一様分布U (–1,1) に従う確率変数の特性関数。この関数は、原点を中心として対称な確率変数に対応するため、実数値をとります。ただし、特性関数は一般に複素数値をとる場合もあります。確率論 と統計学 において、任意の実数値 確率変数 の特性関数は 、その確率分布を 完全に定義します。確率変数が確率密度関数 を持つ場合、特性関数は確率密度関数のフーリエ変換（符号反転）となります。したがって、特性関数は、 確率密度関数 や累積分布関数 を直接扱う場合と比較して、解析結果を得るための別の方法を提供します。特に、確率変数の重み付き和によって定義される分布の特性関数については、非常に単純な結果が得られます。
単変量分布 に加えて、ベクトル値または行列値の確率変数に対しても特性関数を定義することができ、さらに一般的なケースにも拡張することができる。
特性関数は、モーメント母関数 とは異なり、実数値引数の関数として扱う場合、常に存在します。分布の特性関数の挙動と、モーメントの存在や密度関数の存在といった分布の性質との間には関係があります。
導入 特性関数は、確率変数 X を記述する方法です。特性関数は 、
φ X （ t ） = E [ e 私 t X ] 、 {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right],} t の関数である は、 X の確率分布の挙動と特性を決定します。これは、確率密度関数 （存在する場合）または累積分布関数 と同等であり、これらの関数のいずれかを知っていれば他の関数を計算できますが、確率変数の特性について異なる洞察を提供します。
特定のケースでは、これらの同等の関数のいずれかを、単純な標準関数で表現する方が容易な場合がある。
確率変数が密度関数 を持つ場合、特性関数はそのフーリエ双対 である。つまり、それぞれが他方のフーリエ変換である。確率変数が モーメント母関数を持つ場合 M X （ t ） {\displaystyle M_{X}(t)}
φ X （ − 私 t ） = M X （ t ） 。 {\displaystyle \varphi _{X}(-it)=M_{X}(t).} ただし、分布の特性関数は、モーメント母関数がすべての 実数値 t に対して適切に定義されていない場合でも、すべての実数値t に対して適切に定義されることに注意してください。
特性関数を用いたアプローチは、独立な確率変数の線形結合の解析において特に有用である。中心極限定理 の古典的な証明では、特性関数とレヴィの連続性定理 が用いられている。また、確率変数の分解可能性 の理論も重要な応用例である。
特性関数の概念は、多変量確率変数やより複雑な確率要素 にも一般化されます。特性関数の引数は、常に確率変数X が値をとる空間の 連続双対 空間に属します。一般的なケースにおける定義を以下に示します。
Xが k 次元ランダムベクトル である場合、 t ∈ R k φ X （ t ） = E [ exp （ 私 t T X ） ] 、 {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp(it^{T}\!X)\right],} t T t^T 転置 です t {\textstyle t} Xが k × p ランダム行列 である場合、 t ∈ R k × p φ X （ t ） = E [ exp （ 私 tr （ t T X ） ） ] 、 {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp \left(i\operatorname {tr} (t^{T}\!X)\right)\right],} tr （ ⋅ ） {\textstyle \operatorname {tr} (\cdot )} トレース 演算子は、If X is a complex random variable , then for t ∈ C [ 7] φ X ( t ) = E [ exp ( i Re ( t ¯ X ) ) ] , {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp \left(i\operatorname {Re} \left({\overline {t}}X\right)\right)\right],} t ¯ {\textstyle {\overline {t}}} complex conjugate of t {\textstyle t} Re ( z ) {\textstyle \operatorname {Re} (z)} real part of the complex number z {\textstyle z} If X is a k -dimensional complex random vector , then for t ∈ C k [ 8] φ X ( t ) = E [ exp ( i Re ( t ∗ X ) ) ] , {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp(i\operatorname {Re} (t^{*}\!X))\right],} t ∗ {\textstyle t^{*}} conjugate transpose of the vector t {\textstyle t} If X (s )stochastic process , then for all functions t (s )∫ R t ( s ) X ( s ) d s {\textstyle \int _{\mathbb {R} }t(s)X(s)\,\mathrm {d} s} X φ X ( t ) = E [ exp ( i ∫ R t ( s ) X ( s ) d s ) ] . {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp \left(i\int _{\mathbf {R} }t(s)X(s)\,ds\right)\right].}
Examples Oberhettinger (1973) provides extensive tables of characteristic functions.
