相対論的量子力学

物理学では、相対論的量子力学( RQM ) は、量子力学(QM)のポアンカレ共変形式です。この理論は、光速cに匹敵する速度までのすべての速度で伝播する質量のある粒子に適用でき、質量のない粒子にも対応できます。この理論は、高エネルギー物理学^[¹^] 、素粒子物理学および加速器物理学^[²^]、原子物理学、化学^[³^]、凝縮系物理学^[⁴^]^[⁵^]に応用されています。非相対論的量子力学は、ガリレオ相対性理論の文脈で適用される量子力学の数学的定式化を指し、より具体的には、動的変数を演算子に置き換えることによって古典力学の方程式を量子化します。相対論的量子力学(RQM) は、特殊相対性理論で適用される量子力学です。シュレーディンガー描像やハイゼンベルク描像といった初期の定式化は、もともと非相対論的な背景で定式化されたものだが、そのうちのいくつか（例えばディラックの定式化や経路積分形式）は特殊相対性理論でも機能する。

すべての相対論的量子力学に共通する重要な特徴には、反物質、基本スピン1/2フェルミオンのスピン磁気モーメント、微細構造、および電磁場中の荷電粒子の量子力学の予測が含まれます。^[⁶^]重要な結果はディラック方程式であり、そこからこれらの予測が自動的に導き出されます。対照的に、非相対論的量子力学では、実験観測との一致を達成するために、ハミルトニアン演算子に人為的に項を導入する必要があります。

最も成功し、最も広く使用されている相対論的量子力学は、素粒子を場の量子として解釈する相対論的量子場理論（QFT）である。他の相対論的量子力学と比較して検証されているQFTの特異な帰結は、例えば物質の生成と消滅における粒子数の保存の破綻である。^[⁷^]

ポール・ディラックの1927年から1933年にかけての研究は、特殊相対性理論と量子力学の統合を形作った。^{[ 8 ]}彼の研究は、ディラック方程式を定式化し、量子電磁力学を創始したことで、2つの理論を統合することに成功したため、非常に重要であった。^{[ 9 ]}

この記事では、方程式は一般的な 3Dベクトル解析の表記法で記述され、演算子にはハット記号が使用されています(文献では必ずしもそうとは限りません)。また、空間成分と時間成分をまとめることができる場合は、テンソル添え字表記法も示されています (文献ではよく使用されています)。さらに、アインシュタインの総和規約が使用されています。ここではSI 単位が使用されていますが、ガウス単位と自然単位も一般的な代替単位です。すべての方程式は位置表現です。運動量表現の場合は、方程式をフーリエ変換する必要があります(位置と運動量の空間を参照)。

特殊相対性理論と量子力学を組み合わせる

一つのアプローチは、シュレーディンガーの描像を特殊相対性理論と整合するように修正することである。^{[ 2 ]}

量子力学の公理の一つは、あらゆる量子系の時間発展はシュレーディンガー方程式によって与えられるということである。

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi

システムに対応する適切なハミルトニアン演算子 $Ĥを使用します。解は、時刻$ $t$ における粒子の3次元位置ベクトル $r$ の関数である複素数値波動関数 $ψ (r, t)$ であり、システムの挙動を記述します。

すべての粒子は非負のスピン量子数 $s$ を持ちます。数 $2 s$ は整数で、フェルミオンの場合は奇数、ボソンの場合は偶数です。各 $s$ $は2 s + 1 個の$ z射影量子数を持ちます $。σ$ $=$ $s 、 s - 1、... 、 - s + 1、 - s$ 。^{[ a ]}これは波動関数に必要な追加の離散変数です $。ψ (r 、 t$ $、$ $σ$ $)$ 。

歴史的に見ると、1920年代初頭にパウリ、クローニヒ、ウーレンベック、グーズミットがスピンの概念を初めて提唱しました。波動関数にスピンを取り入れることで、パウリの排他原理（1925年）と、フィエルツによるより一般的なスピン統計定理（1939年）が組み込まれ、その1年後にパウリによって再導出されました。これは、原子や原子核の電子配置（したがって周期表上のすべての元素とその化学）から、クォークの配置やカラー電荷（したがってバリオンや中間子の性質）に至るまで、多様な素粒子の挙動や現象を説明するものです。

特殊相対性理論の基本的な予測は、相対論的エネルギー・運動量関係です。静止質量 $m$ の粒子に対して、エネルギー $E$ と 3 次元運動量 $p$ を持つ特定の参照系において、その大きさは内積で表されます。 $p={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}$ 、それは：^{[ 10 ]}

E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +(mc^{2})^{2}\,.

これらの式は、それぞれ以下のエネルギー演算子と運動量演算子とともに使用されます。

{\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \,,

相対論的波動方程式(RWE)を構築するには、エネルギーと運動量の関係と整合する偏微分方程式を $ψ$ について解き、粒子の量子力学を予測します。相対性理論のように空間と時間を同等に扱うためには、空間と時間の偏微分の次数が等しく、理想的にはできるだけ低い値である必要があり、微分の初期値を指定する必要がないようにします。これは、以下に示すような確率の解釈にとって重要です。任意の微分方程式の最低次数は 1 次です (0 次微分は微分方程式を形成しません)。

ハイゼンベルク描像は量子力学の別の定式化であり、この場合、波動関数 $ψ$ は時間に依存せず、演算子 $A (t)$ は運動方程式によって支配される時間依存性を含みます。

{\frac {d}{dt}}A={\frac {1}{i\hbar }}[A,{\hat {H}}]+{\frac {\partial }{\partial t}}A\,,

この方程式は、ハイゼンベルク演算子がSRと整合するように修正されていれば、RQMでも成り立つ。^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

歴史的には、1926年頃、シュレーディンガーとハイゼンベルクが波動力学と行列力学が等価であることを示し、後にディラックが変換理論を用いてそれをさらに発展させた。

RWEに対するより現代的なアプローチは、あらゆるスピンの粒子に対するRWEの開発中に初めて導入されたもので、ローレンツ群の表現を適用することである。

空間と時間

古典力学と非相対論的量子力学では、時間はすべての観測者と粒子が常に同意できる絶対量であり、空間とは無関係に背景で「刻々と」進んでいます。したがって、非相対論的量子力学では、多粒子系に対して $ψ (r 1, r 2, r 3, ..., t, σ 1, σ 2, σ 3 ...)$ が成り立ちます。

