非可換幾何学

非可換幾何学（NCG）は、非可換代数への幾何学的アプローチと、おそらくは何らかの一般化された意味での関数の非可換代数によって局所的に表される空間の構築に関する数学の分野です。非可換代数は、乗算が可換でない結合代数、つまり に対して が常に等しくならない代数です。または、より一般的には、主要な二項演算の 1 つが可換でない代数構造です。また、位相やノルムなどの追加の構造を関数の非可換代数によって運ぶこともできます。 ${\displaystyle xy}$${\displaystyle yx}$

非可換空間についての深い洞察を与えるアプローチは、作用素環、すなわちヒルベルト空間上の有界線型作用素の環を介するものである。^[1]おそらく非可換空間の典型的な例の1つは「非可換トーラス」であり、これは1980年代のこの分野の初期の発展に重要な役割を果たし、ベクトル束、接続、曲率などの非可換バージョンにつながった。^[2]

主な動機は、空間と関数の間の可換双対性を非可換な設定に拡張することです。数学では、本質的に幾何学的な空間を、その上の数値関数に関連付けることができます。一般に、そのような関数は可換環を形成します。たとえば、位相空間X上の連続複素数値関数の環C ( X )を取ることができます。多くの場合 (たとえば、Xがコンパクトなハウスドルフ空間である場合)、 C ( X )からX を復元できるため、 Xが可換位相を持つと言うことには意味があります。

より具体的には、位相幾何学では、コンパクトなハウスドルフ位相空間は、空間上の函数のバナッハ代数から再構成できる (ゲルファント・ナイマーク)。可換代数幾何学では、代数スキームは可換単位環の局所的に素なスペクトルであり ( A. グロタンディーク)、あらゆる準分離スキームは、 -加群の準コヒーレント層のカテゴリからスキームの同型性まで再構成できる( P. ガブリエル–A. ローゼンバーグ )。グロタンディーク位相では、サイトのコホモロジー特性は、抽象的にトポスとして見た集合の層の対応するカテゴリの不変量である ( A. グロタンディーク )。これらすべての場合において、空間は函数の代数またはそのカテゴリ化されたバージョン、つまりその空間上の何らかの層のカテゴリから再構成される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle O_{X}}$

位相空間上の関数は点ごとに乗算および加算できるため、可換代数を形成します。実際、これらの演算は基本空間の位相において局所的であるため、関数は基本空間上の可換環の層を形成します。

非可換幾何学の夢は、この双対性を非可換代数、または非可換代数の層、または層のような非可換代数構造または作用素代数構造と、ある種の幾何学的実体との間の双対性に一般化し、この双対性を介してそれらの代数的記述と幾何学的記述の間に相互作用を与えることです。

可換環が通常のアフィンスキームに対応し、可換C*-代数が通常の位相空間に対応することを考慮すると、非可換環および代数への拡張には、位相空間を「非可換空間」として一般化することが必須となる。このため、非可換位相について議論されることがあるが、この用語には他の意味もある。

素粒子物理学におけるいくつかの応用については、非可換標準モデルと非可換量子場理論の項で説明されている。物理学における非可換幾何学への関心が急激に高まったのは、1997年にM理論におけるその役割についての推測がなされて以来である。 ^[3]

アラン・コンヌが非可換幾何学を技術的なレベルで扱うために開発した理論の一部は、特にエルゴード理論における古い試みに根ざしている。エルゴード群の作用が拡張された種類の均質空間になる仮想部分群理論を作成するというジョージ・マッキーの提案は、今では取り入れられている。

非可換 C*-代数の (形式的な) 双対は現在ではしばしば非可換空間と呼ばれます。これは、可換C*-代数が局所コンパクト ハウスドルフ空間の双対であることを示すゲルファント表現との類推によるものです。一般に、任意の C*-代数Sに位相空間Ŝを関連付けることができます。C *-代数のスペクトルを参照してください。

局所化可能測度空間と可換フォン・ノイマン代数との間の双対性のため、非可換フォン・ノイマン代数は非可換測度空間と呼ばれる。

滑らかなリーマン多様体 Mは、多くの追加構造を持つ位相空間です。連続関数の代数C ( M ) から、M を位相的にのみ復元できます。リーマン構造を復元する代数不変量はスペクトル三重項です。これは、 M上の滑らかなベクトル束E 、たとえば外代数束 から構築されます。 Eの平方可積分セクションのヒルベルト空間L ² ( M ,  E ) は、乗算演算子によるC ( M)の表現を持ち、コンパクトなレゾルベント (たとえば、シグネチャ演算子) を持つL ² ( M ,  E )の非有界演算子D を考えます。この場合、 fが滑らかな場合は常に、交換子 [ D ,  f ] は有界になります。深い定理^{[4]は、リーマン多様体としての}M がこのデータから復元できることを述べています。

これは、非可換リーマン多様体を、ヒルベルト空間H上の C* 代数Aの表現と、H上の非有界演算子D （コンパクトなレゾルベントを持つ）から構成されるスペクトル 3 つ組( A、  H、  D ) として定義できることを示唆しており、 Aの何らかの稠密な部分代数内のすべてのaに対して[ D、  a ] が有界になります。スペクトル 3 つ組の研究は非常に活発で、非可換多様体の多くの例が構築されています。

アフィン スキームと可換環の双対性と同様に、非可換アフィン スキームのカテゴリを結合単位環のカテゴリの双対として定義します。そのコンテキストにはザリスキ トポロジーの類似物があり、このようなアフィン スキームをより一般的なオブジェクトに接着することができます。

