定在波

物理学では、定在波（静止波とも呼ばれる）は、時間の中で振動するが、そのピーク振幅プロファイルは空間内で移動しない波です。空間内の任意の点における波の振動のピーク振幅は時間に対して一定であり、波全体の異なる点における振動は同位相です。振幅の絶対値が最小となる位置は節と呼ばれ、振幅の絶対値が最大となる位置は腹と呼ばれます。

定在波は、 1831年にマイケル・ファラデーによって初めて科学的に説明されました。ファラデーは、振動する容器内の液体の表面に定在波を観察しました。^{[1] [2]} フランツ・メルデは、1860年頃に「定在波」（ドイツ語：stehende WelleまたはStehwelle）という用語を作り出し、振動する弦を使った古典的な実験でこの現象を実証しました。^{[3] [4] [5] [6]}

この現象は、媒体が波の進行方向と反対方向に移動しているために発生する場合もあれば、静止した媒体で反対方向に移動する 2 つの波の干渉の結果として発生する場合もあります。定在波の最も一般的な原因は共鳴現象であり、共鳴器の共鳴周波数で前後に反射する波の干渉により、共鳴器内に定在波が発生します。

等しい振幅の波が反対方向に伝わる場合、平均するとエネルギーの正味の伝播はありません。

最初のタイプの例として、特定の気象条件下では、山脈の風下の大気中に定在波が形成されます。このような波は、グライダーのパイロットによってよく利用されます。

定在波と跳水は、ソルトストラウメン大渦潮などの流れの速い川の急流や潮流でも発生します。川の流れでこれが発生するには、水深が浅く、水の慣性が超臨界流速（フルード数：1.7～4.5、4.5を超えると直接定在波となる^[7] ）により重力に打ち勝ち、障害物によって大幅に減速したり、横に押し流されたりしない状態が条件となります。多くの定在波は、リバーサーフィンに人気のブレイクです。

2番目のタイプの例として、伝送線路の定在波は、電流、電圧、または電界強度の分布が、反対方向に伝搬する同じ周波数の2つの波の重ね合わせによって形成される波です。その効果は、伝送線路に沿った固定点における一連のノード（変位ゼロ）とアンチノード（変位最大）です。このような定在波は、波が伝送線路の一端に伝送され、インピーダンスの不整合、つまり開回路や短絡などの不連続性によって他端から反射されたときに形成されることがあります。^{[8]線路が定在波周波数で電力を伝送できない場合、通常は}減衰歪み が発生します。

実際には、伝送線路やその他の部品の損失により、完全な反射と純粋な定在波は決して達成されません。その結果、定在波と進行波が重ね合わされた部分定在波が発生します。波が純粋な定在波または純粋な進行波にどの程度似ているかは、定在波比（ SWR）によって測定されます。^[9]

もう一つの例は、同じ波周期を持つ波が反対方向に移動することによって形成される外洋の定在波です。これらは嵐の中心の近くで、または海岸でのうねりの反射によって形成されることがあり、微小気圧や微小地震の原因となります。

このセクションでは、代表的な 1 次元および 2 次元の定在波のケースを取り上げます。まず、無限長の弦の例で、反対方向に移動する同一の波が干渉して定在波を生成する仕組みを説明します。次に、異なる境界条件を持つ 2 つの有限長の弦の例で、境界条件によって定在波を形成できる周波数が制限される仕組みを説明します。次に、パイプ内の音波の例で、同様の境界条件を持つ縦波に同じ原理を適用できる仕組みを説明します。

定在波は、2 次元または 3 次元の共振器でも発生することがあります。上のアニメーションで示されているドラムヘッドなどの 2 次元の膜上の定在波では、ノードが節線になります。節線とは、動きのない表面上の線で、逆位相で振動する領域を分離します。これらの節線のパターンは、クラドニ図形と呼ばれます。楽器の共鳴箱やマイクロ波空洞共振器などの 3 次元共振器には、節面があります。このセクションでは、長方形の境界を持つ 2 次元の定在波の例を示し、この概念を高次元に拡張する方法を説明します。

