定数Q変換

数学と信号処理において、定数Q変換と可変Q変換は単にCQTとVQTと呼ばれ、データ系列を周波数領域に変換します。これはフーリエ変換^[1]と関連しており、複素モルレウェーブレット変換^[2]と非常に密接に関連しています。その設計は音楽表現に適しています。

この変換は、周波数が対数的に等間隔に配置された一連のフィルタf _kとして考えることができ、k番目のフィルタのスペクトル幅 δf _kは前のフィルタの幅の倍数に等しくなります。

${\displaystyle \delta f_{k}=2^{1/n}\cdot \delta f_{k-1}=\left(2^{1/n}\right)^{k}\cdot \delta f_{\text{min}},}$

ここで、δf _kはk番目のフィルタの帯域幅、f _minは最低のフィルタの中心周波数、n はオクターブあたりのフィルタの数です。

サンプルmにシフトされたフレームのx [ n ]の短時間フーリエ変換は次のように計算されます。

${\displaystyle X[k,m]=\sum _{n=0}^{N-1}W[nm]x[n]e^{-j2\pi kn/N}.}$

サンプリング周波数f _s = 1/ T（Tはデータのサンプリング周期） のデータ系列が与えられた場合、各周波数ビンに対して次のように定義できます。

• フィルタ幅、δf _k。
• Q、「品質係数」:

${\displaystyle Q={\frac {f_{k}}{\delta f_{k}}}.}$

これは、中心周波数f _kで処理されるサイクルの整数数として以下に表示されます。したがって、これは変換の時間計算量をある程度定義します。

• k番目のビンのウィンドウの長さ:

${\displaystyle N[k]={\frac {f_{\text{s}}}{\delta f_{k}}}={\frac {f_{\text{s}}}{f_{k}}}Q.}$

f _s / f _{k は}周波数f _kで 1 サイクルあたりに処理されるサンプル数なので、Q はこの中心周波数で処理される整数サイクル数です。

同等の変換カーネルは、次の置換を使用して見つけることができます。

• 各ビンのウィンドウの長さは、ビン番号の関数になります。

${\displaystyle N=N[k]=Q{\frac {f_{\text{s}}}{f_{k}}}.}$

• 各ビンの相対的なパワーは、より少ない項にわたって合計されるため、高周波数では低下します。これを補正するために、N [ k ] で正規化します。
• あらゆるウィンドウ関数はウィンドウの長さの関数であり、同様にウィンドウ番号の関数でもある。例えば、同等のハミングウィンドウは次のようになる。

${\displaystyle W[k,n]=\alpha -(1-\alpha )\cos {\frac {2\pi n}{N[k]-1}},\quad \alpha =25/46,\quad 0\leqslant n\leqslant N[k]-1.}$

• デジタル周波数 はになります。${\displaystyle {\frac {2\pi k}{N}}}$${\displaystyle {\frac {2\pi Q}{N[k]}}}$

これらの変更の後、残るのは

${\displaystyle X[k]={\frac {1}{N[k]}}\sum _{n=0}^{N[k]-1}W[k,n]x[n]e^ {\frac {-j2\pi Qn}{N[k]}}.}$

可変Q変換は定数Q変換と同じですが、唯一の違いはフィルターQが可変であることです。そのため、可変Q変換と呼ばれます。可変Q変換は、低周波数での時間分解能が重要な場合に便利です^{[例が必要]}。VQTの帯域幅を計算する方法はいくつかあり、その1つは、VQTビンの帯域幅の値として等価矩形帯域幅を使用する方法です。 ^[3]

可変Q変換を実装する最も簡単な方法は、次のようにγと呼ばれる帯域幅オフセットを追加することです。 ^{[引用が必要]}

${\displaystyle \delta f_{k}=\left({\frac {2}{f_{k}+\gamma }}\right)Q.}$

この式は、定数Qと定数帯域幅の間の遷移の鋭さを調整するための追加パラメータを持つように変更することができます。次のようにします。^{[引用が必要]}

${\displaystyle \delta f_{k}=\left({\frac {2}{\sqrt[{\alpha }]{f_{k}^{\alpha }+\gamma ^{\alpha }}}}\right)Q.}$

