弱いトポロジー

数学において、弱位相とは、位相ベクトル空間や線型作用素の空間（例えばヒルベルト空間）上の特定の初期位相の別名である。この用語は、位相ベクトル空間（ノルムベクトル空間など）の連続双対に関する初期位相を表すために最もよく使われる。この記事の残りの部分では、関数解析の概念の 1 つであるこのケースを取り扱う。

位相ベクトル空間の部分集合が弱位相に関して閉じている（それぞれ、コンパクトなど）場合、その部分集合は弱閉じている（それぞれ、弱コンパクトなど）と呼ばれることがあります。同様に、関数は弱位相に関して連続している（それぞれ、微分可能、解析的など）場合、弱連続である（それぞれ、弱微分可能、弱解析的など）と呼ばれることがあります。

1900年代初頭から、デイヴィッド・ヒルベルトとマルセル・リースは弱収束を広範に利用しました。関数解析の初期の先駆者たちは、ノルム収束を弱収束よりも重視せず、弱収束の方が好ましいと考えることが多かったです。^[1] 1929年、バナッハはノルム空間に対する弱収束を導入し、類似の弱*収束も導入しました。^[1]弱位相は、フランス語でtopologie faible 、ドイツ語でschwache Topologieと呼ばれます。

を位相体、つまり加算、乗算、除算が連続するような位相を持つ体とします。ほとんどのアプリケーションでは、よく知られた位相を持つ 複素数体または実数体のいずれかになります。${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$

弱位相と弱*位相はどちらも、ここで説明するペアリングのより一般的な構成の特殊なケースです。このより一般的な構成の利点は、それに対して証明された定義や結果が弱位相と弱*位相の両方に適用され、多くの定義、定理の記述、証明が不要になることです。これは、弱*位相が「弱位相」と呼ばれることが多い理由でもあります。これは、このより一般的な構成の設定における弱位相の単なるインスタンスであるためです。

( X , Y , b )が位相体上のベクトル空間のペアであるとします（つまり、XとYは上のベクトル空間であり、b  : X × Y →は双線型写像です）。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$

表記法。すべてのx ∈ Xに対して、b ( x , •) : Y → が${\displaystyle \mathbb {K} }$y ↦ b ( x , y )によって定義されるY上の線型関数を表すものとします。同様に、すべてのy ∈ Yに対して、b (•, y ) : X →がx ↦ b ( x , y )によって定義されるものとします。${\displaystyle \mathbb {K} }$

定義。Y (およびb )によって誘導されるX上の弱い位相は、X上の最も弱い位相であり、 𝜎( X , Y , b )または単に𝜎( X , Y )と表記され、 y がY上で変化するため、すべての写像b (•, y ) : X → が連続となる。^[1]${\displaystyle \mathbb {K} }$

Y上の弱いトポロジーは、記事「Dual system」で説明されているように自動的に定義されます。ただし、わかりやすくするために、ここで繰り返します。

定義。X (およびb )によって誘導されるY上の弱い位相はY上の最も弱い位相であり、 𝜎 ( Y , X , b )または単に𝜎( Y , X )と表記され、 x がX上で変化するとき、すべての写像b ( x ,•) : Y → が連続となる。^[1]${\displaystyle \mathbb {K} }$

体が絶対値| ⋅ |を持つ場合、 X上の弱い位相𝜎( X , Y , b )は、次のように定義される 半ノルムの族p _y  : X →によって誘導されます。${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

p _y ( x ) := | b ( x , y ) |

すべてのy ∈ Yおよびx ∈ Xに対して。これは、弱い位相が局所的に凸であることを示しています。

仮定。これ以降は、 が実数または複素数のいずれかであると仮定します。${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

ここで、 Y がXの代数双対空間のベクトル部分空間（つまり、 X上の線型関数のベクトル空間）である特殊なケースを考えます。

またはで表され、正準ペアリングと呼ばれるペアリングがあり、その双線形写像は、すべてのおよびに対して で定義される正準評価写像です。 特に、 は 、つまり を表す別の方法にすぎないことに注意してください。${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x'\in Y}$${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle }$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )}$

仮定。YがXの代数的双対空間のベクトル部分空間である場合、それらは標準的なペアリング⟨X 、Y⟩に関連付けられていると仮定します。

この場合、X上の弱い位相（またはY上の弱い位相）は、𝜎( X , Y )（または𝜎( Y , X )）で表され、標準ペアリング⟨X , Y⟩に関するX上（またはY上）の弱い位相です。

位相σ( X , Y )は、 Yに関するXの初期位相です。

Y がX上の線型関数のベクトル空間である場合、位相σ( X , Y )に関するXの連続双対はYと正確に等しい。^[1] (Rudin 1991、定理 3.10)