Properties The characteristic function of a real-valued random variable always exists, since it is an integral of a bounded continuous function over a space whose measure is finite. A characteristic function is uniformly continuous on the entire space. ゼロ付近の領域ではゼロにならない。φ ( 0) = 1 これは有界である: | φ ( t ) | ≤ 1 これはエルミート関数 です。φ ( − t ) = φ ( t )偶関数 です。 確率分布 と特性関数の間には全単射 が存在する。R k {\displaystyle \mathbf {R} ^{k}} k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } X 1 X 2に対して R k {\displaystyle \mathbf {R} ^{k}} φ X 1 = φ X 2 {\displaystyle \varphi _{X_{1}}=\varphi _{X_{2}}} 11 ] 確率変数X が k 次までのモーメント を持つ場合、特性関数φ X k 回連続微分可能である。この場合E [ X k ] = 私 − k φ X （ k ） （ 0 ） 。 {\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=i^{-k}\varphi _{X}^{(k)}(0).} 特性関数φ X が ゼロでk 階微分を持つ場合、確率変数X は k が偶数の場合はk までのすべてのモーメントを持ち、 k が奇数の場合はk – 1 までしかモーメントを持ちません。φ X （ k ） （ 0 ） = 私 k E [ X k ] {\displaystyle \varphi _{X}^{(k)}(0)=i^{k}\operatorname {E} [X^{k}]} X 1 , ..., X n が a 1 , ..., a n X i φ 1 1 X 1 + ⋯ + 1 n X n （ t ） = φ X 1 （ 1 1 t ） ⋯ φ X n （ 1 n t ） 。 {\displaystyle \varphi _{a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\cdots \varphi _{X_{n}}(a_{n}t).} 具体的な例としては、2 つの独立した確率変数X 1 X 2 φ X 1 + X 2 （ t ） = φ X 1 （ t ） ⋅ φ X 2 （ t ） 。 {\displaystyle \varphi _{X_{1}+X_{2}}(t)=\varphi _{X_{1}}(t)\cdot \varphi _{X_{2}}(t).} させてX {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} φ X {\displaystyle \varphi _{X}} φ Y {\displaystyle \varphi _{Y}} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} φ X 、 Y （ s 、 t ） = φ X （ s ） φ Y （ t ） すべての人々のために （ s 、 t ） ∈ R 2 {\displaystyle \varphi _{X,Y}(s,t)=\varphi _{X}(s)\varphi _{Y}(t)\quad {\text{ for all }}\quad (s,t)\in \mathbb {R} ^{2}} 特性関数の裾野の挙動が、対応する密度関数の滑らかさを決定する。 確率変数Y = 1 X + b {\displaystyle Y=aX+b} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} φ Y （ t ） = e 私 t b φ X （ 1 t ） {\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{itb}\varphi _{X}(at)} X {\displaystyle X} Y = A X + B {\displaystyle Y=AX+B} A は定数行列、Bは 定数ベクトルである）φ Y （ t ） = e 私 t ⊤ B φ X （ A ⊤ t ） {\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{it^{\top }B}\varphi _{X}(A^{\top }t)} 13 ]
連続 確率分布と特性関数の間の上記の全単射は、逐次的に連続で ある。つまり、分布関数の列F j ( x )が何らかの分布F ( x )φ j t )φ ( t )は法則F の特性関数に対応する。より厳密には、これは次のように表される。
レヴィの連続性定理 ：n 変数の確率変数の列X j が 分布収束して 確率変数X になるのは、列φ X j が φに点ごとに収束する場合に限る。ここで φは X の特性関数である。この定理は、大数の法則 と中心極限定理 を証明するために使用できます。
累積分布関数と特性関数は一対一に対応し ているため、一方の関数が分かっていればもう一方の関数を求めることができます。特性関数の定義式を用いることで、分布関数F （または密度関数f ）が分かっている場合に φ を 計算することができます。一方、特性関数φ が 分かっていて、対応する分布関数を求めたい場合は、以下のいずれかの逆定理 を用いることができます。
定理 。確率変数X の特性関数φ X が積分可能であれば 、F X は X は 確率密度関数 を持つ。単変量の場合 (すなわち、 X がスカラー値の場合) は、密度関数は次のように与えられる。 f X （ x ） = F X ′ （ x ） = 1 2 π ∫ R e − 私 t x φ X （ t ） d t 。 {\displaystyle f_{X}(x)=F_{X}'(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt.}