αは遷移の鋭さのパラメータであり、周波数分解能の観点から 、 αが 2 の場合は双曲線正弦周波数スケールに等しくなります。

定数Q変換の直接計算（単純な離散フーリエ変換またはわずかに高速なGoertzelアルゴリズムのいずれかを使用）は、高速フーリエ変換と比較すると低速です。ただし、高速フーリエ変換自体は、カーネルの使用と組み合わせて使用​​​​することで、同等の計算をより高速に実行できます。^[4]このような実装の近似逆が2006年に提案されました。これは離散フーリエ変換に戻ることで機能し、ピッチ楽器にのみ適しています。^[5]

この方法の改良版として、可逆性を改善した開発では、連続的に低いピッチに対してローパスフィルターとダウンサンプリングされた結果を使用して、オクターブごとに CQT (高速フーリエ変換経由) を実行します。^[6]この方法の実装には、MATLAB 実装と LibROSA の Python 実装が含まれます。^[7] LibROSA は、サブサンプリング法と直接高速フーリエ変換法 (「疑似 CQT」と名付けられている) を組み合わせ、後者で高周波数全体を処理します。^[7]

スライディング離散フーリエ変換は、線形周波数間隔やビンごとの同じウィンドウサイズである必要がないため、定数Q変換の計算を高速化するために使用できます。^[8]

あるいは、定数Q変換は、異なるウィンドウサイズや異なる周波数範囲でのサンプリングレートの複数の高速フーリエ変換を使用して近似し、それをつなぎ合わせることもできます。これはマルチ解像度短時間フーリエ変換と呼ばれますが、マルチ解像度高速フーリエ変換のウィンドウサイズはビンごとではなくオクターブごとに異なります。^{[9] [あいまい]}

一般に、この変換は音楽データに適しており、高速フーリエ変換と比較したいくつかの利点からもそれがわかります。変換の出力は実質的に対数周波数に対する振幅/位相であるため、特定の範囲を効果的にカバーするために必要な周波数ビンは少なく、これは周波数が数オクターブにまたがる場合に便利です。人間の聴覚範囲は 20 Hz から約 20 kHz までの約 10 オクターブをカバーするため、出力データのこの削減は重要です。

この変換では、周波数ビンが高くなると周波数分解能が低下しますが、これは聴覚アプリケーションには望ましいことです。この変換は人間の聴覚システムを反映しており、低周波数ではスペクトル分解能が向上し、高周波数では時間分解能が向上します。ピアノの音階の一番下（約 30 Hz）では、1 半音の差は約 1.5 Hz の差ですが、音楽の音階の一番上（約 5 kHz）では、1 半音の差は約 200 Hz の差です。^[10]そのため、音楽データの場合、定数 Q 変換の指数周波数分解能が理想的です。

さらに、この変換では、音符の倍音は楽器の音色の特徴的なパターンを形成します。各倍音の相対的な強さが同じであると仮定すると、基本周波数が変化しても、これらの倍音の相対的な位置は一定のままです。これにより、楽器の識別がはるかに容易になります。定数Q変換は、蓄積されたクロマコンテンツに基づいて音楽のキーを自動的に認識するためにも使用できます。^[11]

フーリエ変換と比較すると、この変換の実装はより複雑です。これは、各周波数ビンの計算に使用されるサンプル数が異なるためであり、実装されるウィンドウ関数の長さにも影響します。^[12]

また、周波数スケールは対数であるため、真のゼロ周波数/DC 項は存在しないことに注意してください。これは、DC 項に関心のあるアプリケーションでは欠点となる可能性があります。ただし、オーディオなどの DC に関心のないアプリケーションでは、これは欠点にはなりません。