相対論的力学では、空間座標と座標時間は絶対的なものではありません。互いに相対的に運動する2人の観測者は、事象の異なる位置と時間を測定できます。位置座標と時間座標は、事象に対応する4次元時空位置 $X = (ct, r)$ に自然に結合し、エネルギーと3次元運動量は、ある基準系で測定された動的粒子の4次元運動量 $P = (E / c, p)に自然に結合します。これは、元の基準系に対してブーストおよび/または回転された別の基準系で測定すると、$ ローレンツ変換に従って変化します。微分演算子、したがってエネルギー演算子と3次元運動量演算子も不変ではなく、ローレンツ変換の下で変化します。

ミンコフスキー空間における適切な直交ローレンツ変換 $(r, t) \to Λ(r, t)$ の下では、すべての 1 粒子量子状態 $ψ$ $σ は$ 、ローレンツ群の何らかの表現 $D$ の下で局所的に変換されます。^[¹³^]^[¹⁴^]

\psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t))

ここで、 $D (Λ)$ は有限次元表現、つまり $(2 s + 1) \times (2 s + 1)の$ 正方行列です。ここでも、 $ψは$ $σ$ の許容値 $(2$ $s$ $+ 1)$ を持つ成分を含む列ベクトルとみなされます。量子数 $s$ と $σ$ 、および他の量子数を表す連続または離散のラベルは省略されます。表現によっては、 $σの値が複数回出現する場合があります。$

非相対論的および相対論的ハミルトニアン

ポテンシャル中の粒子の古典的なハミルトニアンは、運動エネルギー $p$ $\cdot$ $p$ $/2$ $m$ とポテンシャルエネルギー $V$ $($ $r$ $,$ $t$ $)$ の合計であり、シュレーディンガー描像における対応する量子演算子は次のようになる。

{\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)

そしてこれを上記のシュレーディンガー方程式に代入すると、波動関数に対する非相対論的量子力学方程式が得られます。この手順は、単純な式を単純に代入するだけです。対照的に、相対論的量子力学ではこれはそれほど簡単ではありません。エネルギー・運動量方程式はエネルギーと運動量に関して二次式となり、困難が生じます。素朴に次のように設定します。

{\hat {H}}={\hat {E}}={\sqrt {c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+(mc^{2})^{2}}}\quad \Rightarrow \quad i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\sqrt {c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+(mc^{2})^{2}}}\,\psi

いくつかの理由から、これは役に立ちません。演算子の平方根はそのままでは使用できません。運動量演算子を各項でべき乗して $ψ$ に作用させるには、平方根をべき級数に展開する必要があります。べき級数の結果、空間微分と時間微分は完全に非対称になります。空間微分は無限階ですが、時間微分は 1 階のみで、これは洗練されておらず扱いにくいです。ここでも、平方根に等しいエネルギー演算子の不変性の問題があります。平方根も不変ではありません。もう 1 つの、より明白ではなく、より深刻な問題は、非局所的であることが示され、因果律に違反することさえあるということです。粒子が最初に点 $r$ $0に局在していて、$ $ψ$ $($ $r$ $0$ $,$ $t$ $= 0)$ が有限で他の場所ではゼロである場合、それ以降の任意の時刻では、方程式は、 $|$ $r$ $|$ であっても、どこでも $ψ$ $($ $r$ $,$ $t$ $) \neq 0 の$ 非局在化を予測します。 $>$ $ct は$ 、粒子が光パルスよりも先に到達する可能性があることを意味します。これは、追加の制約 $ψ$ $($ $|$ $r$ $| >$ $ct$ $,$ $t$ $) = 0$ によって修正する必要があります。^[¹⁵^]

また、非相対論的シュレーディンガー理論の予測ではない、ハミルトニアンにスピンを組み込むという問題もあります。スピンを持つ粒子は、ボーア磁子μB単位で量子化された対応するスピン磁気 $モーメント$ を持ち $ます$ 。^[¹⁶^]^[¹⁷^]

{\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-{\frac {g\mu _{B}}{\hbar }}{\hat {\mathbf {S} }}\,,\quad \left|{\boldsymbol {\mu }}_{S}\right|=-g\mu _{B}\sigma \,,

ここで、 $g$ は粒子の(スピン) g 因子であり、 $S は$ スピン演算子であるため、電磁場と相互作用します。外部から印加された磁場 $B$ 内の粒子の場合、相互作用項^{[ 18 ]}

{\hat {H}}_{B}=-\mathbf {B} \cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}

上記の非相対論的ハミルトニアンに追加する必要がある。逆に、相対論的ハミルトニアンは、相対論的エネルギー・運動量関係を強制するための要件として、スピンを自動的に導入する。 ^{[ 19 ]}

相対論的ハミルトニアンは、以下の点で非相対論的量子力学のハミルトニアンと類似しています。静止質量や外部場との相互作用項（古典的なポテンシャルエネルギー項に類似）を含む項、および古典的な運動エネルギー項のような運動量項があります。重要な違いは、相対論的ハミルトニアンには行列の形でスピン演算子が含まれており、行列の乗算はスピンインデックス $σ$ に沿って行われるため、一般に相対論的ハミルトニアンは次のようになります。

{\hat {H}}={\hat {H}}(\mathbf {r} ,t,{\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {S} }})

これは、空間、時間、運動量演算子、およびスピン演算子の関数である。

自由粒子に対するクライン・ゴルドン方程式とディラック方程式

エネルギー演算子と運動量演算子をエネルギー-運動量関係に直接代入すると、一見すると魅力的に思えるかもしれないが、クライン-ゴルドン方程式が得られる。^{[ 20 ]}

{\hat {E}}^{2}\psi =c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\psi +(mc^{2})^{2}\psi \,,

そして、その入手方法が簡単であったため、多くの人々によって発見されました。特に、1925年にシュレーディンガーが自身の名にちなんだ非相対論的方程式を発見する前、そして1927年にクラインとゴードンが、この方程式に電磁相互作用を含めて発見しました。これは相対論的に不変ですが、この方程式だけでは、少なくとも2つの理由からRQMの十分な基礎にはなりません。1つは負のエネルギー状態が解であること^[²^]^[²¹^]、もう1つは密度（以下に示す）であり、この方程式は現状ではスピンのない粒子にのみ適用可能です。この方程式は次の形式に因数分解できます。^[²²^]^[²³^]

