局所的にコンパクトなアーベル群

調和解析、位相幾何学、数論など、いくつかの数学分野において、局所コンパクトアーベル群とは、特に都合の良い位相を持つアーベル群のことである。例えば、整数群（離散位相を持つ）、実数群、円群（いずれも通常の位相を持つ）は、局所コンパクトアーベル群である。

定義と例

位相群は、基礎となる位相空間が局所コンパクトかつハウスドルフである場合に局所コンパクトと呼ばれ、基礎となる群がアーベル群である場合にアーベル群と呼ばれる。

局所的にコンパクトなアーベル群の例としては、以下のようなものがある。

$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nを正の整数とし、ベクトル加算を群演算とする。
正の実数 $\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 乗算を演算とする群。この群は以下と同型である。 $(\mathbb {R} ,+)$ 指数マップによって。
任意の有限アーベル群は、離散位相を持つ。有限アーベル群の構造定理により、そのような群はすべて巡回群の積である。
整数 $\mathbb {Z}$ さらに、ここでも離散トポロジーを用いる。
円群は、 $\mathbb {T}$ トーラスの場合。これは、法が1 の複素数の群です。 $\mathbb {T}$ 位相群として商群と同型である $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ 。
その分野 $\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ 通常のp進位相を持つ、加算に関するp進数。

デュアルグループ

もし $G$ は局所的にコンパクトなアーベル群であり、 $G$ は連続群準同型である $G$ 円グループ内の値 $\mathbb {T}$ . すべての文字のセット $G$ は局所的にコンパクトなアーベル群にすることができ、その双対群はと呼ばれる。 $G$ そして、 ${\ワイドハット {G}}$ 双対群上の群演算は、指標の点ごとの乗算によって与えられ、指標の逆は、その複素共役であり、指標空間上の位相は、コンパクト集合上の一様収束の位相（すなわち、コンパクト開位相）である。 ${\ワイドハット {G}}$ すべての連続関数の空間の部分集合として $G$ に $\mathbb {T}$ 。) この位相は一般に距離化できません。ただし、グループが $G$ が分離可能な局所コンパクトアーベル群であるならば、双対群は距離化可能である。

これは線形代数における双対空間に類似している。ベクトル空間の場合と同様である。 $V$ 野原を越えて $K$ 双対空間は $\mathrm {ホム} (V,K)$ 双数グループも同様です $\mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )$ より抽象的に言えば、これらはどちらも表現可能なファンクターの例であり、それぞれによって表現される。 $K$ そして $\mathbb {T}$ 。

位相群として双対群と同型である群を自己双対群と呼ぶ。実数群と有限巡回群は自己双対であるが、群と双対群は自然には同型ではなく、2つの異なる群として考えるべきである。

双対群の例

の二重性 $\mathbb {Z}$ 円群と同型である $\mathbb {T}$ 整数の無限巡回群上の指標 $\mathbb {Z}$ 加算における値は、生成元1における値によって決定されます。したがって、任意の文字に対して $\chi$ の上 $\mathbb {Z}$ 、 $\displaystyle \chi (n)=\chi (1)^{n}}$ さらに、この式は任意の選択に対して文字を定義します。 $\chi (1)$ で $\mathbb {T}$ この場合、コンパクト集合上の一様収束の位相は、点ごとの収束の位相に相当します。これは、複素数から受け継がれた円群の位相です。

の二重性 $\mathbb {T}$ は正準的に同型である $\mathbb {Z}$ 実際、 $\mathbb {T}$ 形式は $z\mapsto z^{n}$ のために $n$ 整数です。 $\mathbb {T}$ がコンパクトである場合、双対群上の位相は一様収束の位相であり、これは離散位相であることがわかります。

実数のグループ $\mathbb {R}$ は、自身の双対と同型です。 $\mathbb {R}$ 形式は $r\mapsto e^{i\theta r}$ のために $\theta$ 実数。これらの双対性により、次に紹介するフーリエ変換のバージョンは、古典的なフーリエ変換と一致します。 $\mathbb {R}$ 。