絶対的な連続性

させて${\displaystyle I}$実数直線上の区間である${\displaystyle \mathbb {R} }$関数${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$絶対的に連続している${\displaystyle I}$すべての正の数に対して${\displaystyle \varepsilon }$正の数が存在する${\displaystyle \delta }$互いに素な部分区間の有限列が常に${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$の${\displaystyle I}$と${\displaystyle x_{k}<y_{k}}$^{[ 1 ]}を満たす

$\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

それから

$\sum_{k=1}^N|f(y_k)-f(x_k)|<\varepsilon .}$

絶対連続関数の集合${\displaystyle I}$と表記される${\displaystyle \operatorname {AC} (I)}$。

コンパクト区間 [ a , b ] 上の実数値関数fに関する以下の条件は同値である: ^{[ 2 ]}

1. fは絶対連続である。
2. fはほとんど至るところで導関数f ′ を持ち、その導関数はルベーグ積分可能であり、$${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt}$$[ a , b ]上のすべてのxに対して;
3. [ a , b ]上にルベーグ積分可能な関数gが存在し、$${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$$[ a , b ] 内のすべてのxに対して。

これらの同等の条件が満たされる場合、条件 3 のような任意の関数gは必然的にほとんど至るところでg = f ′を満たします。

(1)と(3)の等価性は、ルベーグによるルベーグ積分計算の基本定理として知られている。^{[ 3 ]}

尺度の観点から同等の定義については、「絶対的連続性の2つの概念間の関係」のセクションを参照してください。

• 2つの絶対連続関数の和と差もまた絶対連続である。2つの関数が（有界な）閉区間で定義されている場合、それらの積もまた絶対連続である。^{[ 4 ]}有界でない区間では、これは成り立たない可能性がある。例えば、${\displaystyle \mathbb {R} }$関数${\displaystyle f(x)=x}$完全に連続していますが、${\displaystyle f(x)^{2}}$一様連続ですらない。
• 絶対連続関数f が（有界な）閉区間で定義され、どこにもゼロが存在しないならば、 1/fは絶対連続である。^{[ 5 ]}
• （区間上の）絶対連続関数はすべて一様連続であり、したがって連続である。すべての（大域的に）リプシッツ連続関数は絶対連続である。^{[ 6 ]}
• f : [ a , b ] → Rが絶対連続であれば、弱微分可能であり、逆にf : [ a , b ] → Rが弱微分可能であれば、ほとんど至るところで絶対連続関数と一致する。^{[ 7 ]}これにより、実数直線の区間上のソボレフ空間の特徴付けが得られる。
• f : [ a , b ] → Rが絶対連続であれば、 [ a , b ] 上で有界変動である。^{[ 8 ]}
• f : [ a , b ] → Rが絶対連続である場合、それは [ a , b ]上の 2 つの単調非減少絶対連続関数の差として表すことができます。
• f : [ a , b ] → Rが絶対連続である場合、それはLuzin N特性を持ちます(つまり、任意の${\displaystyle N\subseteq [a,b]}$そのため${\displaystyle \lambda (N)=0}$次のように主張する${\displaystyle \lambda (f(N))=0}$、 どこ${\displaystyle \lambda }$はR上のルベーグ測度を表します。
• f : [ a , b ] → Rが絶対連続であるのは、それが連続であり、有界変動であり、かつルジンN性質を持つ場合に限る。この記述はバナッハ＝ザレツキーの定理としても知られている。^{[ 9 ]}
• f : I → Rが絶対連続で、g : R → Rが大域的にリプシッツ連続である場合、合成g${\displaystyle \circ }$fは絶対連続である。逆に、大域的にリプシッツ連続でないすべての関数gに対して、 gが絶対連続となるような関数fが存在する。${\displaystyle \circ }$fは絶対連続ではない。^{[ 10 ]}

以下の関数は一様連続ではあるが、絶対連続ではない。

• [0, 1]上のカントール関数（有界変動関数ではあるが、絶対連続ではない）。
• 機能:$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}}$$原点を含む有限区間上。

以下の関数は絶対連続であるが、α-ヘルダー連続ではない。

• 関数f ( x )  = x ^{β は}、任意の0 < β < α < 1に対して、区間 [0, c ]上で成り立つ。  

以下の関数は絶対連続かつα-ヘルダー連続であるが、リプシッツ連続ではない。

• 関数f ( x )  = √ xは [0, c ] 上で成り立ち、α ≤ 1/2 です。    

( X , d ) を距離空間とし、I を実数直線R内の区間とする。関数f : I → X は、任意の正の数 d に対して、 が成り立つ場合にI上で絶対連続である。${\displaystyle \varepsilon }$正の数が存在する${\displaystyle \delta }$Iの互いに素な部分区間 [ x _k , y _k ]の有限列が次の条件を満たす場合：

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }$

それから：

$\sum_kd(f(y_k),f(x_k))<ε . }$

IからXへの絶対連続関数の集合はAC( I ; X ) と表記される。

さらに一般化すると、曲線f : I → Xの空間 AC ^p ( I ; X ) は次のようになります。^{[ 11 ]}

$\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau \text{ 全ての }}[s,t]\subseteq I に対して}$