\left({\hat {E}}-c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}-\beta mc^{2}\right)\left({\hat {E}}+c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2}\right)\psi =0\,,

ここで、 $α = (α 1, α 2, α 3)$ および $β$ は単なる数値やベクトルではなく、 $i$ $\neq$ $j$ に対して反交換関係にある必要がある4 × 4エルミート行列です。

\alpha _{i}\beta =-\beta \alpha _{i},\quad \alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i}\,,

そして単位行列の二乗となる。

\alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I\,,

これにより、混合二次微分を含む項は相殺され、空間と時間のみに関する二次微分のみが残ります。最初の因子：

\left({\hat {E}}-c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}-\beta mc^{2}\right)\psi =0\quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}=c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2}

はディラック方程式です。もう一方の因子もディラック方程式ですが、負の質量の粒子に対するものです。^{[ 22 ]}各因子は相対論的に不変です。推論は逆の方向で行うことができます。1928 年にディラックが行ったように、上記の形式でハミルトニアンを提案し、方程式に演算子のもう一方の因子 $E + c α \cdot p + βmc 2$ を前乗算し、KG 方程式との比較によって $α$ と $βの制約を決定します。正の質量方程式は$ $、$ 連続性を失うことなく引き続き使用できます。ψ に乗算される行列は、KG 方程式で許可されているスカラー波動関数ではなく、代わりに 4 成分の実体でなければならないことを示唆しています。ディラック方程式は依然として負のエネルギー解を予測します。^{[ 6 ]}^{[ 24 ]}そのため、パウリの排他原理によれば、原子内の正のエネルギー準位から負のエネルギー準位への電子遷移は禁止されるため、ディラックは負のエネルギー状態が常に占有されていると仮定しました。詳細はディラックの海を参照してください。

密度と流れ

非相対論的量子力学では、波動関数 $ψ$ の絶対値の二乗は確率密度関数 $ρ$ $= |$ $ψ$ $|$ $2$ を与えます。これは1927 年頃のコペンハーゲン解釈です。相対論的量子力学では、 $ψ$ $($ $r$ $,$ $t$ $)$ は波動関数ですが、確率解釈は非相対論的量子力学とは異なります。一部の相対論的方程式は、空間と時間の正定値関数ではないため、確率密度 $ρ$ または確率電流 $j$ (実際には確率電流密度を意味します) を予測しません。ディラック方程式は予測します: ^[²⁵^]

\rho =\psi ^{\dagger }\psi ,\quad \mathbf {j} =\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}{\boldsymbol {\gamma }}\psi \quad \rightleftharpoons \quad J^{\mu }=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\psi

ここでダガーはエルミート随伴を表し（著者は通常、ディラック随伴に対して $ψ = ψ † γ 0$ と書きます）、 $J$ $μ$ は確率 4 電流ですが、クライン-ゴルドン方程式ではそうではありません。 ^[²⁶^]

\rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,,\quad \mathbf {j} =-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)\quad \rightleftharpoons \quad J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})

ここで、 $\partialμ$ $は 4$ 次元勾配である。ψと $\partialψ$ $/$ $\partialt$ の初期値はどちらも自由に選択できるため $、$ 密度は負になる可能性がある。

その代わりに、一見「確率密度」と「確率電流」に見えるものは、電荷を乗じたときに電荷密度と電流密度として再解釈されなければならない。すると、波動関数 $ψ$ は波動関数ではなく、場として再解釈される。^[¹⁵^]電荷の密度と電流は常に連続方程式を満たす。

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0\quad \rightleftharpoons \quad \partial _{\mu }J^{\mu }=0\,,

電荷は保存量であるため、確率密度と電流も連続方程式を満たします。これは確率が保存されるためですが、これは相互作用がない場合にのみ可能です。

スピンと電磁的に相互作用する粒子

RWEに相互作用を含めることは一般的に困難です。最小結合は、電磁相互作用を含める簡単な方法です。磁場 $B$ $=$ $\nabla$ $\times$ $A$ と電気スカラーポテンシャル $ϕ$ $($ $r$ $,$ $t$ $)$ で定義される磁気ベクトルポテンシャル $A$ $($ $r$ $,$ $t$ $)$ で与えられる電磁場内の電荷 $q$ の1つの荷電粒子の場合、これは次のようになります。^[²⁷^]

{\hat {E}}\rightarrow {\hat {E}}-q\phi \,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}\rightarrow {\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \quad \rightleftharpoons \quad {\hat {P}}_{\mu }\rightarrow {\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu }

ここで、 $Pμ は$ 対応する4元運動量演算子を持つ 4元運動量であり、 $Aμ$ $は$ 4元ポテンシャルである。以下では、非相対論的極限とは、次の極限の場合を指す。

E-e\phi \approx mc^{2}\,,\quad \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} \,,

すなわち、電位が小さい場合、粒子の全エネルギーはほぼ静止エネルギーに等しく、運動量はほぼ古典的な運動量に等しい。

スピン0

RQMでは、KG方程式は最小限の結合処方を許容する。

{({\hat {E}}-q\phi )}^{2}\psi =c^{2}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}\psi +(mc^{2})^{2}\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[{({\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu })}{({\hat {P}}^{\mu }-qA^{\mu })}-{(mc)}^{2}\right]\psi =0.

電荷がゼロの場合、方程式は自明に自由KG方程式に帰着するため、以下では非ゼロ電荷を仮定します。これは、ローレンツ群の既約1次元スカラー $(0,0)$ $表現の下で不変なスカラー方程式です。これは、そのすべての解が(0,0)$ 表現の直和に属することを意味します。既約 $(0,0)$ 表現に属さない解は、2つ以上の独立成分を持ちます。スピン成分は独立ではないため、このような解は一般に非ゼロスピンの粒子を記述することはできません。そのためには、例えばスピン1/2のディラック方程式など、別の制約を課す必要があります（下記参照）。したがって、システムがKG方程式のみを満たす場合、それはゼロスピンのシステムとしてのみ解釈できます。

電磁場はマクスウェル方程式に従って古典的に扱われ、粒子はKG方程式の解である波動関数によって記述される。この方程式は、π中間子のような質量を持つスピンレス粒子は電磁相互作用に加えてはるかに強い強い相互作用を受けるため、現状では常に有用とは限らない。しかし、他の相互作用がない場合、荷電スピンレスボソンを正しく記述することができる。

KG方程式は、外部電磁ポテンシャル中のスピンレス荷電ボソンに適用できます。 [ 2 ^{]そのため}、電子はスピン1/2の粒子であるため、この方程式を原子の記述に適用することはできません。非相対論的極限では、この方程式は電磁場中のスピンレス荷電粒子のシュレーディンガー方程式に帰着します。^[¹⁸^]

\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi ={\frac {1}{2m}}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}\psi \quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}+q\phi .

