ほとんどの自然画像では、低周波数のスペクトル密度が高い。^{[ 8 ]}その結果、一般的に低周波数信号（参照信号）の情報は保持される一方、詳細信号の情報は破棄される。画像圧縮と再構成の観点から、ウェーブレットは画像圧縮を実行する際に以下の基準を満たす必要がある。

より多くのオリジナル画像を基準信号に変換できること。
参照信号に基づいた最高忠実度の再構成。
参照信号のみから再構成された画像にアーティファクトが生じるべきではない。

シフト変動とリンギング動作に関する要件

ウェーブレット画像圧縮システムは、フィルタと間引き処理を用いるため、線形シフトバリアントシステムと表現できます。典型的なウェーブレット変換図を以下に示します。

変換システムには2つの分析フィルタ（ローパスフィルタ）が含まれています。 $h_{0}(n)$ そしてハイパスフィルター $h_{1}(n)$ ）、間引き処理、補間処理、および 2 つの合成フィルタ ( $g_{0}(n)$ そして $g_{1}(n)$ 圧縮・再構成システムは一般的に低周波成分を含み、これは分析フィルタである。 $h_{0}(n)$ 画像圧縮および合成フィルタ用 $g_{0}(n)$ 再構築のため。このようなシステムを評価するには、インパルスを入力できます。 $\delta (n-n_{i})$ そしてその再構築を観察する $h(n-n_{i})$ ; 最適なウェーブレットは、シフト分散とサイドローブを最小限に抑えるものです。 $h(n-n_{i})$ 厳密なシフト分散を持つウェーブレットは現実的ではないが、わずかなシフト分散を持つウェーブレットを選択することは可能である。例えば、2 つのフィルタのシフト分散を比較することができる。^{[ 9 ]}

2つのフィルタのインパルス応答を観察することで、2番目のフィルタは入力位置に対する感度が低い（つまり、シフト変動が少ない）と結論付けることができる。

画像圧縮と再構成におけるもう一つの重要な課題は、システムの振動挙動であり、これは再構成画像に深刻な望ましくないアーティファクトを引き起こす可能性がある。これを実現するには、ウェーブレットフィルタのピーク対サイドローブ比を大きくする必要がある。

これまで、画像圧縮システムの一次元変換について議論してきました。この問題は二次元に拡張することができ、より一般的な用語であるシフト可能なマルチスケール変換が提案されています。^{[ 10 ]}

インパルス応答の導出

前述したように、インパルス応答は画像圧縮／再構成システムの評価に利用できます。

入力シーケンスの場合 $x(n)=\delta (n-n_{i})$ 参照信号 $\displaystyle r_{1}(n)$ 1段階の分解後 $x(n)*h_{0}(n)$ 2分の1にまで減少する一方、 $h_{0}(n)$ ローパスフィルタです。同様に、次の参照信号 $\displaystyle r_{2}(n)$ は $r_{1}(n)*h_{0}(n)$ 2分の1に間引きされます。Lレベルの分解（および間引き）の後、分析応答は、すべての要素から1つを残すことによって得られます。 $2L$ サンプル: $h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})$ 。

一方、信号 x(n) を再構成するために、参照信号を考えることができる。 $r_{L}(n)=\delta (n-n_{j})$ 詳細信号が $d_{i}(n)$ はゼロに等しい $1\leq i\leq L$ すると、前のステージの参照信号（ $L-1$ 段階）は $r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})$ これは補間によって得られる $\displaystyle r_{L}(n)$ そして複雑化 $g_{0}(n)$ 同様に、この手順を繰り返して参照信号を取得する。 $r(n)$ ステージで $L-2,L-3,....,1$ L回の反復処理後、合成インパルス応答が計算されます。 $h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})$ これは参照信号と関連付けます $r_{L}(n)$ そして、再構成された信号。

全体的なLレベルの分析/合成システムを得るために、分析応答と合成応答は以下のように組み合わせられます。

$h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)$ 。

最後に、全体のインパルス応答のピーク対第1サイドローブ比と平均第2サイドローブを示します。 $h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})$ ウェーブレット画像圧縮の性能を評価するために使用できる。