X を上の位相ベクトル空間(TVS)とします。つまり、Xはベクトルの加算とスカラー乗算が連続するような位相を備えたベクトル空間です。Xが元の位相、開始位相、または与えられた位相で始まる位相を と呼びます (元の位相を指すのに「初期位相」や「強い位相」という用語を使用しないように注意してください。これらの意味は既によく知られており、使用すると混乱を招く可能性があります)。位相空間または連続双対空間を使用して、 X上の異なる可能性のある位相を定義できます。位相空間または連続双対空間は、与えられた位相に関して 連続である、 Xから基本体へのすべての線型関数で構成されます。${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$

は、すべてのおよびに対して によって定義される標準評価マップであり、特に であることを思い出してください。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x'\in X^{*}}$${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )=x'}$

定義。X上の弱い位相は、X上の標準ペアリング に関する弱い位相です。つまり、X上の最も弱い位相で、上の範囲としてすべての写像が連続になる位相です。^[1]${\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }$${\displaystyle x'=\langle \cdot ,x'\rangle :X\to \mathbb {K} }$${\displaystyle x'}$${\displaystyle X^{*}}$

定義:上の弱い位相は、${\displaystyle X^{*}}$標準ペアリングに関する上の弱い位相です。つまり、x がX上で変化するとき、すべての写像が連続になる、上の最も弱い位相です。^{[1]この位相は、}弱い*位相とも呼ばれます。${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle \langle x,\cdot \rangle :X^{*}\to \mathbb {K} }$

以下に代替の定義を示します。

あるいは、TVS X上の弱い位相は、族 に関する初期位相です。言い換えると、それはX 上の最も粗い位相であり、 の各要素は連続関数のままです。 ${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$

弱位相の部分基底は、という形式の集合の集合であり、U は基底体 の開部分集合です。言い換えると、Xのサブセットが弱位相で開集合となるのは、それが (おそらく無限個の) 集合の和集合として表すことができる場合のみであり、各集合は という形式の有限個の集合の共通部分集合です。 ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$${\displaystyle \phi \in X^{*}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$

この観点から見ると、弱位相は最も粗い極位相です。

弱い位相は、次の条件によって特徴付けられます。X内のネット が弱い位相でXの要素xに収束するのは、すべてにおいてまたはに対してに収束する場合のみです。 ${\displaystyle (x_{\lambda })}$${\displaystyle \phi (x_{\lambda })}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \phi \in X^{*}}$

特に、 がX内のシーケンスである場合、 がxに弱収束するのは、 ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle \varphi (x_{n})\to \varphi (x)}$

となる。この場合、慣例的に次のように 書く。${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$

${\displaystyle x_{n}{\overset {\mathrm {w} }{\longrightarrow }}x}$

あるいは、時には、

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x.}$

X が弱位相を備えている場合、加算とスカラー乗算は連続演算のままであり、X は局所凸位相ベクトル空間です。

Xがノルム空間である場合、双対空間はノルムを用いてそれ自身ノルムベクトル空間となる。 ${\displaystyle X^{*}}$

${\displaystyle \|\phi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\phi (x)|.}$

このノルムは、上に強い位相と呼ばれる位相を生み出します。これは一様収束の位相です。一様位相と強い位相は、線型写像の他の空間では一般に異なります。以下を参照してください。 ${\displaystyle X^{*}}$

弱*位相は極性位相の重要な例です。

空間Xは、その二重双対 X**に埋め込むことができる。

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}T_{x}:X^{*}\to \mathbb {K} \\T_{x}(\phi )=\phi (x)\end{cases}}}$

したがって、 は単射線型写像ですが、必ずしも全射ではありません (この標準埋め込みが全射である空間は反射的 と呼ばれます)。上の弱 * 位相は、 の像によって誘導される弱位相です。言い換えると、 は、から基底体またはへの写像T _{x が}連続したままとなるような最も粗い位相です。 ${\displaystyle T:X\to X^{**}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle T:T(X)\subset X^{**}}$${\displaystyle T_{x}(\phi )=\phi (x)}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

弱収束

のネットが 弱*位相で に 収束するとは、点ごとに収束する場合です。${\displaystyle \phi _{\lambda }}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \phi _{\lambda }(x)\to \phi (x)}$

全ての に対して収束する 。特に、の列は、${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \phi _{n}\in X^{*}}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \phi _{n}(x)\to \phi (x)}$

すべてのx ∈ Xに対してである。この場合、

${\displaystyle \phi _{n}{\overset {w^{*}}{\to }}\phi }$

n → ∞として。

弱収束は単純収束または点収束と呼ばれることもあります。実際、これは線型関数の 点収束と一致します。

Xが可分な（つまり可算な稠密な部分集合を持つ）局所凸空間であり、 H がその連続双対空間のノルム有界部分集合である場合、弱*（部分空間）位相を持つH は距離化可能な位相空間である。^[1]しかし、無限次元空間の場合、距離は並進不変にはなり得ない。^[2] X が可分な距離化可能な 局所凸空間である場合、 Xの連続双対空間上の弱*位相は可分である。^[1]

ノルム空間上の性質

定義により、弱*位相は 上の弱位相よりも弱い。弱*位相に関する重要な事実は、バナッハ・アラオグルの定理である。Xがノルム化されている場合、 の閉じた単位球は弱*コンパクトである（より一般的には、X内の 0 の近傍の内の極は弱*コンパクトである）。さらに、ノルム化された空間Xの閉じた単位球が弱位相でコンパクトであるためには、 Xが反射的である必要があります。 ${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$