スピン1/2

非相対論的に、スピンは1927年にパウリによって電磁場中の粒子に関するパウリ方程式に現象論的に導入された。

\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi =\left[{\frac {1}{2m}}{({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))}^{2}\right]\psi \quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))}^{2}+q\phi

2 × 2パウリ行列によって、 $ψ は$ 非相対論的シュレーディンガー方程式のように単なるスカラー波動関数ではなく、2 成分スピノル場となる。

\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\uparrow }\\\psi _{\downarrow }\end{pmatrix}}

$ここで、添え字↑と↓は「スピンアップ」(σ = + 1/2$ $)$ $状態$ と^「 $スピンダウン」 (σ$ = $- 1/2) 状態を表す$ 。 $[$ ^{b ]}

RQMでは、ディラック方程式は最小結合も組み込むことができ、それは上記のように書き換えられる。

\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi =\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot {({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}-mc^{2}\right]\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[\gamma ^{\mu }({\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu })-mc^{2}\right]\psi =0

そして、スピンを正確に予測する最初の式であり、4 × 4ガンマ行列 $γ 0 = β 、 γ = (γ 1 、 γ 2 、 γ 3) = β α = (βα 1 、 βα 2 、 βα 3)$ の結果である。エネルギー演算子 (ポテンシャルエネルギー項を含む) に前乗算される 4 × 4 単位行列があるが、慣習的に簡潔さと明確さのためには記述されない (つまり、数値 1 のように扱われる)。ここで $ψ$ は 4 成分スピノル場であり、慣習的に次の形式で 2 つの 2 成分スピノルに分割される: ^{[ c ]}

\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{+\uparrow }\\\psi _{+\downarrow }\\\psi _{-\uparrow }\\\psi _{-\downarrow }\end{pmatrix}}

2-スピノル $ψ + は$ 、4-運動量 $(E 、 p)$ と電荷 $q$ を持ち、2 つのスピン状態 ( $σ = \pm ⁠ 1 / 2 ⁠$ 、前述と同様) を持つ粒子に対応します。もう 2-スピノル $ψ -$ は、同じ質量とスピン状態を持つ同様の粒子ですが、負の4-運動量 $-(E 、 p)$ と負の電荷 $- q$ を持ち、つまり、負のエネルギー状態、時間反転した運動量、負の電荷を持ちます。これは、粒子とそれに対応する反粒子の最初の解釈と予測でした。これらのスピノルの詳細については、ディラックスピノルを参照してください。非相対論的極限では、ディラック方程式はパウリ方程式に帰着します (その方法については、ディラック方程式を参照してください)。1 電子の原子またはイオンに適用し、 $A = 0$ および $ϕ$ を適切な静電ポテンシャルに設定すると、追加の相対論的項には、スピン軌道相互作用、電子の磁気回転比、およびダーウィン項が含まれます。通常の量子力学では、これらの項は手動で入力し、摂動論を用いて処理する必要がある。正のエネルギーは微細構造を正確に説明する。

RQMの枠組みでは、質量のない粒子の場合、ディラック方程式は次のように簡略化される。

\left({\frac {\hat {E}}{c}}+{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\right)\psi _{+}=0\,,\quad \left({\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\right)\psi _{-}=0\quad \rightleftharpoons \quad \sigma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }\psi _{+}=0\,,\quad \sigma _{\mu }{\hat {P}}^{\mu }\psi _{-}=0\,,

その最初のものは、質量のないニュートリノに適用できる大幅な簡略化であるワイル方程式です。^[²⁸^]今回は、慣習的に記述されないエネルギー演算子に前乗算される 2 × 2単位行列があります。RQM では、これをエネルギー演算子 (時間微分) に結合する第 0 次パウリ行列 $σ$ $0$ とみなすと便利です。これは、他の 3 つの行列が運動量演算子 (空間微分) に結合するのと同様です。

パウリ行列とガンマ行列は、純粋数学そのものではなく、理論物理学においてここで導入された。これらは、重要な交換関係[ , ] と反交換関係[ , ] ₊をそれぞれ満たすため、四元数やSO(2)およびSO(3)リー群に応用される。

\left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]=2i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}\,,\quad \left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]_{+}=2\delta _{ab}\sigma _{0}

ここで、 $ε abc$ は3 次元のレヴィ・チヴィタ記号である。ガンマ行列はクリフォード代数の基底を形成し、反交換関係において平坦な時空ミンコフスキー計量 $η$ $αβ$ の成分と関連している。

\left[\gamma ^{\alpha },\gamma ^{\beta }\right]_{+}=\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }+\gamma ^{\beta }\gamma ^{\alpha }=2\eta ^{\alpha \beta }\,,

（これは四脚場を導入することで曲がった時空にも拡張できるが、特殊相対性理論の対象ではない。）

1929年、ブライト方程式は、電磁的に相互作用する2つ以上の質量を持つスピン1/2フェルミオンを一次の相対論的補正まで記述することが発見されました。これは、このような相対論的量子多粒子系を記述する最初の試みの1つです。しかし、これはまだ近似にすぎず、ハミルトニアンには多数の長くて複雑な和が含まれています。

らせん構造とキラリティ

ヘリシティ演算子は次のように定義される。

{\hat {h}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {\hat {\mathbf {p} }}{|\mathbf {p} |}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {c{\hat {\mathbf {p} }}}{\sqrt {E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}}