ウェーブレット変換を用いるウェーブレット圧縮法は、音声における打楽器の音や、夜空の星の画像などの二次元画像における高周波成分といった過渡的な要素を表現するのに適しています。これは、より広く用いられている離散コサイン変換などの他の変換を用いた場合よりも、データ信号の過渡的な要素をより少ない情報量で表現できることを意味します。

制限事項

ウェーブレット変換は理論的には利点があるものの、実際的な制約により、ウェーブレット圧縮は局所的な変化や過渡的な信号の解析に限定されてきました。数十年にわたる研究にもかかわらず、音声や動画などの一般的なマルチメディア向けのウェーブレットベースの圧縮システムは、現在の離散コサイン変換ベースのシステムの効率性や知覚品質に一貫して匹敵するものではありません。^{[ 11 ]}

音声や心電図のような一次元データの場合、ウェーブレットは、音楽におけるドラムのヒットや心拍リズムの鋭いピークなど、突然発生する孤立したイベントである過渡信号の表現と圧縮に優れています。たとえば、離散ウェーブレット変換は、心電図（ECG）信号の圧縮に成功裏に適用されています。^{[ 12 ]}しかし、一般的な音声の大部分を占める滑らかで周期的な信号の場合、フーリエ変換に関連する周波数領域の調和解析の方が、より優れた圧縮と音質を実現します。過渡特性と周期特性の両方を持つデータの圧縮は、ウェーブレットと従来の調和解析を組み合わせたハイブリッド技術で行うことができます。たとえば、Vorbis オーディオコーデックは、主に修正離散コサイン変換を使用して音声（一般的に滑らかで周期的）を圧縮しますが、過渡特性の再現性を向上させるためにハイブリッドウェーブレットフィルタバンクを追加できます。^[¹³^]

高次元データの場合、ウェーブレット圧縮は大きな課題に直面します。たとえば、ビデオでは、イントラコーディングやモーション補償（空間的および時間的に隣接するものに基づいて画像の一部を予測する）などの最新の圧縮技術や、混合ブロックサイズや動的ブロックサイズは、ウェーブレットの重なり合う性質のために非常に複雑になります。この複雑さは、より多くの処理能力と遅い速度につながり、広く使用するのに実用的ではありません。さらに、ウェーブレットはPSNRなどの従来の指標で高いスコアを出すかもしれませんが、DCTブロックはウェーブレットにはしばしば欠けている鮮明さの知覚を生み出し、同様の主観的品質を達成するにはより高いビットレートが必要になります。^{[ 11 ]}

フーリエ変換および時間周波数解析との比較

ウェーブレットは、特定の周波数を調べる際の計算量を削減するという点で、フーリエ変換よりも若干優れている。しかし、感度が高いことはほとんどなく、実際、一般的なモルレーウェーブレットは、ガウス窓関数を使用した短時間フーリエ変換と数学的に同一である。^{[ 14 ]}例外は、既知の非正弦波形状の信号（心拍など）を探索する場合で、その場合は、マッチドウェーブレットを使用することで、標準的なSTFT/モルレー解析よりも優れた結果が得られる。^{[ 15 ]}

その他の実用的な応用例

ウェーブレット変換は、信号の周波数とそれらの周波数に関連付けられた時間を提供できるため、多くの分野での応用に非常に便利です。たとえば、歩行分析のための加速度の信号処理^{[ 16 ]} 、故障検出^{[ 17 ]} 、地滑りの季節的変位の分析^{[ 18 ]}、低電力ペースメーカーの設計、および超広帯域（UWB）無線通信^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}^{[ 21 ]などです。}