多変量の場合、 f X （ x ） = 1 （ 2 π ） n ∫ R n e − 私 （ t ⋅ x ） φ X （ t ） λ （ d t ） {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{-i(t\cdot x)}\varphi _{X}(t)\lambda (dt)}
どこt ⋅ x {\textstyle t\cdot x} はドット積 です。
密度関数は、分布μ X のルベーグ測度 λ に関するラドン・ニコディム微分 である。 f X （ x ） = d μ X d λ （ x ） 。 {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {d\mu _{X}}{d\lambda }}(x).}
Theorem (Lévy) .[ note 1] φ X FX a < b {x | a < x < b } is a continuity set of μ X FX a and b ), then
If X is scalar: F X ( b ) − F X ( a ) = 1 2 π lim T → ∞ ∫ − T + T e − i t a − e − i t b i t φ X ( t ) d t . {\displaystyle F_{X}(b)-F_{X}(a)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{+T}{\frac {e^{-ita}-e^{-itb}}{it}}\,\varphi _{X}(t)\,dt.} F ( x + h ) − F ( x − h ) 2 h = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ sin h t h t e − i t x φ X ( t ) d t . {\displaystyle {\frac {F(x+h)-F(x-h)}{2h}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ht}{ht}}e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt.} F ( b ) {\displaystyle F(b)} a {\displaystyle a} F ( a ) = 0. {\displaystyle F(a)=0.} a → − ∞ {\displaystyle a\to -\infty } F ( b ) {\displaystyle F(b)} If X is a vector random variable: μ X ( { a < x < b } ) = 1 ( 2 π ) n lim T 1 → ∞ ⋯ lim T n → ∞ ∫ − T 1 ≤ t 1 ≤ T 1 ⋯ ∫ − T n ≤ t n ≤ T n ∏ k = 1 n ( e − i t k a k − e − i t k b k i t k ) φ X ( t ) λ ( d t 1 × ⋯ × d t n ) {\displaystyle \mu _{X}{\big (}\{a<x<b\}{\big )}={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\lim _{T_{1}\to \infty }\cdots \lim _{T_{n}\to \infty }\int \limits _{-T_{1}\leq t_{1}\leq T_{1}}\cdots \int \limits _{-T_{n}\leq t_{n}\leq T_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {e^{-it_{k}a_{k}}-e^{-it_{k}b_{k}}}{it_{k}}}\right)\varphi _{X}(t)\lambda (dt_{1}\times \cdots \times dt_{n})} Theorem . If a is (possibly) an atom of X (in the univariate case this means a point of discontinuity of FX
If X is scalar: F X ( a ) − F X ( a − 0 ) = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − T + T e − i t a φ X ( t ) d t {\displaystyle F_{X}(a)-F_{X}(a-0)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{+T}e^{-ita}\varphi _{X}(t)\,dt} If X is a vector random variable:μ X ( { a } ) = lim T 1 → ∞ ⋯ lim T n → ∞ ( ∏ k = 1 n 1 2 T k ) ∫ [ − T 1 , T 1 ] × ⋯ × [ − T n , T n ] e − i ( t ⋅ a ) φ X ( t ) λ ( d t ) {\displaystyle \mu _{X}(\{a\})=\lim _{T_{1}\to \infty }\cdots \lim _{T_{n}\to \infty }\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{2T_{k}}}\right)\int \limits _{[-T_{1},T_{1}]\times \dots \times [-T_{n},T_{n}]}e^{-i(t\cdot a)}\varphi _{X}(t)\lambda (dt)} Theorem (Gil-Pelaez) . For a univariate random variable X , if x is a continuity point of FX
F X ( x ) = 1 2 − 1 π ∫ 0 ∞ Im [ e − i t x φ X ( t ) ] t d t {\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {Im} [e^{-itx}\varphi _{X}(t)]}{t}}\,dt} where the imaginary part of a complex number z {\displaystyle z} I m ( z ) = ( z − z ∗ ) / 2 i {\displaystyle \mathrm {Im} (z)=(z-z^{*})/2i}