ここで、pは運動量演算子、S はスピンsの粒子のスピン演算子、Eは粒子の全エネルギー、m ₀はその静止質量です。ヘリシティは、スピンおよび並進運動量ベクトルの向きを示します。^{[ 29 ]}ヘリシティは、定義に 3 運動量があるためフレームに依存し、スピン量子化により量子化されます。スピン量子化は、平行整列に対して離散的な正の値、反平行整列に対して負の値をとります。

ディラック方程式（およびワイル方程式）において自動的に生じるのは、スピン1/2演算子の3次元運動量 ( c倍)への射影 $σ$ $\cdot$ $c$ $p$ であり、これは (スピン 1/2 の場合) ヘリシティにcを掛けたものです。 ${\sqrt {E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}$ 。

質量のない粒子の場合、ヘリシティは次のように単純化されます。

{\hat {h}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {c{\hat {\mathbf {p} }}}{E}}

より高いスピン

ディラック方程式はスピン 1/2 の粒子のみを記述できます。ディラック方程式を超えて、RWE はさまざまなスピンの自由粒子に適用されてきました。1936年にディラックは方程式をすべてのフェルミオンに拡張し、3 年後にフィエルツとパウリが同じ方程式を再導出しました。^[³⁰^]バーグマン-ウィグナー方程式は、1948 年にローレンツ群論を使用して発見され、任意のスピンを持つすべての自由粒子に適用できます。^[³¹^]^[³²^]上記の KG 方程式の因数分解を、より厳密にローレンツ群論によって考慮すると、行列の形でスピンを導入することが明らかになります。

波動関数は多成分スピノル場であり、空間と時間の関数の列ベクトルとして表すことができる。

\psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}

$ここで、$ 右辺の式はエルミート共役です。スピン $s$ の質量を持つ粒子の場合、粒子には2s+1個の成分があり、対応する反粒子にも2s+1個の成分 $が$ $あり$ ます（ $それぞれ$ $の$ 場合で2s+1個のσ値が可能です）。これらを合わせると、 $2$ $($ $2s$ $+$ $1$ ) $個$ $の$ $成分$ を持つスピノル場が形成されます。

\psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{+,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{+,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{+,\,\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{+,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{-,\,\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }{\begin{bmatrix}{\psi _{+,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{+,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{-,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}

添え字 + は粒子を、添え字 − は反粒子を表します。ただし、スピンsの質量ゼロの粒子の場合、スピノル場は常に 2 成分のみです。1 つは + sに対応するヘリシティ状態の粒子用、もう 1 つは− sに対応する反対のヘリシティ状態の反粒子用です。

\psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{pmatrix}\psi _{+}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-}(\mathbf {r} ,t)\end{pmatrix}}

相対論的なエネルギー・運動量関係によれば、質量のない粒子はすべて光速で移動するため、光速で移動する粒子も2成分スピノルで記述されます。歴史的には、エリー・カルタンが1913年に最も一般的な形のスピノルを発見しており、これは1927年以降にRWEで明らかになったスピノルに先立つものです。

高スピン粒子を記述する方程式では、相互作用の導入は単純な最小結合とは全く異なり、誤った予測や自己矛盾を引き起こします。^{[ 33 ]スピン}が ħ / 2より大きい場合、RWE は粒子の質量、スピン、電荷によって固定されません。スピン量子数によって許容される電磁モーメント (電気双極子モーメントと磁気双極子モーメント)は任意です。(理論的には、磁荷も寄与します)。たとえば、スピン1 / 2の場合は磁気双極子のみを許容しますが、スピン1 の粒子では磁気四重極と電気双極子も可能です。^[²⁸^]このトピックの詳細については、多重極展開と (たとえば) Cédric Lorcé (2009) を参照してください。^[³⁴^]^[³⁵^]

速度演算子

$シュレーディンガー/パウリ速度演算子は、古典的な定義p = m v$ を使用して質量のある粒子に対して定義でき、通常の方法で量子演算子を置き換えることができます。^{[ 36 ]}

{\hat {\mathbf {v} }}={\frac {1}{m}}{\hat {\mathbf {p} }}

固有値は任意の値をとる。RQM（ディラック理論）では、それは次のようになる。

{\hat {\mathbf {v} }}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {r} }}\right]

固有値は± cの範囲内にある必要があります。より詳しい理論的背景については、 Foldy–Wouthuysen変換を参照してください。

相対論的量子ラグランジアン

シュレーディンガー描像におけるハミルトニアン演算子は、 $ψ$ の微分方程式を構成する一つのアプローチである。同等の別の方法は、ラグランジアン（実際にはラグランジアン密度を意味する）を決定し、場の理論的オイラー・ラグランジュ方程式によって微分方程式を生成することである。

\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\,

一部の RWE では、ラグランジアンは目視で見つけることができます。たとえば、ディラックのラグランジアンは次のとおりです。^{[ 37 ]}

{\mathcal {L}}={\overline {\psi }}(\gamma ^{\mu }P_{\mu }-mc)\psi

そしてクライン・ゴルドン・ラグランジアンは次のようになる。

{\mathcal {L}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\psi ^{*}\partial _{\nu }\psi -mc^{2}\psi ^{*}\psi \,.

これはすべての RWE に対して可能というわけではなく、ローレンツ群論的アプローチが重要かつ魅力的な理由の 1 つは、空間と時間における基本的な不変性と対称性を使用して、適切な群表現を用いて RWE を導出できるからです。ψ の場の解釈を用いたラグランジアンアプローチは、 $RQM$ ではなく QFT の主題です。ファインマンの経路積分定式化では、ハミルトニアン演算子ではなく不変ラグランジアンを使用します。後者は非常に複雑になる可能性があるためです (例えば Weinberg (1995) を参照)。^{[ 38 ]}

相対論的量子角運動量

非相対論的量子力学では、角運動量演算子は古典的な擬似ベクトル定義 $L = r \times p$ から形成されます。相対論的量子力学では、位置演算子と運動量演算子は、粒子の 4 次元の位置と運動量から定義される軌道相対論的角運動量テンソルに現れる場所に直接挿入されます。これは、外積代数形式論における双ベクトルに相当します。^[³⁹^]^[^d^]

M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }=2X^{[\alpha }P^{\beta ]}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} \,,

