整数

整数とは、ゼロ（0）、正の自然数（1、2、3、…）、または正の自然数の否定（−1 、−2、−3、…）のことです。^{[ 1 ]}正の自然数の否定または加法逆元は、負の整数と呼ばれます。^{[ 2 ]}すべての整数の集合は、しばしば太字のZまたは黒板太字 で表されます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

自然数の集合${\displaystyle \mathbb {N} }$はのサブセットです​${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠、これはさらに、すべての有理数の集合の部分集合である。${\displaystyle \mathbb {Q} }$それ自体は実数 の部分集合である${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ . ^{[ a ]}自然数の集合と同様に、整数の集合は⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$は可算無限です。整数は、分数部分なしで記述できる実数とみなすことができます。たとえば、21、4、0、および -2048 は整数ですが、9.75、5 + 1 / 2、5/ 4、および2の平方根は整数ではありません。 ^{[ 7 ]}

整数は、自然数を含む最小の群および最小の環を形成します。代数的整数論では、整数はより一般的な代数的整数と区別するために、有理整数と呼ばれることがあります。実際、（有理）整数は、有理数でもある代数的整数です。

整数という言葉は、ラテン語のintegerに由来し、「全体」または（文字通り）「触れられていない」という意味で、in（「～ない」）とtangere（「触れる」）から成ります。「entire 」は、フランス語のentierに由来し、これは全体と整数の両方を意味します。^{[ 8 ]}歴史的には、この用語は1 の倍数である数、 ^{[ 9 ] [ 10 ]}または帯分数の全体部分に対して使用されていました。^{[ 11 ] [ 12 ]}正の整数のみが考慮されていたため、この用語は自然数と同義でした。整数の定義は、負の数の有用性が認識されるにつれて、時間の経過とともに拡張され、負の数も含まれるようになりました。 ^{[ 13 ]}例えば、レオンハルト・オイラーは、 1765 年の著書『代数学原論』で、正の数と負の数の両方を含む整数を定義しました。^{[ 14 ]}

整数の集合という表現は、ゲオルク・カントールが無限集合と集合論の概念を導入した19世紀末まで使われていませんでした。整数の集合を表すのに文字Zを使うのは、ドイツ語のZahlen（「数」）^{[ 3 ] [ 4 ]}に由来し、ダフィット・ヒルベルトに帰せられています。^{[ 15 ]}教科書でこの表記が使われている最も古い例は、1947年にニコラ・ブルバキらが執筆した『Algèbre』です。 ^{[ 3 ] [ 16 ]}この表記はすぐに採用されたわけではありません。例えば、別の教科書では文字Jが使われており、^{[ 17 ]} 1960年の論文ではZが非負整数を表すのに使われていました。^{[ 18 ]}しかし、1961年までには、Zは現代の代数学の教科書で正負の整数を表すのに一般的に使われるようになりました。^{[ 19 ]}

シンボル⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠は、さまざまな集合を表すために注釈として用いられることが多く、その用法は著者によって異なる。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$⁠、 ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$⁠、または⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}$正の整数については、${\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}$または​​$\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}$非負整数の場合、そして${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}$非ゼロ整数の場合。一部の著者は を使用します。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$非ゼロ整数に対しては⁠ を使用するが、他の場合は非負整数、または {−1,1} (の単位のグループ⁠に ⁠ を使用する。${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ ) さらに、 ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$は、 pを法とする整数の集合(つまり、整数の合同類の集合) またはp進整数の集合。 ^{[ 20 ] [ 21 ]}

1950年代初頭までは、整数は自然数と同義語でした。 [ 22 ^{] [ 23 ] [ 24 ] 1950年代}後半、新数学運動の一環として、^{[ 25 ]}アメリカの小学校教師は、整数は負の数を除いた自然数を指し、負の数を含むと教え始めました。^{[ 26 ] [ 27 ]}整数は今日まで曖昧なままです。^{[ 28 ]}

自然数と同様に、${\displaystyle \mathbb {Z} }$は加算と乗算の演算に関して閉じている、つまり任意の2つの整数の和と積は整数である。しかし、負の自然数（そして重要なことに、 0）を含めると、${\displaystyle \mathbb {Z} }$自然数とは異なり、減法に関しても閉じている。 ^{[ 29 ]}

整数は環を形成し、それは次の意味において最も基本的な環である。すなわち、任意の環に対して、整数からこの環への一意的な環準同型が存在する。この普遍的な性質、すなわち環の圏における初期対象であるという性質が、この環を特徴づける。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$この一意準同型は、環の標数がゼロである場合に限り単射である。したがって、標数がゼロのすべての環は、 と同型な部分環を含む。${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠、これはその最小の部分環です。

⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$2つの整数の商（例えば、1÷2）は必ずしも整数になるとは限らないため、除算に関して閉じていません。自然数はべき乗に関して閉じていますが、整数はそうではありません（指数が負の場合、結果が分数になる可能性があるため）。

次の表は、任意の整数a、b、cに対する加算と乗算の基本的な性質の一部を示しています。

上記に挙げた最初の5つの追加プロパティは、${\displaystyle \mathbb {Z} }$加算に関して、 はアーベル群です。また、すべての非ゼロ整数は有限和1 + 1 + ... + 1または(−1) + (−1) + ... + (−1)として表せるため、巡回群でもあります。実際、は${\displaystyle \mathbb {Z} }$加算に関して、は唯一の無限巡回群である。つまり、任意の無限巡回群はと同型である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ .

乗算に関する上記の最初の4つの性質は、次のことを示しています。${\displaystyle \mathbb {Z} }$乗法に関して、 は可換モノイドである。ただし、すべての整数が乗法逆元を持つわけではない（2 の場合など）。つまり、${\displaystyle \mathbb {Z} }$乗算の下では、それはグループではありません。

上記のプロパティ表のすべてのルール（最後のルールを除く）を総合すると、次のことがわかります。${\displaystyle \mathbb {Z} }$加算と乗算とともに、単位元を持つ可換環である。これは、そのような代数構造のすべての対象の原型である。において真となる式の等式は、 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$変数のすべての値に対して、これは任意の単位元を持つ可換環で成り立つ。特定の非ゼロ整数は、特定の環ではゼロに写像される。

整数に零因子が存在しない（表の最後の性質）ということは、可換環が ${\displaystyle \mathbb {Z} }$は積分領域です。

乗法逆元が存在しないということは、次の事実と同等である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠は分割の下で閉じられていない、つまり⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$は体ではありません。整数を部分環として含む最小の体は有理数体です。整数から有理数を構成するプロセスは、任意の整域の分数体を形成するために模倣できます。そして、代数体（有理数の拡張）から始めて、その整数環を抽出することができ、これには が含まれます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠その部分環として。

通常の除算は定義されていませんが、${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠、それらの上で「余り付き」除算が定義されます。これはユークリッド除算と呼ばれ、次の重要な性質を持ちます。b ≠ 0である2 つの整数aとbが与えられたとき、 a = q × b + rかつ0 ≤ r < | b |となる一意の整数qとr が存在します。ここで、 | b | はbの絶対値を表します。整数qはaをbで除算したときの商、 rは余りと呼ばれます。最大公約数を計算するためのユークリッドアルゴリズムは、一連のユークリッド除算によって機能します。

上記は、${\displaystyle \mathbb {Z} }$はユークリッド領域である。これは、${\displaystyle \mathbb {Z} }$は主イデアル領域であり、任意の正の整数は本質的に一意な方法で素数の積として表すことができる。 ^{[ 30 ]}これは算術の基本定理である。

⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$は、上限も下限もない完全順序集合です。 の順序付けは、${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠は以下のように与えられます。

${\displaystyle \cdots <-3<-2<-1<0<1<2<3<\cdots .}$

整数は、0より大きい場合は正、0より小さい場合は負と定義される。0は正でも負でもない数として定義される。

整数の順序付けは、以下の方法で代数演算と互換性があります。

1. a < bかつc < dならば、a + c < b + dとなる。
2. a < bかつ0 < cならばac < bc

したがって、次のことが導かれる。${\displaystyle \mathbb {Z} }$上記の順序付けと合わせて、順序付きリングが得られます。

整数は、正の要素が整列している唯一の非自明な全順序アーベル群である。^{[ 31 ]}これは、任意のネーター付値環は体か離散付値環のいずれかであるという記述と同等である。

整数は、コンピュータ言語においてしばしば基本データ型として用いられます。しかし、実際のコンピュータは有限な容量しか持たないため、整数データ型はすべての整数のサブセットしか表現できません。また、一般的な2の補数表現では、符号の定義は「負」と「非負」を区別するものであり、「負、正、0」を区別するものではありません。（ただし、コンピュータが整数値が真に正であるかどうかを判断することは確かに可能です。）固定長整数近似データ型（またはそのサブセット）は、いくつかのプログラミング言語（Algol68、C、Java、Delphiなど）ではintまたはIntegerと表記されます。 

多倍長整数などの可変長整数表現は、コンピュータのメモリに収まる任意の整数を格納できます。その他の整数データ型は固定サイズで実装されており、通常は 2のべき乗（4、8、16など）のビット数、または覚えやすい桁数（9桁または 10桁など）で表されます。

整数の集合は可算無限であり、各整数を一意の自然数とペアにすることが可能です。そのようなペアの例は次のとおりです。

(0, 1), (1, 2), (−1, 3), (2, 4), (−2, 5), (3, 6), . . . ,(1 − k , 2 k − 1), ( k , 2 k ), . . .

より技術的には、${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠はℵ ₀ (アレフヌル)に等しいと言われています。 ⁠の要素間のペアリング${\displaystyle \mathbb {Z} }$そして​​${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠は全単射と呼ばれます。

• 正の整数の標準因数分解
• 複素整数
• ハイパー整数
• 整数の複雑性
• 整数格子
• 整数部分
• 整数列
• 整数値関数
• 数学記号
• パリティ（数学）
• プロ有限整数

• 「整数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• 正の整数 – 除数表と数値表現ツール
• オンライン整数列百科事典（OEIS参照）
• ワイスタイン、エリック・W. 「整数」。マスワールド。

この記事は、クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンスの下でライセンスされているPlanetMathのIntegerの資料を組み込んでいます。