まず、x軸に沿って無限の長さを持ち、 y方向に横方向に自由に伸ばせる弦を考えます。

弦に沿って右方向に伝わる調和波の場合、弦のy方向の変位は位置xと時間tの関数として^[10]

${\displaystyle y_{\text{R}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right).}$

左方向に伝わる同一の高調波 のy方向の変位は

${\displaystyle y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

どこ

• y _maxは各波の弦の変位の振幅であり、
• ω は角周波数、つまり周波数f の2π倍である。
• λは波の波長です。

同じ弦に右方向と左方向に伝わる同一の波がある場合、弦の全変位はy _Rとy _Lの合計となる。

${\displaystyle y(x,t)=y_{\text{R}}+y_{\text{L}}=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right)+y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right).}$

三角関数の和積の等式 を用いると、 ${\displaystyle \sin a+\sin b=2\sin \left({a+b \over 2}\right)\cos \left({ab \over 2}\right)}$

式（1）は進行波を記述するものではない。どの位置xでも、y（x、t）は単に時間とともに振動し、その振幅はx方向に変化する。^[10]この記事の冒頭のアニメーションは、何が起こっているかを示している。左に進む青い波と右に進む緑の波が干渉すると、移動せずにその場で振動する定在する赤い波が形成される。 ${\displaystyle 2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)}$

弦の長さは無限であるため、x軸に沿ったどの点でも変位に対する境界条件はありません。その結果、任意の周波数で定在波が形成されます。

x軸上の1/4波長の 偶数倍の位置では、

${\displaystyle x=\ldots ,-{3\lambda \over 2},\;-\lambda ,\;-{\lambda \over 2},\;0,\;{\lambda \over 2},\;\lambda ,\;{3\lambda \over 2},\ldots }$

振幅は常にゼロである。これらの位置は節と呼ばれる。x軸上の1/4波長の 奇数倍の位置では

${\displaystyle x=\ldots ,-{5\lambda \over 4},\;-{3\lambda \over 4},\;-{\lambda \over 4},\;{\lambda \over 4},\;{3\lambda \over 4},\;{5\lambda \over 4},\ldots }$

振幅は最大となり、この定在波パターンを生成するために干渉する右方向および左方向の進行波の振幅の 2 倍の値になります。これらの場所は腹と呼ばれます。2 つの連続する節または腹の間の距離は、波長の半分、λ /2 です。

次に、 x = 0およびx = Lに固定端がある弦について考えます。弦は進行波によって伸ばされるため多少の減衰がありますが、減衰は非常に小さいと仮定します。x = 0固定端に正弦波の力が加えられ、弦が y 方向に、ある周波数fで小さな振幅で上下に動かされるとします。この状況では、駆動力によって右方向に移動する波が生成されます。その波は右固定端で反射して左に戻り、左固定端で再び反射して右に戻り、これを繰り返します。最終的には、弦が無限長の場合と同様に右方向と左方向に移動する同一の波を持つ定常状態に達し、弦の減衰によって消費される電力が駆動力によって供給される電力に等しくなるため、波の振幅は一定になります。

式（１）は依然としてこの弦に形成される定在波パターンを記述しているが、弦がx = Lに固定されており、固定されたx = 0端での駆動力が小さい振幅を持つと仮定しているため、式（ １）はx = 0およびx = Lでy = 0となる境界条件に従う。両端での yの値を確認すると、

${\displaystyle y(0,t)=0,}$

${\displaystyle y(L,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0.}$

この境界条件は、シュトゥルム・リウヴィルの定式化の形をしています。後者の境界条件は、 Lが与えられたときに満たされます。したがって、境界条件は定在波の波長を^[11]に制限します。${\displaystyle \sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

波は、 Lとこの関係を満たす波長を持つ場合にのみ、この弦上で定在波を形成できます。波が弦に沿って速度vで移動すると、定在波の周波数は^{[11] [12]に制限されます。}

${\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}$

n = 1の定在波は基本周波数で振動し、弦の長さの 2 倍の波長を持ちます。nの整数値が大きいほど、高調波または倍音と呼ばれる振動モードに対応します。弦上の定在波には、固定端を含むn + 1 個の節とn個の腹節があります。