可換次数環の円錐と投影の一般化もあり、投影上のセールの定理を模倣している。つまり、可換次数代数の投影上の O 加群の準コヒーレント層のカテゴリは、有限長の次数加群のセールのサブカテゴリに局在する環上の次数加群のカテゴリと同値である。代数がノイザンである場合、コヒーレント層に対する類似の定理もある。この定理は、マイケル・アルティンと JJ チャン^[5]によって非可換射影幾何学の定義として拡張され、彼らはまた、一般的な環論的条件 (例: アルティン-シェルター正則性) もいくつか追加している。

射影スキームの多くの性質はこの文脈にまで拡張される。例えば、アルティンとチャンの非可換射影スキームには有名なセール双対性の類似物が存在する。 ^[6]

AL Rosenberg は、グロタンディークのスキームと被覆の射に関する研究を準コヒーレント層と平坦な局所化関手のカテゴリの観点から抽象化し、非可換準コンパクトスキーム（基本カテゴリ上）というかなり一般的な相対概念を生み出しました。 ^[7]また、 Fred Van Oystaeyen 、Luc Willaert、Alain Verschorenによる局所化理論を介した興味深いアプローチもあり、その主な概念は図式的代数です。^{[8] [9]}

理論の動機となる問題のいくつかは、既知の位相不変量を非可換（作用素）代数の形式的双対や、非可換空間の他の代替物および候補に拡張することに関するものです。アラン・コンヌの非可換幾何学における方向性の主な出発点の 1 つは、非可換結合代数と非可換作用素代数に関連する新しいホモロジー理論、すなわち巡回ホモロジーと、その代数 K 理論との関係（主にコンヌ・チャーン特性マップ経由）の発見です。

滑らかな多様体の特性類の理論は、作用素K 理論と巡回コホモロジーのツールを用いて、スペクトル三重項に拡張されました。現在では古典的な指数定理のいくつかの一般化により、スペクトル三重項から数値不変量を効果的に抽出できます。巡回コホモロジーの基本的な特性類であるJLO コサイクルは、古典的なチャーン特性を一般化します。

• 量子力学の位相空間定式化では、古典力学のシンプレクティック 位相空間が、位置演算子と運動量演算子によって生成される非可換位相空間に変形されます。
• 非可換標準モデルは、素粒子物理学の標準モデルの拡張として提案されています。
• 非可換トーラスは、通常のトーラスの関数代数の変形であり、スペクトル三重項の構造を与えることができます。このクラスの例は徹底的に研究されており、より複雑な状況のテストケースとして今でも機能しています。
• スナイダー空間^[10]
• 葉脈構造から生じる非可換代数。
• 連分数のガウスシフトなど、数論から生じる動的システムに関連する例は、興味深い非可換幾何学を持つように見える非可換代数を生じます。

コヌ接続は、微分幾何学における接続の非可換な一般化である。これはアラン・コヌによって導入され、後にヨアヒム・クンツとダニエル・キレンによって一般化された。

右A加群Eが与えられたとき、 E上のコンヌ接続は線型写像である。

${\displaystyle \nabla :E\to E\otimes _{A}\Omega ^{1}A}$

ライプニッツの規則 を満たす。^[11]${\displaystyle \nabla _{r}(sa)=\nabla _{r}(s)a+s\otimes da}$

• 可換性
• ぼやけた球体
• コズル接続
• モヤル製品
• 非可換代数幾何学
• 非可換位相
• 位相空間定式化
• 準自由代数

• Consani, Caterina ; Connes, Alain編 (2011)、非可換幾何学、算術、および関連トピック。2009年3月23日～26日に米国メリーランド州ボルチモアのジョンズホプキンス大学で開催された日米数学協会 (JAMI) 第21回会議の議事録、メリーランド州ボルチモア：ジョンズホプキンス大学出版局、ISBN 978-1-4214-0352-6、ZBL  1245.00040
• グレンシング、ゲルハルト (2013)。量子場理論と非可換幾何学の構造的側面。ハッケンサック、ニュージャージー: World Scientific。ISBN 978-981-4472-69-2。

Wikiquote には非可換幾何学に関する引用があります。

• ミチョ・ジュルジェヴィッチ著『量子幾何学入門』
• ギンズバーグ、ビクター (2005)。「非可換幾何学の講義」。arXiv : math /0506603。
• Khalkhali, Masoud (2004). 「非常に基本的な非可換幾何学」. arXiv : math/0408416 .
• Marcolli, Matilde (2004). 「算術非可換幾何学の講義」. arXiv : math/0409520 .
• Madore, J. (2000). 「歩行者のための非可換幾何学」.古典的および量子的非局所性: 111. arXiv : gr-qc/9906059 . Bibcode :2000cqnl.conf..111M. doi :10.1142/9789812792938_0007. ISBN 978-981-02-4296-1.S2CID 15595586  。
• マッソン、ティエリー (2006)。 「非可換幾何学のアイデアと概念への非公式な入門」。arXiv : math-ph/0612012。(簡単な紹介ですが、それでもかなり技術的です)
• arxiv.org の非可換幾何学
• MathOverflow、非可換幾何学の理論
• Mahanta, Snigdhayan (2005). 「非可換代数幾何学へのいくつかのアプローチについて」arXiv : math/0501166 .
• Sardanashvily, G. (2009). 「モジュールとリングの微分幾何学に関する講義」. arXiv : 0910.1515 [math-ph].
• 非可換幾何学と素粒子物理学
• nLab における非可換幾何学の接続