絶対積分可能な関数

数学において、絶対積分可能関数とは、その絶対値が積分可能な関数であり、つまり、領域全体にわたる絶対値の積分が有限であることを意味します。

実数値 関数 の場合、 $${\displaystyle \int |f(x)|\,dx=\int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx}$$$${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0),\ \ \ f^{-}(x)=\max(-f(x),0),}$$

と は両方とも有限でなければなりません。ルベーグ積分では、これはまさに、任意の測定可能な関数fが積分可能とみなされるための要件であり、その場合の積分は に等しくなります。そのため、実際には、測定可能な関数の場合、「絶対積分可能」は「ルベーグ積分可能」と同じことを意味します。 ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx}$${\textstyle \int f^{-}(x)\,dx}$ ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx-\int f^{-}(x)\,dx}$

同じことが複素数関数にも当てはまります。とが の実部と虚部である 場合に、 とを定義します 。すると と なります。これは、絶対値の積分が有限である場合にのみ、4 つの積分 (中央) の合計が有限であり、4 つの積分がすべて有限である場合にのみ、関数がルベーグ積分可能であることを示しています。したがって、絶対値の有限積分を持つことは、関数が「ルベーグ積分可能」であるための条件に相当します。 $${\displaystyle f^{+}(x)=\max(\Re f(x),0)}$$ $${\displaystyle f^{-}(x)=\max(-\Re f(x),0)}$$ $${\displaystyle f^{+i}(x)=\max(\Im f(x),0)}$$ $${\displaystyle f^{-i}(x)=\max(-\Im f(x),0)}$$${\displaystyle \Re f(x)}$${\displaystyle \Im f(x)}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle |f(x)|\leq f^{+}(x)+f^{-}(x)+f^{+i}(x)+f^{-i}(x)\leq {\sqrt {2}}\,|f(x)|}$$$${\displaystyle \int |f(x)|\,dx\leq \int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx+\int f^{+i}(x)\,dx+\int f^{-i}(x)\,dx\leq {\sqrt {2}}\int |f(x)|\,dx}$$

• 「絶対積分可能関数 – 数学百科事典」。2015年10月9日閲覧。

• タオ、テレンス、解析 2、第 3 版、数学のテキストと読み物、ヒンドゥスタン ブック エージェンシー、ニューデリー。