この例の節点を無限長弦の定在波の節点の記述と比較すると、式（２）は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

この波長の表現のバリエーションでは、nは偶数でなければなりません。クロス乗算すると、 Lはノードであるため、4分の1波長の 偶数倍であることがわかります。

${\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

この例は共鳴の一種を示しており、定在波を生み出す周波数は共鳴周波数と呼ばれる。^{[11] [13] [14]}

次に、長さLの同じ弦を考えますが、今回はx = 0のみに固定されています。x = Lでは、弦はy方向に自由に移動できます。たとえば、弦はx = Lで、ポールの上下に自由にスライドできるリングに結び付けられている場合があります。弦はここでも小さな減衰を持ち、 x = 0で小さな駆動力によって駆動されます。

この場合、式（1）は依然として弦上に形成される定在波パターンを記述し、弦は x = 0 で y = 0 という同じ境界条件を持ちます。しかし、弦が自由に動くx = Lでは、最大振幅yの腹が存在するはずです。同様に、この「自由端」の境界条件は、 x = Lで∂y/∂x = 0と表すことができ、これはSturm–Liouvilleの定式化の形式です。この境界条件x = Lで∂y/∂x = 0に対する直感は、「自由端」の動きはその左側の点の動きに従うということです。

式（１）を見ると、x = Lの場合、 yの最大振幅は∂y/∂x = 0のとき、つまり

${\displaystyle \cos \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0.}$

これにより、2つの固定端の例とは異なる波長のセットが生まれます。ここでは、定在波の波長は

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots }$

同様に、周波数は

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

この例では、n は奇数値のみを取ります。L は腹であるため、 1 /4 波長の奇数倍です。したがって、この例の基本モードは完全な正弦周期の 1/4 のみを持ちます ( x = 0でゼロ、 x = Lで最初のピーク) 。最初の高調波は完全な正弦周期の 3/4 を持ちます。

この例は共鳴の一種を示しており、定在波を生成する周波数は共鳴周波数と呼ばれます。

長さLのパイプ内の定在波を考えてみましょう。パイプ内の空気は、パイプ内を右または左に伝わる縦 波の媒体として機能します。前の例の弦の横波は、波の進行方向に対して垂直な変位が異なりますが、パイプ内の空気を伝わる波は、波の進行方向に沿った圧力と縦方向の変位が異なります。波は、パイプの各セグメントの空気を交互に圧縮および膨張させることで伝播します。これにより、空気は静止位置からわずかに変位し、交互に変化する高気圧と低気圧によって及ぼされる力を通じて、隣接するセグメントにエネルギーが伝達されます。^[15]弦の波の式に似た式は、パイプ内を右または左に伝わる波による圧力変化 Δ pについても書くことができます。

${\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),}$

${\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

どこ

• p _maxは圧力振幅、つまり各波による空気圧の最大増加または減少です。
• ω は角周波数、つまり周波数f の2π倍である。
• λは波の波長です。

同一の右波と左波がパイプを伝わる場合、結果として生じる重ね合わせは、

${\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}$

この圧力の式は式（１）と同じ形をしており、空間的に固定され時間的に振動する定常圧力波が形成される。

パイプの端が閉じている場合、パイプの閉じた端が空気の動きを制限する力を及ぼすため、圧力は最大になります。これは圧力の反節点（分子運動の節点。閉じた端の近くの分子は移動できない）に対応します。パイプの端が開いている場合、圧力の変化は非常に小さく、圧力の節点（分子運動の反節点。開いた端の近くの分子は自由に移動できるため）に対応します。^{[16] [17]}開いた端での圧力の節点の正確な位置は、実際にはパイプの開いた端よりわずかに先にあるため、共鳴周波数を決定する目的でのパイプの有効長さは、その物理的な長さよりもわずかに長くなります。^[18]この例では、この長さの違いは無視されています。反射に関しては、開いた端は波を部分的にパイプに反射し、一部のエネルギーを外気中に放出します。理想的には、閉じた端は波全体を反対方向に反射します。^{[18] [19]}

