乗数（フーリエ解析）

フーリエ解析では、乗算演算子は線形演算子、つまり関数の変換の一種です。これらの演算子は、関数のフーリエ変換を変更することによって関数に作用します。具体的には、関数のフーリエ変換に、乗算演算子または記号と呼ばれる特定の関数を乗算します。場合によっては、乗算演算子という用語自体が単に乗算演算子と短縮されます。^{[ 1 ]}簡単に言えば、乗算演算子は、任意の関数に含まれる周波数を再形成します。このクラスの演算子は広範であることがわかります。一般理論では、いくつかの（非常に緩やかな）正則性条件を満たす群上の並進不変演算子は乗算演算子として表現でき、その逆もまた同様です。^{[ 2 ]}並進や微分などの多くの馴染みのある演算子は乗算演算子ですが、ヒルベルト変換のようなより複雑な例も多数あります。

信号処理において、乗算演算子は「フィルタ」と呼ばれ、乗算器はフィルタの周波数応答（または伝達関数）である。

より広い文脈では、乗算演算子はスペクトル乗算演算子の特殊な場合であり、スペクトル乗算演算子は演算子（または可換演算子の族）の関数計算から生じます。また、擬微分演算子の特殊な場合であり、より一般的にはフーリエ積分演算子の特殊な場合でもあります。この分野には、 L ^p有界乗算演算子の特徴付けなど、未解決の自然な問題がいくつか存在します（下記参照）。

乗算演算子とラグランジュ乗数は、どちらも乗算演算を含むという点を除けば、関連性はありません。

フーリエ変換に関する必要な背景知識については、該当ページを参照してください。その他の重要な背景知識については、「作用素ノルム」および「L ^p空間」のページを参照してください。

単位円上で定義された周期関数の場合、関数のフーリエ変換は、そのフーリエ係数の列に他なりません。微分が乗数として実現できることを示すために、周期関数の導関数のフーリエ級数を考えてみましょう。${\displaystyle f(t).}$フーリエ係数の定義に部分積分を用いると、次のようになる。

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)e^{-int}\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }(in)f(t)e^{-int}\,dt=in\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)}$。

したがって、形式的には、導関数のフーリエ級数は、単に次のフーリエ級数になります。${\displaystyle f}$係数を掛ける${\displaystyle in}$これは、微分が乗数を持つ乗数演算子であると言うのと同じです。${\displaystyle in}$。

実数直線上の関数に作用する乗数演算子の例として、ヒルベルト変換がある。ヒルベルト変換は乗数演算子であり、その乗数は次のように与えられることが示される。${\displaystyle m(\xi )=-i\operatorname {sgn} (\xi )}$ここで、sgnは符号関数である。

最後に、乗数のもう1つの重要な例は、単位立方体の特性関数です。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$これはフーリエ変換の「部分和」の研究において生じる（フーリエ級数の収束を参照）。

乗算演算子は、フーリエ変換が定義されている任意の群G (特に、任意の局所コンパクトアーベル群) 上で定義できます。一般的な定義は次のとおりです。${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$は十分に正則な関数である。$\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$そのフーリエ変換を表す（ここで${\displaystyle {\hat {G}}}$はGのポントリャーギン双対である。${\displaystyle m:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$別の関数を表す。これを乗数と呼ぶ。すると乗数演算子は${\displaystyle T=T_{m}}$この記号mに関連付けられているものは、次の式によって定義されます。

${\displaystyle {\widehat {Tf}}(\xi ):=m(\xi ){\hat {f}}(\xi )。$

言い換えれば、周波数ξにおけるTfのフーリエ変換は、その周波数におけるfのフーリエ変換に、その周波数における乗数の値を掛けたもので与えられる。これが「乗数」という用語の由来である。

上記の定義は Tf を暗黙的に定義しているにすぎないことに注意してください。Tfを明示的に復元するには、フーリエ変換を逆変換する必要があります。fとmの両方が十分に滑らかで積分可能であれば、これは容易に実行できます。この分野における主要な問題の一つは、任意の指定された乗数mに対して、 f の正則性が非常に低い場合、例えばL ^p空間に属すると仮定した場合などに、対応するフーリエ乗数演算子が引き続き適切に定義されるかどうかを判断することです。下記の「有界性の問題」に関する議論を参照してください。最低限、通常は乗数mが有界かつ可測であることを要求します。これは、有界性を確立するのに十分です。$\displaystyle L^{2}}$しかし、一般的には他の空間に有界性を与えるほど強力ではない。

乗算演算子Tは、フーリエ変換、 mによる点ごとの乗算、そして逆フーリエ変換という3つの演算子の合成として考えることができる。言い換えれば、Tは点ごとの乗算演算子とフーリエ変換の共役である。したがって、乗算演算子はフーリエ変換によって対角化される演算子と考えることができる。

ここで、上記の一般的な定義を特定の群Gに特化させてみましょう。まず、単位円を考えます。${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ ;} G上の関数は、実数直線上の 2π 周期関数と考えることができます。この群では、ポントリャーギン双対は整数群です。${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {Z} .}$フーリエ変換（十分に正則な関数fの場合）は次のように与えられる。

${\displaystyle {\hat {f}}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt}$

逆フーリエ変換は次のように表される。

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)e^{int}.}$

この設定における乗数は単なる数列です${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$数値、および演算子${\displaystyle T=T_{m}}$この乗数に関連付けられている値は、次の式で与えられます。

${\displaystyle (Tf)(t):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int},}$

少なくとも、乗数が十分に適切に選ばれている場合は${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$そして関数f。

ここで、Gをユークリッド空間とする。${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$。ここで双対群もユークリッド群である。${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},}$フーリエ変換と逆フーリエ変換は、次の式で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi ):={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx\\f(x)={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi .\end{aligned}}}$

この設定における乗数は関数である${\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$および関連する乗数演算子${\displaystyle T=T_{m}}$定義される

${\displaystyle Tf(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi ,}$

ここでも、乗数と関数に関して十分強い正則性と有界性の仮定を前提としている。

分布の意味では、乗算演算子と畳み込み演算子に違いはありません。すべての乗算演算子T は、 Tの畳み込みカーネルとして知られる何らかの分布Kに対して、 Tf = f ∗ Kの形式でも表すことができます。この観点から、x _{0による平行移動は}ディラックのデルタ関数δ(· − x ₀ )との畳み込みであり、微分は δ' との畳み込みです。その他の例は、下の表に示されています。  

与えられた群Gに対するL ^p有界性問題(任意のpについて)は、簡単に言えば、対応する乗算演算子がL ^p ( G )からL ^p ( G ) まで有界となるような乗算演算子mを特定することです。このような乗算演算子は通常、単に「 L ^p乗算演算子」と呼ばれます。乗算演算子は常に線形であるため、このような演算子は連続である場合に限り有界であることに注意してください。この問題は一般に非常に難しいと考えられていますが、多くの特殊なケースを扱うことができます。この問題はpに大きく依存しますが、双対関係があります。${\displaystyle 1/p+1/q=1}$1 ≤ p、q ≤ ∞ の場合、乗算演算子がL ^p上で有界であるのは、 L ^q上で有界である場合に限る。

リース＝トーリンの定理によれば、乗算演算子が2つの異なるL ^p空間で有界であれば、その中間にあるすべての空間でも有界である。したがって、乗算演算子の空間はL ¹とL ^{∞で最小となり、} L ²に近づくにつれて大きくなり、 L 2は最大の乗算演算子空間を持つことがわかる。

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