これらは全部で6つの成分から成ります。3つは非相対論的な3軌道角運動量で、 $M 12 = L 3$ 、 $M 23 = L 1$ 、 $M 31 = L 2$ です。残りの3つ、 $M 01$ 、 $M 02$ 、 $M 03$ は回転する物体の重心のブーストです。スピンを持つ粒子の場合は、さらに相対論的量子項を追加する必要があります。静止質量 $m$ の粒子の場合、全角運動量テンソルは次のようになります。

J^{\alpha \beta }=2X^{[\alpha }P^{\beta ]}+{\frac {1}{m^{2}}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }W_{\gamma }p_{\delta }\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {J} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} +{\frac {1}{m^{2}}}{\star }(\mathbf {W} \wedge \mathbf {P} )

ここで、星印はホッジスター演算子を表し、

W_{\alpha }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }M^{\beta \gamma }p^{\delta }\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {W} =\star (\mathbf {M} \wedge \mathbf {P} )

はパウリ・ルバンスキー擬似ベクトルである。^{[ 40 ]}相対論的スピンの詳細については、(例えば) Troshin & Tyurin (1994) を参照のこと。^{[ 41 ]}

トーマス歳差運動とスピン軌道相互作用

1926年、トーマス歳差運動が発見された。これは素粒子のスピンに対する相対論的補正であり、原子のスピン軌道相互作用や巨視的物体の回転に応用される。 ^{[ 42 ]}^{[ 43 ]} 1939年、ウィグナーはトーマス歳差運動を導出した。

古典電磁気学および特殊相対性理論では、電場 $E$ の中を速度 $v$ で運動するが磁場 $B$ の中を運動しない電子は、自身の座標系においてローレンツ変換された磁場 $B$ $'$ を経験する。

\mathbf {B} '={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}{\sqrt {1-\left(v/c\right)^{2}}}}}\,.

非相対論的極限 $v << c$ では：

\mathbf {B} '={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}}}\,,

したがって、非相対論的スピン相互作用ハミルトニアンは次のように表されます。^{[ 44 ]}

{\hat {H}}=-\mathbf {B} '\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-\left(\mathbf {B} +{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}\,,

ここで、第１項は既に非相対論的磁気モーメント相互作用であり、第２項は $（ v / c ） 2のオーダーの相対論的補正であるが、これは実験的な原子スペクトルと$ 1/2倍の差で一致しない。L . Thomasは、第２の相対論的効果があることを指摘した。電子の速度に垂直な電場成分は、電子の瞬間速度に垂直な方向に追加の加速を引き起こし、電子は曲線軌道を描いて運動する。電子は回転座標系で運動し、この電子の追加的な歳差運動はトーマス歳差運動と呼ばれる^。この^{効果の正味の結果は、スピン軌道相互作用}^が半分に減少すること、つまり電子が受ける磁場の値が半分になるのと同義であることが示され[45]、ハミルトニアンの相対論的補正は次のようになる。

{\hat {H}}=-\mathbf {B} '\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-\left(\mathbf {B} +{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{2c^{2}}}\right)\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}\,.

RQMの場合、1/2の係数はディラック方程式によって予測される。^[⁴⁴^]

歴史

RQM の成立と確立、そして量子電磁力学(QED) への継続に至るまでの出来事を以下にまとめます [例えば、R. Resnick と R. Eisberg (1985) ^{[ 46 ]}およびPW Atkins (1974) ^{[ 47 ]}を参照]。1890 年代から 1950 年代にかけて、新しく神秘的な量子理論が台頭する中で、半世紀以上にわたる実験的および理論的研究により、多くの現象が QM だけでは説明できないことが明らかになりました。20 世紀初頭に発見された SR は、統一理論 RQM につながる必要不可欠な要素であることがわかりました。理論的予測と実験は、主に新たに発見された原子物理学、核物理学、および素粒子物理学に焦点を当て、分光法、粒子の回折と散乱、および原子と分子内の電子と原子核を考慮しました。数多くの結果がスピンの効果に起因するとされています。

量子現象における粒子の相対論的記述

アルベルト・アインシュタインは1905年に光電効果を説明し、光を光子として粒子的に記述しました。1916年、ゾンマーフェルトは微細構造を説明し、原子のスペクトル線が一次相対論的補正によって分裂することを示しました。1923年のコンプトン効果は、特殊相対性理論が適用されるというさらなる証拠を提供しました。この場合、光子と電子の散乱の粒子記述に適用されます。ド・ブロイは波動と粒子の二重性を物質に拡張し、特殊相対性理論と量子力学に整合するド・ブロイ関係式を提唱しました。1927年までに、デイヴィソンとゲルマー、そしてG.トムソンはそれぞれ独立して電子の回折に成功し、波動と粒子の二重性の実験的証拠を提供しました。

実験

1897年、JJトムソンが電子を発見し、その質量電荷比を測定した。ゼーマン効果の発見：静磁場の存在下でスペクトル線が複数の成分に分裂する現象。
1908年、ミリカンは電子の電荷を測定し、油滴実験で電子の量子化の実験的証拠を発見した。
1911年、ラザフォードが主導したガイガー・マースデン実験におけるアルファ粒子の散乱により、原子は内部構造、すなわち原子核を持っていることが示された。^[⁴⁸^]
1913年、シュタルク効果が発見される。これは、静電場によってスペクトル線が分裂する現象である（ゼーマン効果と比較）。
1922年のシュテルン＝ゲルラッハ実験：スピンとその量子化の実験的証拠。
1924年、ストーナーは磁場におけるエネルギー準位の分裂について研究した。
1932年、チャドウィックによる中性子の実験的発見、およびアンダーソンによる陽電子の発見により、陽電子の理論的予測が確認された。
1958年、メスバウアー効果の発見：固体に束縛された原子核によるガンマ線の共鳴的かつ反跳のない放出と吸収。重力赤方偏移と時間の遅れの正確な測定、および超微細相互作用における核電磁モーメントの解析に有用である。^{[ 49 ]}

