定数関数

数学において、定数関数とは、入力値に関わらず（出力）値が常に同じである関数のことである。

実数値引数の実数値関数として、定数関数は一般的にy ( x ) = cまたは単にy = cの形をとります。たとえば、関数y ( x ) = 4は、出力値がc = 4となる特定の定数関数です。この関数の定義域は、すべての実数の集合です。この関数の像は、単一要素集合{4}です。独立変数x は関数式の右辺には現れないため、その値は「空代入」されます。つまり、y (0) = 4、y (−2.7) = 4、y (π) = 4などとなります。入力されたxの値に関係なく、出力は4です。^{[ 1 ]}

定数関数y = cのグラフは、平面上の点(0, c )を通る水平線です。^{[ 2 ]} 1 変数xの多項式の文脈では、定数関数は、次数が 0 の多項式であり、一般形がf ( x ) = cでc がゼロでないため、非ゼロ定数関数と呼ばれます。この関数はx軸との交点を持たないため、根 (ゼロ)を持ちません。一方、多項式f ( x ) = 0は恒等的にゼロの関数です。これは (自明な) 定数関数であり、すべてのxが根です。そのグラフは平面上のx軸です。 ^{[ 3 ]}そのグラフはy軸に関して対称であるため、定数関数は偶関数です。^{[ 4 ]}

定義される文脈において、関数の導関数は、入力値の変化に対する関数値の変化率の尺度である。定数関数は変化しないため、その導関数は0である。^{[ 5 ]}これはしばしば次のように表記される。${\displaystyle (x\mapsto c)'=0}$逆もまた真である。すなわち、すべての実数xに対してy ′( x ) = 0であれば、yは定数関数である。^{[ 6 ]}例えば、定数関数が与えられた場合${\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}$yの導関数は恒等的にゼロとなる関数である。${\displaystyle y'(x)=\left(x\mapsto -{\sqrt {2}}\right)'=0}$。

順序付けられた集合間の関数については、定数関数は順序保存性と順序反転性の両方を持ちます。逆に、f が順序保存性と順序反転性の両方を持ち、fの定義域が格子である場合、f は定数でなければなりません。

• 定義域と値域が同じ集合Xである定数関数はすべて、X上の完全変換モノイドの左零点であり、これはそれが冪等関数でもあることを意味します。
• 傾斜または勾配はゼロです。
• 位相空間間の定数関数はすべて連続である。
• 定数関数は、集合の圏における終対象である一点集合を因数分解する。この観察は、F. ウィリアム・ローヴェアによる集合論の公理化、集合の圏の初等理論(ETCS) にとって重要なものである。^{[ 7 ]}
• 任意の空でないXに対して、すべての集合Yは定数関数の集合と同型である。${\displaystyle X\to Y}$任意のXとYの各要素yに対して、一意の関数が存在する。${\displaystyle {\チルダ {y}}:X\to Y}$そのため${\displaystyle {\チルダ {y}}(x)=y}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$逆に、関数が${\displaystyle f:X\to Y}$満たす${\displaystyle f(x)=f(x')}$すべての人々のために${\displaystyle x,x'\in X}$、${\displaystyle f}$定義上、定数関数である。
  • その結果として、一点集合は集合の圏における生成元となる。
  • すべてのセット${\displaystyle X}$は関数集合と正準的に同型である${\displaystyle X^{1}}$またはホームセット${\displaystyle \operatorname {hom} (1,X)}$集合のカテゴリーでは、1 は一点集合です。このため、また集合のカテゴリーにおけるデカルト積と hom の間の随伴により (したがって、2 変数の関数と、別の (単一の) 変数の関数で値をとる 1 変数の関数の間には標準的な同型性があります)、${\displaystyle \operatorname {hom} (X\times Y,Z)\cong \operatorname {hom} (X(\operatorname {hom} (Y,Z))}$集合の圏は、集合の直積をテンソル積、一点集合をテンソル単位とする閉じたモノイド圏である。同型写像では、${\displaystyle \lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho }$Xにおける自然数では、左および右のユニターは射影である。${\displaystyle p_{1}}$そして${\displaystyle p_{2}}$順序対${\displaystyle (*,x)}$そして${\displaystyle (x,*)}$それぞれ要素に対して${\displaystyle x}$、 どこ${\displaystyle *}$は、一点集合における唯一の点です。

連結集合上の関数が局所的に定数であるのは、その関数が定数である場合に限る。

• Herrlich、Horst および Strecker、George E.、『圏論』、Heldermann Verlag (2007)。

• ワイススタイン、エリック・W. 「定数関数」 . MathWorld .
• 「定数関数」。PlanetMath 。