And its density function is:
f X ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ Re [ e − i t x φ X ( t ) ] d t {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\operatorname {Re} [e^{-itx}\varphi _{X}(t)]\,dt} The integral may be not Lebesgue-integrable ; for example, when X is the discrete random variable that is always 0, it becomes the Dirichlet integral .
Inversion formulas for multivariate distributions are available.
Criteria for characteristic functions The set of all characteristic functions is closed under certain operations:
A convex linear combination ∑ n a n φ n ( t ) {\textstyle \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}(t)} a n ≥ 0 , ∑ n a n = 1 {\textstyle a_{n}\geq 0,\ \sum _{n}a_{n}=1} The product of a finite number of characteristic functions is also a characteristic function. The same holds for an infinite product provided that it converges to a function continuous at the origin. If φ is a characteristic function and α is a real number, then φ ¯ {\displaystyle {\bar {\varphi }}} Re( φ )、| φ | 2 、およびφ ( αt ) 極限がF (−∞) = 0 、F (+∞) = 1 である任意の非減少càdlàg 関数F は、ある確率変数の 累積分布関数 に対応することはよく知られています。また、与えられた関数φ が ある確率変数の特性関数である可能性がある場合の同様の単純な基準を見つけることにも関心があります。ここで中心となる結果はBochner の定理 ですが、その有用性は限られています。なぜなら、定理の主な条件である非負定値性は 検証するのが非常に難しいためです。Khinchine の定理、Mathias の定理、Cramér の定理など、他の定理も存在しますが、それらの適用も同様に困難です。一方、Pólyaの定理は、十分条件ではあるが必須条件ではない非常に単純な凸性条件を提供します。この条件を満たす特性関数は Pólya 型と呼ばれます。
ボフナーの定理 φ : R n C φ が 正定値 であり、原点で連続であり、 φ (0) = 1
ヒンチンの基準 。複素数値で絶対連続な関数φ （ φ (0) = 1
φ （ t ） = ∫ R g （ t + θ ） g （ θ ） ¯ d θ 。 {\displaystyle \varphi (t)=\int _{\mathbf {R} }g(t+\theta ){\overline {g(\theta )}}\,d\theta .} マティアス定理 。実数値で偶関数、連続で絶対積分可能な関数φ （ φ (0) = 1
（ − 1 ） n （ ∫ R φ （ p t ） e − t 2 / 2 H 2 n （ t ） d t ） ≥ 0 {\displaystyle (-1)^{n}\left(\int _{\mathbf {R} }\varphi (pt)e^{-t^{2}/2}H_{2n}(t)\,dt\right)\geq 0} n = 0,1,2,...p > 0H 2 n は次数2 n エルミート多項式 を表します。
ポリアの定理を用いると、有限区間では特性関数が一致するが、それ以外の区間では異なる2つの確率変数の例を構築することができる。 ポリアの定理 。もしφ {\displaystyle \varphi }
φ （ 0 ） = 1 {\displaystyle \varphi (0)=1} φ {\displaystyle \varphi } 凸 であるt > 0 {\displaystyle t>0} φ （ ∞ ） = 0 {\displaystyle \varphi (\infty )=0} このとき、φ ( t )
用途 連続性の定理 により、特性関数は中心極限定理 の最も頻繁に見られる証明で使用されます。特性関数を用いた計算を行う際の主な手法は、その関数が特定の分布の特性関数であることを認識することです。
分布の基本的な操作 特性関数は、独立な 確率変数の線形関数を扱う際に特に有用です。たとえば、X 1 X 2 X n
S n = ∑ 私 = 1 n 1 私 X 私 、 {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},\,\!} ここでa i は定数であり、 S n
φ S n （ t ） = φ X 1 （ 1 1 t ） φ X 2 （ 1 2 t ） ⋯ φ X n （ 1 n t ） {\displaystyle \varphi _{S_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\varphi _{X_{2}}(a_{2}t)\cdots \varphi _{X_{n}}(a_{n}t)\,\!} 特に、φ X+Y ( t ) = φ X ( t ) φ Y ( t )
