ボレル測度

数学、特に測度論において、位相空間上のボレル測度は、すべての開集合（したがってすべてのボレル集合）上で定義される測度である。 ^[1]一部の著者は、以下に示すように、測度に対して追加の制限を要求する。

を局所コンパクトハウスドルフ空間とし、を の開集合を含む最小の σ-代数とします。これはボレル集合の σ-代数 として知られています。ボレル測度は、ボレル集合の σ-代数 上で定義される測度です。 ^{[2]さらに、}局所有限 であること、つまりすべての点に有限測度の開近傍があることを 要求する著者もいます。ハウスドルフ空間の場合、これはすべてのコンパクト集合に対して、そして局所コンパクトハウスドルフ空間に対して、2 つの条件が同値であることを意味します。ボレル測度が内部正則かつ外部正則である場合、それは正則ボレル測度と呼ばれます。 が内部正則 、外部正則 、および局所有限 である場合、それはラドン測度と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu (C)<\infty }$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$

実数直線は 、通常の位相では局所的にコンパクトなハウスドルフ空間であるため、その上にボレル測度を定義できます。この場合、は、開区間を含む最小の σ-代数です。ボレル測度μは多数ありますが、すべての半開区間 に対して を割り当てるボレル測度の選択は、 上の「その」ボレル測度と呼ばれることがあります。この測度は、ルベーグ測度のボレル σ-代数への制限であることが判明しており、これは完全な測度であり、ルベーグ σ-代数上で定義されます。ルベーグ σ-代数は、実際にはボレル σ-代数の完備化であり、つまり、すべてのボレル集合を含み、完全な測度を備えることができる最小の σ-代数です。また、ボレル測度とルベーグ測度は、ボレル集合上で一致します (つまり、すべてのボレル可測集合 に対して、 は上記のボレル測度です)。この考え方は有限次元空間（下記のクラメール・ウォルドの定理）に拡張されますが、一般に無限次元空間には当てはまりません。無限次元ルベーグ測度は存在しません。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu ((a,b])=ba}$${\displaystyle (a,b]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda (E)=\mu (E)}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

XとYが2次元可算なハウスドルフ位相空間である場合、それらの積のボレル部分集合の集合は、XとYのボレル部分集合の集合の積と一致する。^[3]つまり、ボレル関数${\displaystyle B(X\times Y)}$${\displaystyle B(X)\times B(Y)}$

${\displaystyle \mathbf {Bor} \colon \mathbf {Top} _{\mathrm {2CHaus} }\to \mathbf {Meas} }$

第二可算ハウスドルフ空間のカテゴリから可測空間のカテゴリへの移行は有限積を保存します。

ルベーグ・スティルチェス積分は、ルベーグ・スティルチェス測度と呼ばれる測度に関する通常のルベーグ積分であり、実数直線上の任意の有界変化関数に関連付けることができます。ルベーグ・スティルチェス測度は正則ボレル測度であり、逆に実数直線上のすべての正則ボレル測度はこの種類です。^[4]

実数直線上の有限ボレル測度μのラプラス変換はルベーグ積分^[5]によって定義できる。

${\displaystyle ({\mathcal {L}}\mu )(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).}$

重要な特別なケースは、μ が確率測度、より具体的にはディラックのデルタ関数である場合です。演算計算では、測度のラプラス変換は、測度が分布関数 fから来ているかのように扱われることがよくあります。その場合、潜在的な混乱を避けるために、次のように書くことがよくあります。

${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$

ここで、下限の0 ⁻は、

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}$

この極限は、0 に位置する任意の質点がラプラス変換によって完全に捕捉されることを強調しています。ルベーグ積分では、このような極限を取る必要はありませんが、ラプラス-スティルチェス変換と関連してより自然に現れます。

実数直線上の有限ボレル測度μのモーメントは積分によって 定義できる。

${\displaystyle m_{n}=\int _{a}^{b}x^{n}\,d\mu (x).}$

これらは、それぞれハンバーガーモーメント問題、スティルチェスモーメント問題、ハウスドルフモーメント問題に対応します。解決すべき質問または問題は、そのようなモーメントの集合が与えられた場合、対応する測度が存在するかどうかです。ハウスドルフモーメント問題の場合、対応する測度は一意です。他のバリアントの場合、一般に、同じモーメントを与える異なる測度は無限にあります。 ${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,\infty ),\;(0,\infty ),\;(0,1)}$

距離空間X上のボレル測度μが与えられ、μ ( X ) > 0 かつμ ( B ( x , r )) ≤ r ^sが、ある定数s > 0 およびX内のすべての球B ( x , r )に対して成立するとき、ハウスドルフ次元dim _Haus ( X ) ≥ sが成立する。部分的な逆はフロストマンの補題によって提供される: ^[6]

補題: A をR ⁿのボレル部分集合とし、s  > 0 とします。このとき、以下は同値です。

• H ^s ( A ) > 0、ここでH ^sはs次元ハウスドルフ測度を表す。
• μ ( A ) > 0を満たす（符号なし）ボレル測度μが存在し、

${\displaystyle \mu (B(x,r))\leq r^{s}}$

 すべて のx∈Rnおよびr ^> 0に対して 成立します。

測度論におけるクラメール・ウォルド定理は、上のボレル確率測度はその1次元射影の総体によって一意に決定されることを述べています。^{[7]これは、結合収束結果を証明する方法として使用されます。この定理は、}ハラルド・クラメールとヘルマン・オーレ・アンドレアス・ウォルドにちなんで名付けられました。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

• ヤコビ演算子

• ガウス測度、有限次元ボレル測度
• フェラー、ウィリアム（1971）、確率論とその応用入門。第2巻、第2版、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、MR  0270403。
• JD Pryce (1973)。機能分析の基本的方法。ハッチンソン大学図書館。ハッチンソン。p. 217。ISBN 0-09-113411-0。
• ランズフォード、トーマス (1995)。複素平面におけるポテンシャル理論。ロンドン数学会学生テキスト。第 28 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。pp. 209–218。ISBN 0-521-46654-7.ZBL0828.31001  。​
• テシュル、ジェラルド、実数および関数解析のトピック、（講義ノート）
• ウィーナーの補題 関連

• 数学百科事典のボレル測度