量子非局所性と相対論的局所性

1935年、アインシュタイン、ローゼン、ポドルスキーは、量子もつれに関する論文^{[ 50 ]}を発表し、量子非局所性と特殊相対性理論で支持されている因果律の明らかな違反に疑問を呈した。粒子は任意の距離で瞬時に相互作用するように見えることがある。これは誤解であり、もつれ状態では情報は伝達されず、伝達することもできない。むしろ、情報の伝達は2人の観測者による測定の過程にある（一方の観測者が他方の観測者に信号を送る必要があり、その信号はcを超えることはできない）。量子力学は特殊相対性理論に違反しない。^[⁵¹^]^[⁵²^] 1959年、ボームとアハロノフは、アハロノフ・ボーム効果に関する論文^[⁵³^]を発表し、量子力学における電磁ポテンシャルの地位に疑問を呈した。電磁場テンソルと電磁4ポテンシャルの定式化はどちらもSRに適用できますが、QMではポテンシャルがハミルトニアンに入り（上記参照）、場がゼロの領域でも荷電粒子の運動に影響を与えます。1964年にベルの定理がEPRパラドックスに関する論文^[⁵⁴^]で発表され、局所性を維持するにはQMを局所隠れ変数理論から導出できないことが示されました。

ラムシフト

1947年にラムシフトが発見されました。これは、_{電子と真空の相互作用により、水素の 2S1/2}および2P1/2 レベルにわずかな差が生じる現象です。^ラム_とレザフォード^は_、_マイクロ_{波放射によって水素の 2S1/2 および 2P1/}₂レベルへの_誘導高周波遷移_を^実験的_に測定^しまし_た。_[ 55 ]^{ラムシフト}^の^説明はベーテによって提示されました。この効果に関する論文は 1950 年代初頭に発表されました。^[⁵⁶^]

量子電磁力学の発展

1927年、ディラックはQEDの分野を確立し、「量子電磁力学」という用語も考案した。^{[ 57 ]}
1943年、朝永は量子電磁力学（QED）に影響を与えた繰り込みの研究を開始した。
1947年、シュウィンガーは電子の異常磁気モーメントを計算した。クッシュは電子の異常磁気モーメントを測定し、量子電磁力学の偉大な予測の一つを裏付けた。

脚注

↑他の一般的な表記法には $m s$ や $s z$ などがありますが、これを使うと式が不要な添え字で煩雑になります。スピン値を表す添え字 $σ$ は、テンソルの添え字やパウリ行列と混同しないでください。
↑このスピノル表記は必ずしも標準的ではありません。文献では通常次のように書かれています。 $\psi ={\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\end{pmatrix}}$ または $\psi ={\begin{pmatrix}\chi \\\eta \end{pmatrix}}$ などですが、スピン⁠ 1 / 2 ⁠の文脈では、この非公式な識別が一般的に行われます。
↑この表記法は必ずしも標準的ではなく、より高度な文献では通常次のように書かれています。
$\psi ={\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\\v^{1}\\v^{2}\end{pmatrix}}$ 等。、
しかしここでは、エネルギー、ヘリシティ、スピン状態の対応関係を非公式に示す。
↑ペンローズを含む一部の著者は、時空におけるベクトルやテンソルにはギリシャ文字の添え字を使用するのが慣例であるにもかかわらず、この定義でラテン文字を使用しています。

