関数の値域

数学において、関数の値域は、関数の終域または像のいずれかを指す場合があります。場合によっては、関数の終域と像が同じ集合になります。このような関数は全射または全射と呼ばれます。全射でない関数については、${\displaystyle f:X\to Y,}$値域${\displaystyle Y}$そして画像${\displaystyle {\tilde {Y}}}$それらは異なるが、元の関数の像を値域とする新しい関数を定義することができる。$\displaystyle {\tilde {f}}:X\to {\tilde {Y}}}$どこ$\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x).}$この新しい関数は全射である。

2 つの集合XとYが与えられたとき、XとYの間の二項関係fは、Xのすべての要素xに対して、 f がxとyを関連付けるようなYの要素yがちょうど 1 つ存在する場合に、関数 ( XからYへ) と呼ばれます。集合XとYは、それぞれfの定義域と値域と呼ばれます。関数fの像は、 Yの要素yのうち、 f ( x ) = yとなるXのx が少なくとも 1 つ存在するような要素のみからなるYの部分集合です。

「範囲」という用語は様々な意味を持つ可能性があるため、教科書や記事で初めて使用する際に定義するのが良い慣習と考えられています。古い書籍では、「範囲」という言葉を使う場合、現在では終域と呼ばれるものを指す傾向があります。^{[ 1 ]}より新しい書籍では、「範囲」という言葉を使う場合、一般的には現在では像と呼ばれるものを指すのに使われます。^{[ 2 ]}混乱を避けるため、多くの現代の書籍では「範囲」という言葉を全く使用していません。^{[ 3 ]}

関数が与えられた場合

$${\displaystyle f\colon X\to Y}$$

ドメイン付き${\displaystyle X}$範囲${\displaystyle f}$、時には表記される${\displaystyle \operatorname {ran} (f)}$または${\displaystyle \operatorname {範囲} (f)}$^{[ 4 ]は}、終域または目標集合を指す場合がある。${\displaystyle Y}$（つまり、すべての出力が入るセット）${\displaystyle f}$落下を強いられるか、${\displaystyle f(X)}$ドメインのイメージ${\displaystyle f}$下${\displaystyle f}$（つまり、${\displaystyle Y}$実際の出力すべてで構成される${\displaystyle f}$) 関数の像は常にその関数の終域の部分集合である。^{[ 5 ]}

2つの異なる使用例の例として、関数を考えてみましょう。${\displaystyle f(x)=x^{2}}$実解析で使用される場合（つまり、実数を入力としてその二乗を出力する関数として）は、その終域は実数の集合となります。${\displaystyle \mathbb {R} }$しかし、その像は非負の実数の集合である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$、 以来${\displaystyle x^{2}}$負にならない場合${\displaystyle x}$は実数です。この関数では、「範囲」を値域という意味で使用すると、それは${\displaystyle \mathbb {\displaystyle \mathbb {R} ^{}} }$; 「範囲」を画像という意味で使用する場合、それは$\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$。

関数によっては、像と終域が一致するものがあり、このような関数は全射または上射と呼ばれます。例えば、関数を考えてみましょう。${\displaystyle f(x)=2x,}$実数を入力として受け取り、その2倍を出力する関数です。この関数では、終域と像はどちらも実数の集合であるため、「値域」という言葉は明確です。

関数の像と終域が異なる場合でも、元の関数の像を終域とする新しい関数を一意に定義できます。たとえば、整数から整数への関数として、倍化関数は${\displaystyle f(n)=2n}$偶数のみが画像に含まれるため、全射ではありません。ただし、新しい関数$\displaystyle {\tilde {f}}(n)=2n}$定義域が整数で終域が偶数である関数は全射である。${\displaystyle {\tilde {f}},}$「範囲」という言葉は曖昧さがない。

• 全単射、単射、全射
• エッセンシャルシリーズ

• Childs, Lindsay N. (2009). Childs, Lindsay N. (編).高等代数学への具体的な入門.数学学部教科書（第3 版）. Springer. doi : 10.1007/978-0-387-74725-5 . ISBN 978-0-387-74527-5. OCLC 173498962 . 
• ダミット、デイビッド・S.、フット、リチャード・M. (2004).抽象代数学（第3 版）. ワイリー. ISBN 978-0-471-43334-7OCLC 52559229。​ 
• ハンガーフォード、トーマス・W. (1974).代数学.大学院数学テキスト. 第 73巻. Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-6101-8 . ISBN 0-387-90518-9OCLC 703268​​ 
• ルディン、ウォルター（1991）。関数解析（第2 版）。マグロウヒル。ISBN 0-07-054236-8。