離散化 $c-\tau$ 軸は、周波数と時間の以下の離散化を適用しました。
${\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\\tau _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}$
これにより、次の形式のウェーブレットが得られ、基底ウェーブレットの離散式は次のようになります。
$\Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T\right]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]$
このような離散ウェーブレットは、変換に使用できます。
$Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]$
FFT（高速フーリエ変換）による実装ウェーブレット変換表現（下記参照）から明らかである。
$Y_{W}(c,\tau )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t-\tau }{c}}\right)\,dt$
どこ $c$ はスケーリング係数です。 $\tau$ 時間シフト係数を表す
そして既に述べたように、ウェーブレット変換は関数の畳み込みに対応します。 $y(t)$ そしてウェーブレット関数。畳み込みは周波数領域での乗算として実装できます。これに基づくと、以下の実装方法が得られます。
- 信号のフーリエ変換 $y(k)$ FFTを使用して
- 離散的なスケーリング係数の選択 $c_{n}$
- この係数によるウェーブレット基底関数のスケーリング $c_{n}$ そしてこの関数のFFT
- 最初のステップで変換された信号YFFTとの乗算
- 積を時間領域に逆変換すると、 $Y_{W}(c,\tau )$ 異なる離散値に対して $\tau$ そして離散値 $c_{n}$
- 2 番目のステップに戻り、すべての離散スケーリング値が $c_{n}$ 処理されます
特定の目的に合わせて、さまざまな種類のウェーブレット変換が存在します。ウェーブレット関連の変換の完全なリストも参照してください。一般的なものには、メキシカンハットウェーブレット、ハールウェーブレット、ドーベシィウェーブレット、三角ウェーブレットなどがあります。
電力系統における故障検出。^{[ 22 ]}
領域全体で滑らかさが大きく変化する関数の局所適応型統計推定、より具体的には、ウェーブレット領域で疎な関数の推定。^{[ 23 ]}

時間因果ウェーブレット

リアルタイムで時間信号を処理するには、ウェーブレットフィルタが将来の信号値にアクセスしないこと、および最小限の時間遅延が得られることが不可欠です。時間因果ウェーブレット表現は、Szu ら^{[ 24 ]}および Lindeberg ^{[ 25 ]}によって開発されており、後者の方法ではメモリ効率の良い時間再帰実装も含まれています。

シンクロスクイーズドトランスフォーム

同期圧縮変換は、従来のウェーブレット変換を使用して得られた時間周波数表現の時間分解能と周波数分解能を大幅に向上させることができます。^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}