まず、両端が開いているパイプ、例えば開いたオルガンのパイプやリコーダーを考えてみましょう。両端の圧力はゼロでなければならないので、境界条件は両端が固定された弦に似ています。

${\displaystyle \Delta p(0,t)=0,}$

${\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}$

これは定在波の波長が^{[18]の場合にのみ発生する。}

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

または、周波数が^{[18] [20]の場合も同様である。}

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}$

ここでvは音速です。

次に、 x = 0で開いていて（したがって圧力節点を持つ）、x = Lで閉じている（したがって圧力反節点を持つ）パイプについて考えます。x = Lでの圧力に対する閉じた「自由端」境界条件は、∂(Δp)/∂x = 0と表すことができます。これは、 Sturm–Liouville の定式化の形式です。x = Lでのこの境界条件∂(Δp)/∂x = 0に対する直感は、閉じた端の圧力がその左側の点の圧力に従うということです。この設定の例には、ボトルとクラリネットがあります。このパイプには、片方の端だけが固定された弦に類似した境界条件があります。その定在波の波長は^{[18]に制限されています。}

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}$

または、定在波の周波数は^{[21] [20]に制限されます。}

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

片端が閉じられている場合、片端のみが固定された弦の場合と同様に 、 n は奇数値のみを取ります。

これまで、波は位置xと時間の関数として圧力で記述されてきた。あるいは、波は空気の縦方向の変位で記述することもできる。この場合、パイプの一部の空気は圧力が変化し、波はどちらかの方向または両方向に伝わるため、 x方向にわずかに前後に移動する。圧力の変化Δpと縦方向の変位sは次のように関係している^[22]。

${\displaystyle \Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial s}{\partial x}},}$

ここでρは空気の密度である。縦方向の変位に関しては、パイプの閉じた端は空気の動きが制限されるため節に相当し、開いた端は空気が自由に動くため腹に相当する。^{[18] [23]}同様の、より視覚化しやすい現象が、バネに沿って伝播する縦波でも発生する。^[24]

両端が閉じているパイプも考えられます。この場合、両端は圧力の腹、または同等に両端が変位の節になります。この例は、両端が開いている場合と似ていますが、定在波パターンがx方向に沿ってπ ⁄ 2位相シフトし、節と腹の位置がシフトします。たとえば、共鳴する最長波長 (基本モード) は、パイプの両端に圧力節ではなく圧力の腹がある点を除けば、パイプの長さの 2 倍です。両端の間には圧力節が 1 つあります。両端が閉じている場合、波長は再び次の値に制限されます。

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

そして周波数は再び制限される

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}.}$

ルーベンス管は、両端が閉じた管内の定在波の圧力変化を視覚化する方法を提供します。^[25]

次に、 x方向に長さL _x、y方向に長さL _yの長方形境界内の 2 次元表面に沿って移動できる横波について考えます。このタイプの波の例としては、プールの水の波や、ぴんと張られた長方形のシート上の波があります。波は表面をz方向に変位させます。z = 0は、表面が静止しているときの高さとして定義されます。

2次元と直交座標では、波動方程式は

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}$

どこ

• z ( x , y , t ) は表面の変位であり、
• c は波の速度です。

この微分方程式を解くには、まずフーリエ変換を解きます。

${\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}$

波動方程式のフーリエ変換をとると、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}$

これは固有値問題であり、周波数は固有値に対応し、固有値は周波数固有のモードまたは固有関数に対応する。具体的には、これはヘルムホルツ方程式の一種であり、変数分離法を使用して解くこと ができる。^[26]

${\displaystyle Z=X(x)Y(y).}$

ヘルムホルツ方程式をZで割ると、

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}$

これは2つの連立常微分方程式につながる。x項はxに関する定数であり、次のように定義できる。

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.}$

X ( x )を解くと、

${\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}$

このx依存性は正弦波状で、オイラーの公式を思い出してください。定数A _{k x}とB _{k xは}境界条件によって決まります。同様に、y項はyに関して定数であり、次のように定義できます。