L ^p空間L ^p (I)内のあるmに対して。

• （コンパクト区間上の）絶対連続関数はすべて一様連続であり、したがって連続である。リプシッツ連続関数はすべて絶対連続である。
• f : [ a , b ] → Xが絶対連続である場合、それは[ a , b ] 上で有界変動である。
• f ∈ AC ^p ( I ; X )の場合、I内のほとんどすべての時間λに対してf の計量微分が存在し、計量微分は、次の条件を満たす最小のm ∈ L ^p ( I ; R ) です。 ^{[ 12 ]}$$\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau \text{ はすべての }}[s,t]\subseteq I に対して成り立つ。}$$

尺度​${\displaystyle \mu }$実数直線のボレル部分集合上では、ルベーグ測度に関して絶対連続である。${\displaystyle \lambda }$すべてのボレル集合に対して${\displaystyle A,}$${\displaystyle \lambda (A)=0}$暗示する${\displaystyle \mu (A)=0}$同等に、 ${\displaystyle \mu (A)>0}$暗示する${\displaystyle \lambda (A)>0}$この条件は次のように記述されます。${\displaystyle \mu \ll \lambda .}$私たちは言う${\displaystyle \mu }$支配されているのは${\displaystyle \lambda .}$

ほとんどの応用例では、実数直線上の測度が、他のどの測度に関して絶対連続であるかを指定せずに、単に絶対連続であると言われる場合、それはルベーグ測度に関する絶対連続性を意味します。

同じ原理は、ボレル部分集合上の測度にも当てはまります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2.}$

有限測度に関する以下の条件${\displaystyle \mu }$実数直線のボレル部分集合は同等である: ^{[ 13 ]}

1. ${\displaystyle \mu }$絶対的に連続的である。
2. すべての正の数に対して${\displaystyle \varepsilon }$正の数があります${\displaystyle \delta >0}$そのため${\displaystyle \mu (A)<\varepsilon }$すべてのボレルセットに対応${\displaystyle A}$ルベーグ尺度が以下${\displaystyle \delta$ ;}
3. ルベーグ積分可能な関数が存在する${\displaystyle g}$実数直線上で、以下の条件を満たすもの：$${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}g\,d\lambda }$$すべてのボレル部分集合について${\displaystyle A}$実際のラインの。

関数の観点から同等の定義については、「絶対連続性の2つの概念間の関係」のセクションを参照してください。

（３）を満たすその他の関数は、${\displaystyle g}$ほぼあらゆる場所で。このような関数は、絶対連続測度のラドン・ニコディム微分、または密度と呼ばれます。${\displaystyle \mu .}$

（１）、（２）、（３）の等価性は、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$すべての人々のために${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

したがって、絶対連続的な尺度は${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$それらはまさに密度を持つものです。特殊なケースとして、絶対連続確率測度はまさに確率密度関数を持つものです。

もし${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$これらは同じ測定可能な空間における2つの測定値である。${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),}$${\displaystyle \mu }$と言われているに関して絶対連続${\displaystyle \nu }$もし${\displaystyle \mu (A)=0}$各セットごとに${\displaystyle A}$そのために${\displaystyle \nu (A)=0.}$^{[ 14 ]}これは次のように書かれています。${\displaystyle \mu \ll \nu }$つまり： $${\displaystyle \mu \ll \nu \qquad {\text{ if and only if }}\qquad {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}},\quad (\nu (A)=0\ {\text{ implies }}\ \mu (A)=0).}$$

いつ${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$それから${\displaystyle \nu }$と言われている圧倒的に${\displaystyle \mu .}$

尺度の絶対連続性は反射的かつ推移的であるが、反対称ではないため、半順序ではなく前順序である。代わりに、${\displaystyle \mu \ll \nu }$そして${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$対策${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$これらは同値であると言われます。したがって、絶対連続性は、このような同値類の半順序を誘導します。

もし${\displaystyle \mu }$符号付きまたは複素数尺度である場合、${\displaystyle \mu }$に関して絶対連続である${\displaystyle \nu }$そのバリエーション${\displaystyle |\mu |}$満たす${\displaystyle |\mu |\ll \nu$ ;} 同様に、すべてのセット${\displaystyle A}$そのために${\displaystyle \nu (A)=0}$は${\displaystyle \mu }$- null。

ラドン・ニコディムの定理^{[ 15 ]}によれば、${\displaystyle \mu }$に関して絶対連続である${\displaystyle \nu ,}$そして両方の尺度がσ有限である場合、${\displaystyle \mu }$密度、または「ラドン・ニコディム微分」は、${\displaystyle \nu ,}$つまり、${\displaystyle \nu }$測定可能な関数${\displaystyle f}$値を取る${\displaystyle [0,+\infty ),}$で示される${\displaystyle f=d\mu /d\nu ,}$任意の${\displaystyle \nu }$測定可能な集合${\displaystyle A}$我々は持っています： $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}f\,d\nu .}$$

ルベーグの分解定理^{[ 16 ]}によれば、すべてのσ-有限測度は、絶対連続測度と別のσ-有限測度に関する特異測度の和に分解できます。絶対連続ではない測度の例については、特異測度を参照してください。