参考文献

↑ Meyer, Yves (1992), Wavelets and Operators, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42000-8
↑ Chui, Charles K. (1992), An Introduction to Wavelets, San Diego, CA: Academic Press, ISBN 0-12-174584-8
↑ドーベシエ、イングリッド。（1992）、『ウェーブレットに関する10の講義』、SIAM、 ISBN 978-0-89871-274-2
↑ Akansu, Ali N.; Haddad, Richard A. (1992), Multiresolution Signal Decomposition: Transforms, Subbands, and Wavelets, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6
↑例えば、 JPEG 2000では、可逆変換には 5/3 ウェーブレットを、不可逆変換には 9/7 ウェーブレットを使用する場合があります。
↑ N. Malmurugan、A. Shanmugam、S. Jayaraman、VV Dinesh Chander。「ウェーブレットフットプリントを用いた新しい画像圧縮アルゴリズム」
↑ Ho Tatt Wei および Jeoti, V.「ECG信号のためのウェーブレットフットプリントに基づく圧縮方式」。Ho Tatt Wei; Jeoti, V. (2004)。「ECG信号のためのウェーブレットフットプリントに基づく圧縮方式」。2004 IEEE Region 10 Conference TENCON 2004。Vol . A。p. 283。doi : 10.1109 / TENCON.2004.1414412。ISBN 0-7803-8560-8. S2CID 43806122 .
↑ J. Field, David (1987). "自然画像の統計と皮質細胞の応答特性の関係" (PDF) . J. Opt. Soc. Am. A . 4 (12): 2379– 2394. Bibcode : 1987JOSAA...4.2379F . doi : 10.1364/JOSAA.4.002379 . PMID 3430225 .
↑ Villasenor, John D. (1995年8月). "画像圧縮のためのウェーブレットフィルタ評価". IEEE Transactions on Image Processing . 4 (8): 1053–60 . Bibcode : 1995ITIP....4.1053V . doi : 10.1109/83.403412 . PMID 18291999 .
↑シモンチェリ、EP;ウェストバージニア州フリーマン。アデルソン、EH。ヒーガー、DJ (1992)。「シフト可能なマルチスケール変換」。IEEE 情報理論トランザクション。38 (2): 587–607 .土井: 10.1109/18.119725。S2CID 43701174。
1 2ギャレット＝グレイザー、ジェイソン（2010年2月2日）。「ウェーブレットの問題点」。x264開発者の日記。 2010年2月28日のオリジナルからアーカイブ済み。
↑ Ramakrishnan, AG; Saha, S. (1997). "ECG coding by wavelet-based linear prediction" (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 44 (12): 1253– 1261. doi : 10.1109/10.649997 . PMID 9401225 . S2CID 8834327 .
↑ 「Vorbis I 仕様」。Xiph.Org Foundation。2020年 7 月 4 日。2022年 4 月 3 日のオリジナルからアーカイブ。2022年4 月 10 日取得。Vorbis I は、修正離散コサイン変換に基づく前方適応型モノリシック変換コーデックです。このコーデックは、Vorbis II でハイブリッドウェーブレットフィルタバンクを追加できるように構成されており、局所的な時間イベントにより適した変換を使用して、より優れた過渡応答と再現を提供します。
↑ Bruns, Andreas (2004). "フーリエ変換、ヒルベルト変換、ウェーブレット変換に基づく信号解析：これらは本当に異なるアプローチなのか？". Journal of Neuroscience Methods . 137 (2): 321– 332. doi : 10.1016/j.jneumeth.2004.03.002 . PMID 15262077 . S2CID 21880274 .
↑クランツ、スティーブン・G. (1999).調和解析の概観. アメリカ数学協会. ISBN 0-88385-031-1。
↑ Martin, E. (2011). 「身体領域ネットワーク加速度計を用いた歩幅推定のための新しい方法」. 2011 IEEE Topical Conference on Biomedical Wireless Technologies, Networks, and Sensing Systems . pp. 79–82 . doi : 10.1109/BIOWIRELESS.2011.5724356 . ISBN 978-1-4244-8316-7. S2CID 37689047 .
↑ Liu, Jie (2012). "機械の初期故障検出のための切り捨て振動信号のシャノンウェーブレットスペクトル解析". Measurement Science and Technology . 23 (5): 1– 11. Bibcode : 2012MeScT..23e5604L . doi : 10.1088/0957-0233/23/5/055604 . S2CID 121684952 .
↑ Tomás, R.; Li, Z.; Lopez-Sanchez, JM; Liu, P.; Singleton, A. (2016年6月1日). 「InSAR時系列データからの季節変動を分析するためのウェーブレットツールの使用：黄土坡地すべりの事例研究」 . Landslides . 13 (3): 437– 450. Bibcode : 2016Lands..13..437T . doi : 10.1007/s10346-015-0589-y . hdl : 10045/62160 . ISSN 1612-5118 .
↑ Akansu, AN; Serdijn, WA; Selesnick, IW (2010). "ウェーブレットの新たな応用: レビュー" (PDF) . Physical Communication . 3 : 1– 18. doi : 10.1016/j.phycom.2009.07.001 .
↑ Sheybani, E.; Javidi, G. (2009年12月). 「無線センサーネットワークデータセットにおける次元削減とノイズ除去」. 2009年第2回コンピュータおよび電気工学国際会議. Vol. 2. pp. 674–677 . doi : 10.1109/ICCEE.2009.282 . ISBN 978-1-4244-5365-8. S2CID 17066179 .
↑ Sheybani, EO; Javidi, G. (2012年5月). 「SAR画像処理強化のためのマルチ解像度フィルタバンク」. 2012年国際システム・情報学会議 (ICSAI2012) . pp. 2702–2706 . doi : 10.1109/ICSAI.2012.6223611 . ISBN 978-1-4673-0199-2. S2CID 16302915 .
↑ Silva, KM; Souza, BA; Brito, NSD (2006 年 10 月)「ウェーブレット変換と ANN に基づく送電線の故障検出と分類」IEEE Transactions on Power Delivery . 21 (4): 2058–2063 . Bibcode : 2006ITPD...21.2058S . doi : 10.1109/TPWRD.2006.876659 . S2CID 36881450 .
↑ Wasserman, LA (2005). All of Nonparametric Statistics .
↑ Szu, Harold H.; Telfer, Brian A.; Lohmann, Adolf W. (1992). "Causal analytical wavelet transform". Optical Engineering . 31 (9): 1825. Bibcode : 1992OptEn..31.1825S . doi : 10.1117/12.59911 .
↑ Lindeberg, T. (2023年1月23日). 「時間信号と過去の時間の時間因果的かつ時間再帰的なスケール共変スケール空間表現」 . Biological Cybernetics . 117 ( 1–2 ): 21–59 . doi : 10.1007 / s00422-022-00953-6 . PMC 10160219. PMID 36689001 .
↑ Daubechies, Ingrid; Lu, Jianfeng; Wu, Hau-Tieng (2009年12月12日). "Synchrosqueezed Wavelet Transforms: a Tool for Empirical Mode Decomposition". arXiv : 0912.2437 [ math.NA ].
↑ Qu, Hongya; Li, Tiantian; Chen, Genda (2019年1月1日). "任意の時系列に対する最適パラメータを用いた同期圧縮適応ウェーブレット変換" . Mechanical Systems and Signal Processing . 114 : 366– 377. Bibcode : 2019MSSP..114..366Q . doi : 10.1016/j.ymssp.2018.05.020 . S2CID 126007150 .

