連続引数を持つ関数に適用されるフーリエ変換には、以下のようなものがある。
コンピュータ、数論、代数学での使用においては、離散的な引数（例えば、一連の離散的なサンプルの関数）の方が適切な場合が多く、変換によって処理されます（上記の連続的な場合と同様）。
- 離散時間フーリエ変換(DTFT) ：サンプル値を使用してディラックの櫛を変調することにより、離散入力関数から構築された「連続」関数のフーリエ変換に相当します。サンプル値が実数直線上の関数 ƒ( x ) をサンプリングすることによって得られる場合、DTFT はƒのフーリエ変換の周期的な総和に相当します。DTFT の出力は常に周期的(周期的) です。別の観点としては、DTFT は、1 サイクルの長さで ある有界 (または有限) の周波数領域への変換であると言えます。
- 離散フーリエ変換（DFT）：
- 入力シーケンスが周期的である場合、DTFT の出力もディラックの櫛形関数であり、入力シーケンスの 1 サイクルの DFT として計算できるフーリエ級数の係数によって変調されます[ 1 ]。DFT の 1 サイクルの離散値の数は、入力シーケンスの 1 サイクルの離散値の数と同じです。
- 入力シーケンスの非ゼロ部分が有限の期間を持つ場合、DTFTは連続かつ有限値となります。しかし、解析対象部分を再構成／表現するには、その値の離散的な部分集合で十分です。同じ離散集合は、セグメントの期間を周期関数の1サイクルとみなしてDFTを計算することによって得られます。
- 離散正弦変換と離散余弦変換： 入力シーケンスが原点の周りで奇対称または偶対称である場合、DTFTは離散正弦変換（DST）または離散余弦変換（DCT）に縮小されます。
- 離散チェビシェフ変換（第1種チェビシェフ多項式の「根」グリッドと「極値」グリッド上）。この変換は、グリッド点の値からチェビシェフ級数の係数へ迅速かつ効率的に変換できるため、微分方程式を解くためのスペクトル法の分野で非常に重要です。
- 一般化DFT（GDFT）は、DFTおよび定数モジュラス変換の一般化であり、位相関数は整数値および実数値の傾きを持つ線形、あるいは非線形位相であってもよく、自己相関や相互相関などのさまざまな指標の最適な設計に柔軟性をもたらします。
- 離散空間フーリエ変換（DSFT）は、離散時間フーリエ変換（DTFT）を1次元信号から2次元信号へと一般化したものです。最も一般的な応用分野が画像処理であり、入力関数の引数が等間隔の空間座標サンプルであるため、「離散時間」ではなく「離散空間」と呼ばれています。
DSFTの出力は、 両方の変数に関して周期的である。 - Z変換は、DTFTを複素平面全体に一般化したものである。
- 修正離散コサイン変換（MDCT）
- 離散ハートレー変換（DHT）
- また、離散化されたSTFT（上記参照）も含まれる。
- アダマール変換（ウォルシュ関数）。
- 有限群上のフーリエ変換。
- 離散フーリエ変換（一般）
これらの変換の利用は、高速フーリエ変換（FFT）に基づく効率的なアルゴリズムの存在によって大幅に容易になる。ナイキスト・シャノン標本化定理は、このような離散変換の出力結果を理解する上で極めて重要である。
注記
- ↑フーリエ級数は
ここでTはサンプル間の間隔である。
参考文献
- AD ポリャニン、AV マンジロフ著、『積分方程式ハンドブック』、CRC Press、ボカラトン、1998年。ISBN 0-8493-2876-4
- EqWorld（数学方程式の世界）にある積分変換表。
- AN Akansu および H. Agirman-Tosun、「非線形位相を伴う一般化離散フーリエ変換」、IEEE Transactions on Signal Processing、vol. 58、no. 9、pp. 4547-4556、2010 年 9 月。