${\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}$

そしてこの波の 分散関係は

${\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}$

y項の微分方程式を解くと、

${\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.}$

これらの関数を掛け合わせて逆フーリエ変換を施すと、z ( x , y , t )はモードの重ね合わせとなり、各モードはx、y、tの正弦関数の積となる。

${\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}.}$

正確な正弦関数を決定する定数は、境界条件と初期条件に依存します。境界条件がどのように適用されるかを確認するには、長方形の境界の周囲全体で z ( x , y , t ) がゼロになる必要がある、ぴんと張られたシートのような例を考えてみましょう。x依存性については、 y と t のすべての値に対して、 z ( x , y , t )はx = 0とx = L xの両方でゼロになるように_変化する必要があります。両端が固定された弦の 1 次元の例と同様に、この境界条件を満たす正弦関数は次のようになります。

${\displaystyle \sin {k_{x}x},}$

k _xが次の範囲に制限される

${\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }$

同様に、z ( x , y , t )のy依存性は、 y = 0とy = L _yの両方でゼロでなければなりません。これは次のように満たされます。

${\displaystyle \sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }$

波数をこれらの値に制限すると、共鳴する周波数も制限されます。

${\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}$

z ( x , y ,0) とその時間微分ż ( x , y ,0)の初期条件がt依存性が余弦関数となるように選択されると、このシステムの定在波は次の形になります。

${\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).}$

${\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }$

したがって、この固定された長方形の境界内の定在波は、整数nとmによってパラメータ化される特定の共振周波数で時間とともに振動します。定在波は時間とともに振動するため、移動せず、空間的な変化はx方向とy方向の両方で正弦波となり、境界条件を満たします。基本モードn = 1およびm = 1では、長方形の中央に単一の腹があります。nとmを変化させると、長方形内の節と腹の複雑だが予測可能な 2 次元パターンが得られます。^[27]

分散関係から、特定の状況では、異なるモード（つまり、nとmの異なる組み合わせ）が、 xとy依存性が異なる形状であっても、同じ周波数で共鳴することがあります。たとえば、境界が正方形で、L _x = L _yの場合、モードn = 1とm = 7、n = 7とm = 1、n = 5とm = 5はすべて同じ周波数で共鳴します。

${\displaystyle \omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.}$

上記のヘルムホルツ方程式でω が固有値を決定することを思い出すと、各周波数に対応するモードの数は、固有値としての 周波数の多重度に関係します。

反対方向に移動する 2 つの進行波の振幅が同じでない場合、それらは波の位相が 180° ずれているノードで完全に打ち消されないため、定在波の振幅はノードでゼロにならず、単に最小になります。 定在波比(SWR) は、腹 (最大) の振幅とノード (最小) の振幅の比です。純粋な定在波の SWR は無限大です。また、空間のどの点でも位相は一定です(ただし、半周期ごとに 180° 反転する場合があります)。有限でゼロでない SWR は、部分的に静止し、部分的に移動する波を示します。このような波は、進行波成分と定常波成分の 2 つの波の重ね合わせに分解できます。SWR が 1 の場合、波には定常成分がなく、振幅の比が 1 であるため、純粋な進行波です。^[28]

純粋な定在波は、エネルギーを発生源から目的地に伝達しません。^[29] しかし、波は依然として媒体内で損失を受けます。このような損失は有限のSWRとして現れ、損失を補うために発生源から移動する波の成分を示します。SWRが有限になったとしても、移動する成分が純粋に損失を補っているため、目的地にエネルギーが届かない場合があります。しかし、損失のない媒体では、有限のSWRは目的地へのエネルギーの確実な伝達を意味します。

定在波を理解するための簡単な例として、2 人の人が縄跳びの両端を振ることがあります。2 人が同期して振ると、縄跳びのロープがほぼ静止している点 (節) と、ロープの弧が最大になる点 (腹) がある、上下に振動する規則的な波のパターンが形成されます。