外部リンク

Amara Graps (1995 年 6 月) 「ウェーブレット入門」 IEEE Computational Science and Engineering 2 ( 2): 50–61 . doi : 10.1109/99.388960 .
ロビ・ポリカー（2001年1月12日）「ウェーブレットチュートリアル」
ルネ・プシンガー著『ウェーブレット入門』

[1] Meyer, Yves (1992), Wavelets and Operators, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42000-8

[2] Chui, Charles K. (1992), An Introduction to Wavelets, San Diego, CA: Academic Press, ISBN 0-12-174584-8

[3] ドーベシエ、イングリッド。（1992）、『ウェーブレットに関する10の講義』、SIAM、 ISBN 978-0-89871-274-2

[4] Akansu, Ali N.; Haddad, Richard A. (1992), Multiresolution Signal Decomposition: Transforms, Subbands, and Wavelets, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6

[5] 例えば、 JPEG 2000では、可逆変換には 5/3 ウェーブレットを、不可逆変換には 9/7 ウェーブレットを使用する場合があります。

[6] N. Malmurugan、A. Shanmugam、S. Jayaraman、VV Dinesh Chander。「ウェーブレットフットプリントを用いた新しい画像圧縮アルゴリズム」

[7] Ho Tatt Wei および Jeoti, V.「ECG信号のためのウェーブレットフットプリントに基づく圧縮方式」。Ho Tatt Wei; Jeoti, V. (2004)。「ECG信号のためのウェーブレットフットプリントに基づく圧縮方式」。2004 IEEE Region 10 Conference TENCON 2004。Vol . A。p. 283。doi : 10.1109 / TENCON.2004.1414412。ISBN 0-7803-8560-8. S2CID 43806122 .

[8] J. Field, David (1987). "自然画像の統計と皮質細胞の応答特性の関係" (PDF) . J. Opt. Soc. Am. A . 4 (12): 2379– 2394. Bibcode : 1987JOSAA...4.2379F . doi : 10.1364/JOSAA.4.002379 . PMID 3430225 .

[9] Villasenor, John D. (1995年8月). "画像圧縮のためのウェーブレットフィルタ評価". IEEE Transactions on Image Processing . 4 (8): 1053–60 . Bibcode : 1995ITIP....4.1053V . doi : 10.1109/83.403412 . PMID 18291999 .

[10] シモンチェリ、EP;ウェストバージニア州フリーマン。アデルソン、EH。ヒーガー、DJ (1992)。「シフト可能なマルチスケール変換」。IEEE 情報理論トランザクション。38 (2): 587–607 .土井: 10.1109/18.119725。S2CID 43701174。

[x264dev-11] 1 2ギャレット＝グレイザー、ジェイソン（2010年2月2日）。「ウェーブレットの問題点」。x264開発者の日記。 2010年2月28日のオリジナルからアーカイブ済み。

[12] Ramakrishnan, AG; Saha, S. (1997). "ECG coding by wavelet-based linear prediction" (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 44 (12): 1253– 1261. doi : 10.1109/10.649997 . PMID 9401225 . S2CID 8834327 .

[13] 「Vorbis I 仕様」。Xiph.Org Foundation。2020年 7 月 4 日。2022年 4 月 3 日のオリジナルからアーカイブ。2022年4 月 10 日取得。Vorbis I は、修正離散コサイン変換に基づく前方適応型モノリシック変換コーデックです。このコーデックは、Vorbis II でハイブリッドウェーブレットフィルタバンクを追加できるように構成されており、局所的な時間イベントにより適した変換を使用して、より優れた過渡応答と再現を提供します。

[14] Bruns, Andreas (2004). "フーリエ変換、ヒルベルト変換、ウェーブレット変換に基づく信号解析：これらは本当に異なるアプローチなのか？". Journal of Neuroscience Methods . 137 (2): 321– 332. doi : 10.1016/j.jneumeth.2004.03.002 . PMID 15262077 . S2CID 21880274 .

