包絡線（波）

物理学や工学では、振動信号のエンベロープは、その極値を輪郭で示す滑らかな曲線です。^{[ 1 ]}エンベロープは、一定振幅の概念を瞬時振幅に一般化したものです。図は、上側エンベロープと下側エンベロープの間で変化する変調された正弦波を示しています。エンベロープ関数は、時間、空間、角度、あるいは任意の変数の関数となる場合があります。

空間xと時間tの両方で包絡線関数が生じる一般的な状況は、ほぼ同じ波長と周波数の 2 つの波の重ね合わせです。^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}}$

これは、 2 つの正弦波の加算に三角関数の公式を使用し、近似値 Δ λ  ≪ λ を使用します。 

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.}$

ここで変調波長λ _modは次のように与えられる：^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .}$

それで

どこ

変調波長はエンベロープ自体の2倍になります。これは、変調コサイン波の各半波長が、変調サイン波の正負両方の値を制御するためです。同様に、ビート周波数はエンベロープの周波数、つまり変調波の2倍、2Δfです。^{[ 4 ]}

この波が音波である場合、耳はfに関連付けられた周波数を聞き、この音の振幅はうなり周波数に応じて変化します。^{[ 4 ]}

位相速度と群速度

上記の正弦波の引数は、係数2πを除いて次のとおりです。

${\displaystyle \xi _{C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,}$

${\displaystyle \xi _{E}=\left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,}$

添え字CとEは搬送波と包絡線を表す。波の振幅F が同じになるのは、ξ _Cと ξ _{Eの値が同じ場合であり、それぞれが、異なるが適切に関連付けられた}xとtの選択によって同じ値に戻る可能性がある。この不変性により、これらの波形を空間的に追跡することで、固定振幅の位置が時間とともに伝播する速度を求めることができる。搬送波の引数が同じままであるための条件は次のとおりである。

${\displaystyle \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t)\right)\ ,}$

これは、一定の振幅を維持するために、距離 Δ x が時間間隔 Δ tと位相速度v _pと呼ばれる関係にあることを示している。

${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .}$

一方、同じ考察から、包絡線は群速度v _gと呼ばれる速度で伝播することがわかった。^{[ 5 ]}

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda _{\rm {mod}}\Delta f=\lambda ^{2}{\frac {\Delta f}{\Delta \lambda }}\ .}$

群速度のより一般的な表現は、波数ベクトルkを導入することによって得られる。

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}\ .}$

小さな変化Δλに対して、対応する波数ベクトルの小さな変化Δkの大きさは次のようになることがわかります。

${\displaystyle \Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\ ,}$

したがって、群速度は次のように書き換えることができます。

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,}$

ここで、ωはラジアン/秒単位の周波数であり、ω = 2πfである。すべての媒質において、周波数と波数ベクトルは分散関係ω = ω ( k )によって関係付けられ、群速度は次のように表される。

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .}$

古典的な真空のような媒質における電磁波の分散関係は次のようになる。

${\displaystyle \omega =c_{0}k}$

ここでc _{0は古典的な真空における}光速です。この場合、位相速度と群速度は両方ともc ₀です。

いわゆる分散媒質では、分散関係は波数ベクトルの複雑な関数となり、位相速度と群速度は一致しません。例えば、GaAs中の原子振動（フォノン）によって生じるいくつかの種類の波について、波数ベクトルkのさまざまな方向に対する分散関係を図に示します。一般的には、位相速度と群速度は異なる方向を持つ可能性があります。^{[ 7 ]}

凝縮系物理学では、結晶中の移動電荷キャリアのエネルギー固有関数はブロッホ波として表現できる。

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

ここで、nはバンドのインデックス (伝導帯または価電子帯など)、rは空間位置、kは波数ベクトルです。指数関数は、波動関数u _n、kの急速に変化する部分を変調する、ゆっくりと変化する包絡線に対応する正弦波状に変化する関数で、格子の原子核付近での波動関数の挙動を表します。包絡線は、結晶のブリルアンゾーンによって制限される範囲内のk値に制限され、位置rによってどれだけ急速に変化できるかが制限されます。

量子力学を用いてキャリアの挙動を決定する場合、通常はエンベロープ近似が用いられます。この近似では、シュレーディンガー方程式はエンベロープの挙動のみを参照するように簡略化され、境界条件は完全な波動関数ではなく、エンベロープ関数に直接適用されます。^{[ 9 ]}例えば、不純物の近くに捕捉されたキャリアの波動関数は、ブロッホ関数の重ね合わせを支配するエンベロープ関数Fによって支配されます。

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

ここで、包絡線F ( k )のフーリエ成分は 近似シュレーディンガー方程式から求められます。^{[ 10 ]}いくつかの応用では、周期部分u _kはバンド端付近の値、例えばk = k ₀に置き換えられ、その後、次のようになります。^{[ 9 ]}

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right)u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )\ .}$

多重スリットからの回折パターンは、単一スリットの回折パターンによって包絡線が決定されます。単一スリットの場合、パターンは次のように与えられます。^{[ 11 ]}

${\displaystyle I_{1}=I_{0}\sin ^{2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,}$

ここで、αは回折角、dはスリット幅、λは波長である。複数のスリットの場合、パターンは^{[ 11 ]である。}

${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$

ここで、 qはスリットの数、gは回折格子定数です。最初の因子である単スリットの結果I _{1 は}、スリットの数とその間隔に依存する、より急速に変化する第 2 の因子を変調します。

エンベロープ検出器とは、アナログ信号からエンベロープを抽出しようとする回路のことである。

デジタル信号処理では、エンベロープはヒルベルト変換または移動RMS振幅を用いて推定することができる。^{[ 12 ]}

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