φ X + Y （ t ） = E [ e 私 t （ X + Y ） ] = E [ e 私 t X e 私 t Y ] = E [ e 私 t X ] E [ e 私 t Y ] = φ X （ t ） φ Y （ t ） {\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left[e^{it(X+Y)}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}e^{itY}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right]\operatorname {E} \left[e^{itY}\right]=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)} 第3式と第4式の等式を確立するためには、X とY が独立していることが必要である。
同一分布の確率変数に関するもう1つの興味深い特殊なケースは、a i = 1 / n S n は標本平均です。この場合、平均をXと書きます。
φ X ¯ （ t ） = φ X （ t n ） n {\displaystyle \varphi _{\overline {X}}(t)=\varphi _{X}\!\left({\tfrac {t}{n}}\right)^{n}}
瞬間 特性関数は、確率変数のモーメント を求めるためにも使用できます。n次モーメントが 存在する場合、特性関数をn回微分することができ ます 。
E [ X n ] = 私 − n [ d n d t n φ X （ t ） ] t = 0 = 私 − n φ X （ n ） （ 0 ） 、 {\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=i^{-n}\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=i^{-n}\varphi _{X}^{(n)}(0),\!}
これは、ディラックのデルタ関数 の導関数を用いて正式に記述することができる。f X （ x ） = ∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n n ! δ （ n ） （ x ） E [ X n ] {\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\delta ^{(n)}(x)\operatorname {E} [X^{n}]} これにより、モーメント問題 の正式な解が得られます。たとえば、X が 標準コーシー分布 に従うとします。すると、 φ X ( t ) = e −| t | t = 0 で微分 できないため、コーシー分布には期待値がないことがわかります。また、 n 個 の独立した 観測値の標本平均X の特性関数は、前のセクションの結果を使用して、特性関数φ X ( t ) = ( e −| t |/ n ) n = e −| t |
さらに例として、Xが ガウス分布 に従うと仮定します。X ～ N （ μ 、 σ 2 ） {\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})} φ X （ t ） = e μ 私 t − 1 2 σ 2 t 2 {\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{\mu it-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}
E [ X ] = 私 − 1 [ d d t φ X （ t ） ] t = 0 = 私 − 1 [ （ 私 μ − σ 2 t ） φ X （ t ） ] t = 0 = μ {\displaystyle \operatorname {E} \left[X\right]=i^{-1}\left[{\frac {d}{dt}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=i^{-1}\left[(i\mu -\sigma ^{2}t)\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=\mu } 同様の計算によるとE [ X 2 ] = μ 2 + σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]=\mu ^{2}+\sigma ^{2}} E [ X 2 ] {\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]}
特性関数の対数はキュムラント生成関数であり、 キュムラントを 求めるのに役立ちます。一方、キュムラント生成関数をモーメント生成関数 の対数と定義し、特性関数の対数を第2 キュムラント生成関数と呼ぶ人もいます。
データ分析 特性関数は、データのサンプルに確率分布を適合させる手順の一部として使用できます。他の可能性と比較してこれが実用的な選択肢となるケースには、密度の閉形式表現が利用できないため最尤推定の実装が困難になる 安定分布 の適合が含まれます。理論的な特性関数をデータから計算された経験的特性関数 に一致させる推定手順が利用可能です。Paulson et al. (1975) と Heathcote (1977) は、このような推定手順の理論的背景を提供しています。さらに、Yu (2004) 、尤度手順が非現実的な時系列 モデルに適合させるための経験的特性関数の応用について説明しています。経験的特性関数は、Ansari et al. (2020) と Li et al. (2020) [ 24 ] によって、敵対的生成ネットワークの トレーニングにも使用されています。
例 尺度パラメータθと形状パラメータ k を持つガンマ分布の 特性関数は次のようになる。
（ 1 − θ 私 t ） − k 。 {\displaystyle (1-\theta it)^{-k}.} ここで、
X ～ Γ （ k 1 、 θ ） そして Y ～ Γ （ k 2 、 θ ） {\displaystyle X~\sim \Gamma (k_{1},\theta ){\mbox{ and }}Y\sim \Gamma (k_{2},\theta )} X とY は互いに独立しており、X + Y
φ X （ t ） = （ 1 − θ 私 t ） − k 1 、 φ Y （ t ） = （ 1 − θ 私 t ） − k 2 {\displaystyle \varphi _{X}(t)=(1-\theta it)^{-k_{1}},\,\qquad \varphi _{Y}(t)=(1-\theta it)^{-k_{2}}} これは、独立性と特性関数の基本的性質により、