定在波は、弦や空気柱などの物理的媒体でも見られます。媒体に沿って進む波は、端に到達すると反射します。この効果は楽器で最も顕著で、振動する弦や空気柱の固有振動数のさまざまな倍数で定在波が生成され、倍音を識別できます。節は固定端に発生し、腹は開放端に発生します。片端のみが固定されている場合は、奇数倍音しか利用できません。パイプの開放端では、腹は空気との接触によって変化するため、端に正確にはないため、端補正を使用して正確に配置します。弦の密度は、倍音が発生する周波数に影響します。密度が高いほど、同じ倍音の定在波を生成するために必要な周波数は低くなります。

定在波は、光導波路や光空洞などの光学媒体でも観測される。レーザーは、ファブリ・ペロー干渉計を構成する一対の向かい合った鏡の形をした光空洞を使用する。空洞内の利得媒体（結晶など）はコヒーレントに光を放射し、空洞内に光の定在波を励起する。^{[32]光の波長は非常に短い（}ナノメートル、10 ⁻⁹ mの範囲）ため、定在波は顕微鏡的サイズである。定在光波の1つの用途は、光学フラットを使用して小さな距離を測定することである。

X線ビーム間の干渉により、X線定在波（XSW）場が形成されることがある。^{[33] X線の波長は短い（1ナノメートル未満）ため、この現象を利用して物質}表面での原子スケールのイベントを測定することができる。XSWは、X線ビームがほぼ完全な単結晶表面からの回折ビームまたはX線ミラーからの反射と干渉する領域で生成される。結晶の形状またはX線波長を調整することにより、XSWを空間的に移動させることができ、表面近くの原子からのX線蛍光または光電子収量にシフトを引き起こすことができる。このシフトを分析することで、基礎となる結晶構造またはミラー表面に対する特定の原子種の位置を正確に特定することができる。XSW法は、半導体中のドーパント^[34]、表面への原子および分子の吸着^{[35] 、および}触媒に関与する化学変換の原子スケールの詳細を明らかにするために使用されてきた。^[36]

定在波は、共鳴を利用して固体媒体に機械的に誘導することができます。わかりやすい例としては、2 人の人が縄跳びの両端を振っている場合が挙げられます。2 人が同期して振ると、縄は節と腹を持つ規則的なパターンを形成し、静止しているように見えます。これが定在波と呼ばれる理由です。同様に、片持ち梁にベース励起を適用することで、定在波を発生させることができます。この場合、自由端は梁に沿ったどの場所よりも横方向に最大距離移動します。このようなデバイスは、ファイバーの共鳴の周波数または位相の変化を追跡するためのセンサーとして使用できます。1 つの用途は、寸法計測用の測定デバイスです。^{[37] [38]}

地球上の定在表面波は地球の自由振動として観測されます。

ファラデー波は、流体力学的不安定性によって引き起こされる気液界面の非線形定在波である。これは、マイクロスケールの材料を組み立てるための液体ベースのテンプレートとして使用できます。^[39]

セイシュは、閉鎖された水域における定常波の一例である。セイシュは、水域の両端の水位が振動する特徴があり、通常、水位の変化がほとんど見られない水域の中央付近に節点がある。セイシュは、振動が存在しない単純な高潮とは区別する必要がある。大きな湖では、このような振動の周期は数分から数時間になることがある。例えば、レマン湖の縦周期は 73 分で、横方向のセイシュの周期は約 10 分である。^[40]一方、ヒューロン湖では、1 時間から 2 時間の周期で共鳴が見られる。^[41]湖のセイシュを参照。^{[42] [43] [44]}

• ハリデイ、デイビッド、レスニック、ロバート、ウォーカー、ジャール (2005)。物理学の基礎(第 7 版)。ジョン ワイリー アンド サンズ。ISBN 0-471-42959-7。
• Serway, Raymond A.; Faughn, Jerry S. (1992). College Physics (第 3 版). Saunders College Publishing. ISBN 0-03-076377-0。
• Streets, J. (2010). 「第16章 – 重ね合わせと定在波」(PDF)。物理学部。PHYS122 物理学の基礎 II。メリーランド大学。 2020年8月23日閲覧。

• ウィキメディア・コモンズの定在波に関するメディア