[15] クランツ、スティーブン・G. (1999).調和解析の概観. アメリカ数学協会. ISBN 0-88385-031-1。

[16] Martin, E. (2011). 「身体領域ネットワーク加速度計を用いた歩幅推定のための新しい方法」. 2011 IEEE Topical Conference on Biomedical Wireless Technologies, Networks, and Sensing Systems . pp. 79–82 . doi : 10.1109/BIOWIRELESS.2011.5724356 . ISBN 978-1-4244-8316-7. S2CID 37689047 .

[17] Liu, Jie (2012). "機械の初期故障検出のための切り捨て振動信号のシャノンウェーブレットスペクトル解析". Measurement Science and Technology . 23 (5): 1– 11. Bibcode : 2012MeScT..23e5604L . doi : 10.1088/0957-0233/23/5/055604 . S2CID 121684952 .

[18] Tomás, R.; Li, Z.; Lopez-Sanchez, JM; Liu, P.; Singleton, A. (2016年6月1日). 「InSAR時系列データからの季節変動を分析するためのウェーブレットツールの使用：黄土坡地すべりの事例研究」 . Landslides . 13 (3): 437– 450. Bibcode : 2016Lands..13..437T . doi : 10.1007/s10346-015-0589-y . hdl : 10045/62160 . ISSN 1612-5118 .

[19] Akansu, AN; Serdijn, WA; Selesnick, IW (2010). "ウェーブレットの新たな応用: レビュー" (PDF) . Physical Communication . 3 : 1– 18. doi : 10.1016/j.phycom.2009.07.001 .

[20] Sheybani, E.; Javidi, G. (2009年12月). 「無線センサーネットワークデータセットにおける次元削減とノイズ除去」. 2009年第2回コンピュータおよび電気工学国際会議. Vol. 2. pp. 674–677 . doi : 10.1109/ICCEE.2009.282 . ISBN 978-1-4244-5365-8. S2CID 17066179 .

[21] Sheybani, EO; Javidi, G. (2012年5月). 「SAR画像処理強化のためのマルチ解像度フィルタバンク」. 2012年国際システム・情報学会議 (ICSAI2012) . pp. 2702–2706 . doi : 10.1109/ICSAI.2012.6223611 . ISBN 978-1-4673-0199-2. S2CID 16302915 .

[22] Silva, KM; Souza, BA; Brito, NSD (2006 年 10 月)「ウェーブレット変換と ANN に基づく送電線の故障検出と分類」IEEE Transactions on Power Delivery . 21 (4): 2058–2063 . Bibcode : 2006ITPD...21.2058S . doi : 10.1109/TPWRD.2006.876659 . S2CID 36881450 .

[23] Wasserman, LA (2005). All of Nonparametric Statistics .

[24] Szu, Harold H.; Telfer, Brian A.; Lohmann, Adolf W. (1992). "Causal analytical wavelet transform". Optical Engineering . 31 (9): 1825. Bibcode : 1992OptEn..31.1825S . doi : 10.1117/12.59911 .

[25] Lindeberg, T. (2023年1月23日). 「時間信号と過去の時間の時間因果的かつ時間再帰的なスケール共変スケール空間表現」 . Biological Cybernetics . 117 ( 1–2 ): 21–59 . doi : 10.1007 / s00422-022-00953-6 . PMC 10160219. PMID 36689001 .

[26] Daubechies, Ingrid; Lu, Jianfeng; Wu, Hau-Tieng (2009年12月12日). "Synchrosqueezed Wavelet Transforms: a Tool for Empirical Mode Decomposition". arXiv : 0912.2437 [ math.NA ].

[27] Qu, Hongya; Li, Tiantian; Chen, Genda (2019年1月1日). "任意の時系列に対する最適パラメータを用いた同期圧縮適応ウェーブレット変換" . Mechanical Systems and Signal Processing . 114 : 366– 377. Bibcode : 2019MSSP..114..366Q . doi : 10.1016/j.ymssp.2018.05.020 . S2CID 126007150 .

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