φ X + Y （ t ） = φ X （ t ） φ Y （ t ） = （ 1 − θ 私 t ） − k 1 （ 1 − θ 私 t ） − k 2 = （ 1 − θ 私 t ） − （ k 1 + k 2 ） 。 {\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)=(1-\theta it)^{-k_{1}}(1-\theta it)^{-k_{2}}=\left(1-\theta it\right)^{-(k_{1}+k_{2})}.} これはガンマ分布の尺度パラメータθ と形状パラメータk1 + k2 付ける 。
X + Y ～ Γ （ k 1 + k 2 、 θ ） {\displaystyle X+Y\sim \Gamma (k_{1}+k_{2},\theta )} 結果は、同じ尺度パラメータを持つn 個 の独立したガンマ分布に従う確率変数に拡張でき、次のようになります。
∀ 私 ∈ { 1 、 … 、 n } : X 私 ～ Γ （ k 私 、 θ ） ⇒ ∑ 私 = 1 n X 私 ～ Γ （ ∑ 私 = 1 n k 私 、 θ ） 。 {\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta )\qquad \Rightarrow \qquad \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \right).}
関連する概念としては、モーメント母関数 と確率母関数 がある。特性関数はすべての確率分布に存在するが、モーメント母関数には存在しない。
特性関数はフーリエ変換と密接に関係しています。確率密度関数 p ( x )p ( x ) の連続フーリエ変換 の複素共役 です(通常の慣例による。連続フーリエ変換 - その他の慣例を 参照)。
φ X （ t ） = ⟨ e 私 t X ⟩ = ∫ R e 私 t x p （ x ） d x = （ ∫ R e − 私 t x p （ x ） d x ） ¯ = P （ t ） ¯ 、 {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\langle e^{itX}\rangle =\int _{\mathbf {R} }e^{itx}p(x)\,dx={\overline {\left(\int _{\mathbf {R} }e^{-itx}p(x)\,dx\right)}}={\overline {P(t)}},} ここで、 P ( t )p ( x )の 連続フーリエ変換を 表す。同様に、p ( x )は 逆 φX ( t ) から復元できる。
p （ x ） = 1 2 π ∫ R e 私 t x P （ t ） d t = 1 2 π ∫ R e 私 t x φ X （ t ） ¯ d t 。 {\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {R} }e^{itx}P(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {R} }e^{itx}{\overline {\varphi _{X}(t)}}\,dt.} 実際、確率変数が密度関数を持たない場合でも、特性関数は、その確率変数に対応する測度のフーリエ変換とみなすことができる。
もう一つの関連概念は、確率分布を再生核ヒルベルト空間 の要素として表現するものであり、これは分布の核埋め込み によって実現される。この枠組みは、特定の核関数 の選択の下での特性関数の一般化と見なすことができる。
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![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220ee899de62e4b930fbe4ac3a92c2e9544b2b8d)
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right]=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}\,dF_{X}(x)=\int _{0}^{1}e^{itQ_{X}(p)}\,dp=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}f_{X}(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c2258442a7cccec3345e182ab5e1c4affd3e38)
![{\displaystyle \varphi _{X}=\left[e^{-2\pi itX}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6cc9c8ab2be1fb0b11b0dcc7c5d84a6e13e1e34)
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp(it^{T}\!X)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84eb637716a5c31276fa219f1ac8ddd362f1ed8c)
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp \left(i\operatorname {tr} (t^{T}\!X)\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dcc3bfc72bffab503642e3de0a980d1bdcf0ef5)
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp \left(i\operatorname {Re} \left({\overline {t}}X\right)\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb9e95c9a7bc00d9a83d8435ef43e7155226eb1)