より一般的には、F を局所的にコンパクトな値を持つ体（例えば、実数、複素数、またはいずれかの p 進数システム）とします。X をF上のノルム位相ベクトル空間で、 Fの絶対値と互換性があるとします。すると、 X上の連続F値線形関数の位相双対空間Xにおいて、すべてのノルム閉球は弱*位相でコンパクトになります。 ${\displaystyle X^{*}}$

X がノルム空間の場合、 Heine-Borel の定理の一種が成り立ちます。特に、連続双対の部分集合が弱*コンパクトであるためには、それが弱*閉じていてノルム有界である必要があります。^[1]これは特に、X が無限次元のノルム空間の場合、Xの双対空間の原点にある閉じた単位球には0 の弱*近傍が含まれないことを意味します (そのような近傍はノルム有界ではないため)。^[1]したがって、ノルム閉じた球はコンパクトですが、X* は弱*局所コンパクトではありません。

Xがノルム空間である場合、 Xが分離可能であることと、 の閉単位球上の弱*位相が距離化可能であることは同値であり、^[1]この場合、弱*位相は のノルム有界部分集合上で距離化可能である。ノルム空間X に分離可能な双対空間 (双対ノルム位相に関して) がある場合、 X は必然的に分離可能である。^[1] Xがバナッハ空間である場合、 X が有限次元でない限り、弱*位相は のすべて上で距離化可能ではない。 ^[3]${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$

例えば、ヒルベルト空間 L ² ( )${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$における関数の強い収束と弱い収束の違いを考えてみましょう。列の元ψへの強い収束とは、 ${\displaystyle \psi _{k}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\psi _{k}-\psi |^{2}\,{\rm {d}}\mu \,\to 0}$

k → ∞のとき、収束の概念はL ²上のノルムに対応する。

対照的に、弱い収束では、

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}_{k}f\,\mathrm {d} \mu \to \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}f\,\mathrm {d} \mu }$

すべての関数f ∈ L ²に対して（または、より一般的には、シーケンス { ψ _k } が有界である場合、テスト関数の空間などのL ²の稠密な部分集合内のすべてのfに対して）。与えられたテスト関数に対して、収束の関連する概念は、で使用される位相にのみ対応します。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

例えば、ヒルベルト空間L ² (0,π)では、関数列

${\displaystyle \psi _{k}(x)={\sqrt {2/\pi }}\sin(kx)}$

は正規直交基底を形成します。特に、 k → ∞としての の（強い）極限は存在しません。一方、リーマン-ルベーグの補題により、弱い極限が存在し、ゼロになります。 ${\displaystyle \psi_{k}}$

通常、超関数の空間は、テスト関数の空間の強い双対を形成することによって得られます（ 上のコンパクトにサポートされた滑らかな関数など）。このような空間の別の構成では、 L ²などのヒルベルト空間内のテスト関数の空間の弱い双対を取ることができます。これにより、リグヒルベルト空間のアイデアを検討することができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Xがベクトル空間で、X ^{# が}Xの代数的双対空間（つまり、 X上のすべての線型関数のベクトル空間）であるとする。X がX ^#によって誘導される弱い位相を備えている場合、 Xの連続双対空間はX ^#であり、 Xのすべての有界部分集合はXの有限次元ベクトル部分空間に含まれ、Xのすべてのベクトル部分空間は閉じており、位相的な補集合を持つ。^[4]

XとY が位相ベクトル空間である場合、連続線型作用素f  : X  →  Yの空間L ( X , Y )は、さまざまな異なる位相を持つ可能性があります。このような位相の命名は、作用素の収束を定義するためにターゲット空間Yで使用している位相の種類によって異なります (Yosida 1980、IV.7 線型写像の位相)。一般に、 L ( X , Y )上の作用素位相の可能な配列は膨大にあり、その命名は完全に直感的ではありません。

たとえば、L ( X , Y )上の強い作用素位相は、点ごとの収束の位相です。たとえば、Yがノルム空間である場合、この位相はx∈Xでインデックス付けされた半ノルムによって定義されます。

${\displaystyle f\mapsto \|f(x)\|_{Y}.}$

より一般的には、半ノルム族QがY上の位相を定義する場合、強い位相を定義する L ( X , Y )上の半ノルムp _{q , x は次のように与えられる。}

${\displaystyle p_{q,x}:f\mapsto q(f(x)),}$

q ∈ Qおよびx ∈ Xによってインデックス付けされます。

特に、弱い演算子トポロジーと弱い*演算子トポロジーを参照してください。

• エーベルライン・コンパクト、弱位相におけるコンパクト集合
• 弱収束（ヒルベルト空間）
• 弱いスター演算子トポロジー
• 対策の弱い収束
• 線型写像の空間上の位相
• ヒルベルト空間上の作用素の集合上の位相
• 曖昧なトポロジー

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