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp(i\operatorname {Re} (t^{*}\!X))\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8131988c72ceebb2b013cf2ef6132f49bf77b3f0)
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp \left(i\int _{\mathbf {R} }t(s)X(s)\,ds\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c2b2b074883ab9f3a62c39b9bafa0f5c5fe690)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=i^{-k}\varphi _{X}^{(k)}(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4d9670c5a208c90e576d3dd9e2a67d9f62b3ec)
![{\displaystyle \varphi _{X}^{(k)}(0)=i^{k}\operatorname {E} [X^{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/278511590ecd7122a91abb28362f99a9783231c7)
![{\displaystyle \mu _{X}(\{a\})=\lim _{T_{1}\to \infty }\cdots \lim _{T_{n}\to \infty }\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{2T_{k}}}\right)\int \limits _{[-T_{1},T_{1}]\times \dots \times [-T_{n},T_{n}]}e^{-i(t\cdot a)}\varphi _{X}(t)\lambda (dt)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6091d2bd8a86072cd6e9c4eba20d2d26588d6a9)
![{\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {Im} [e^{-itx}\varphi _{X}(t)]}{t}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb024609abbc854a4a74dfaaaaafbe19bf76879)
![{\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\operatorname {Re} [e^{-itx}\varphi _{X}(t)]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f64a523e775dc962adb40df5614c84ee2d58856)
![{\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left[e^{it(X+Y)}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}e^{itY}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right]\operatorname {E} \left[e^{itY}\right]=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2f8a4335407b6acbee44bfd54d8c5c2e59b1d5)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=i^{-n}\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=i^{-n}\varphi _{X}^{(n)}(0),\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b7e821b95332b9aa377186801428897738295f)
![{\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\delta ^{(n)}(x)\operatorname {E} [X^{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845901835ce231814bc4613de68f01c1499f85eb)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[X\right]=i^{-1}\left[{\frac {d}{dt}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=i^{-1}\left[(i\mu -\sigma ^{2}t)\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41462bb40acf2fc9e7a4fd41a5c6fd84b369be1c)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]=\mu ^{2}+\sigma ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e724a4d6ebe2c549c0d8e15be5e90b516736db3d)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1870531fc3ee86b5deedeaedf9363b5cdd419b0)
![{\displaystyle \mathbf {E} [(\xi ,y)]={\widehat {\mu }}(y)=\int _{X}(x,y)\,d\mu (x),\quad y\in Y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adea8abb42964fdc4e331e35810242d5285c1cf)