参考文献

↑パーキンス、DH（2000）。高エネルギー物理学入門。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-62196-0。
1 2 3 4 Martin , BR; Shaw, G. (2008-12-03).素粒子物理学. マンチェスター物理学シリーズ（第3版）. John Wiley & Sons. p. 3. ISBN 978-0-470-03294-7。
↑ Reiher, M.; Wolf, A. (2009). Relativistic Quantum Chemistry . John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-62749-3。
↑ストレンジ、P. (1998).相対論的量子力学：凝縮系物理学および原子物理学への応用. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-56583-7。
↑ Mohn, P. (2003).固体における磁性：入門. Springer Series in Solid-State Sciences Series. Vol. 134. Springer. p. 6. ISBN 978-3-540-43183-1。
1 2 Martin, BR; Shaw, G. (2008-12-03).素粒子物理学. マンチェスター物理学シリーズ（第3版）. John Wiley & Sons. pp. 5 –6. ISBN 978-0-470-03294-7。
↑メサイア、A. (1981).量子力学。第2巻。ノースホランド出版。p. 875。ISBN 978-0-7204-0045-8。
↑シュウェバー、シルヴァン・S. (1994). QEDとそれを創り出した人々：ダイソン、ファインマン、シュウィンガー、朝永. プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局. p. 573. ISBN 978-0-691-21328-6。
↑ Bhaumik, Mani L. (2022). "ディラックの画期的な貢献が自然のより深い設計を理解する道を開く方法". Quanta . 8 (1): 88–100 . arXiv : 2209.03937 . doi : 10.12743/quanta.v8i1.96 . S2CID 212835814 .
↑ Forshaw, JR; Smith, AG (2009). Dynamics and Relativity . Manchester Physics Series. John Wiley & Sons. pp. 258 –259. ISBN 978-0-470-01460-8。
↑グライナー、 W. (2000).相対論的量子力学。波動方程式（第3版）。シュプリンガー。p. 70。ISBN 978-3-540-67457-3。
↑ Wachter, A. (2011). "相対論的量子力学" . Springer. p. 34. ISBN 978-90-481-3645-2。
↑ Weinberg, S. (1964). "Feynman Rules for Any spin" (PDF) . Phys. Rev . 133 (5B): B1318– B1332. Bibcode : 1964PhRv..133.1318W . doi : 10.1103/PhysRev.133.B1318 . 2020-12-04 にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。2014-08-24に取得。; Weinberg, S. (1964). "任意のスピンに対するファインマン規則。II. 質量のない粒子" (PDF) . Phys. Rev . 134 (4B): B882– B896. Bibcode : 1964PhRv..134..882W . doi : 10.1103/PhysRev.134.B882 . 2022-03-09 のオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。2013-04-14に取得。; Weinberg, S. (1969). "Feynman Rules for Any spin. III" (PDF) . Phys. Rev . 181 (5): 1893– 1899. Bibcode : 1969PhRv..181.1893W . doi : 10.1103/PhysRev.181.1893 . 2022-03-25 のオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。2013-04-14に取得。
↑ Masakatsu, K. (2012). "Bargmann–Wigner形式における回転ブラックホールのボソンとフェルミオンの超放射問題". arXiv : 1208.0644 [ gr-qc ].
1 2パーカー、CB（1994）。マグロウヒル物理学百科事典（第2版）。マグロウヒル。pp . 1193–1194。ISBN 978-0-07-051400-3。
↑ Resnick, R.; Eisberg, R. (1985).原子、分子、固体、原子核、粒子の量子物理学（第2版）. John Wiley & Sons. p. 274. ISBN 978-0-471-87373-0。
↑ Landau, LD; Lifshitz, EM (1981). Quantum Mechanics Non-Relativistic Theory . Vol. 3. Elsevier. p. 455. ISBN 978-0-08-050348-6。
1 2ペレグ、Y.プニーニ、R.ザールル、E.ヘクト、E. (2010)。量子力学。シャウムの概要（第 2版）。マグロウヒル。 p. 181.ISBN 978-0-07-162358-2。
↑アバース、E. (2004).量子力学. アディソン・ウェスリー. p. 425. ISBN 978-0-13-146100-0。
↑ Wachter, A. (2011). "相対論的量子力学" . Springer. p. 5. ISBN 978-90-481-3645-2。
↑アバース、E. (2004).量子力学. アディソン・ウェスリー. p. 415. ISBN 978-0-13-146100-0。
1 2ペンローズ、R. (2005). 『現実への道』ヴィンテージブックス、620–621頁。ISBN 978-0-09-944068-0。
↑ Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Physics of Atoms and Molecules (1st ed.). Prentice Hall. p. 634. ISBN 978-0-582-44401-0。
↑ Grandy, WT (1991).レプトンと場の相対論的量子力学. Springer. p. 54. ISBN 978-0-7923-1049-5。
↑アバース、E. (2004).量子力学. アディソン・ウェスリー. p. 423. ISBN 978-0-13-146100-0。
↑ McMahon, D. (2008). Quantum Field Theory . Demystified. McGraw Hill. p. 114. ISBN 978-0-07-154382-8。
↑ Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Physics of Atoms and Molecules (1st ed.). Prentice Hall. pp. 632–635 . ISBN 978-0-582-44401-0。
1 2パーカー、CB（1994）。マグロウヒル物理学百科事典（第2版）。マグロウヒル。p . 1194。ISBN 978-0-07-051400-3。。
↑ Labelle, P. (2010).超対称性. 解明. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-163641-4。
↑ Esposito, S. ( 2011). "方程式の探索: ディラック、マヨラナ、その他". Annals of Physics . 327 (6): 1617–1644 . arXiv : 1110.6878 . Bibcode : 2012AnPhy.327.1617E . doi : 10.1016/j.aop.2012.02.016 . S2CID 119147261 .
↑ Bargmann, V.; Wigner, EP (1948). "相対論的波動方程式の群論的考察" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 34 (5): 211– 23. Bibcode : 1948PNAS...34..211B . doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID 16578292 .
↑ Wigner, E. (1937). "On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group" (PDF) . Annals of Mathematics . 40 (1): 149– 204. Bibcode : 1939AnMat..40..149W . doi : 10.2307/1968551 . JSTOR 1968551 . S2CID 121773411 . 2015-10-04 のオリジナル(PDF)からアーカイブ済み. 2013-04-14に取得.
↑ Jaroszewicz, T.; Kurzepa, PS (1992). "回転粒子の時空伝播の幾何学". Annals of Physics . 216 (2): 226– 267. Bibcode : 1992AnPhy.216..226J . doi : 10.1016/0003-4916(92)90176-M .
↑ Lorcé, Cédric (2009). "任意スピン粒子の電磁特性：パート1 - 電磁電流と多重極分解". arXiv : 0901.4199 [ hep-ph ].
↑ Lorcé, Cédric (2009). "任意スピン粒子の電磁特性: パート 2 − 自然モーメントと横方向電荷密度". Physical Review D . 79 (11) 113011. arXiv : 0901.4200 . Bibcode : 2009PhRvD..79k3011L . doi : 10.1103/PhysRevD.79.113011 . S2CID 17801598 .
↑ストレンジ、P. (1998).相対論的量子力学：凝縮系物理学および原子物理学への応用. ケンブリッジ大学出版局. p. 206. ISBN 978-0-521-56583-7。
↑ Labelle, P. (2010).超対称性. 解明. McGraw-Hill. p . 14. ISBN 978-0-07-163641-4。
↑ Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields . Vol. 1. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55001-7。
↑ペンローズ、R. (2005). 『現実への道』ヴィンテージブックス。437、566–569頁。ISBN 978-0-09-944068-0。
↑ライダー、LH (1996).量子場理論（第2版）. ケンブリッジ大学出版局. p. 62. ISBN 978-0-521-47814-4。
↑ Troshin, SM; Tyurin, NE (1994). Spin phenomena in particle interactions . World Scientific. Bibcode : 1994sppi.book.....T . ISBN 978-981-02-1692-4。
↑ミスナー、CW ;ソーン、KS ;ウィーラー、JA (1973 年 9 月 15 日).重力. マクミラン. p. 1146. ISBN 978-0-7167-0344-0。
↑ Ciufolini, I.; Matzner, RRA (2010).一般相対性理論とジョン・アーチボルド・ホイーラー. Springer. p. 329. ISBN 978-90-481-3735-0。
1 2 Kroemer, H. (2003). "スピン軌道相互作用におけるトーマス歳差運動因子" (PDF) . American Journal of Physics . 72 (1): 51– 52. arXiv : physics/0310016 . Bibcode : 2004AmJPh..72...51K . doi : 10.1119/1.1615526 . S2CID 119533324 .
↑ Jackson , JD (1999). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. p. 548. ISBN 978-0-471-30932-1。
↑ Resnick, R.; Eisberg, R. (1985).原子、分子、固体、原子核、および粒子の量子物理学（第2版）。John Wiley & Sons. pp. 57, 114–116 , 125–126 , 272. ISBN 978-0-471-87373-0。
↑アトキンス、PW（1974）。『量子：概念ハンドブック』オックスフォード大学出版局、168-169、176、263、228頁。ISBN 978-0-19-855493-6。
↑クレーン、KS（1988）。入門核物理学。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。396 ～ 405ページ。ISBN 978-0-471-80553-3。
↑ Krane, KS (1988). Introductory Nuclear Physics . John Wiley & Sons. pp. 361–370 . ISBN 978-0-471-80553-3。
↑アインシュタイン、A.、ポドルスキー、B.、ローゼン、N. (1935)。「物理的現実の量子力学的記述は完全であると考えられるか？」(PDF) . Phys. Rev . 47 (10): 777– 780. Bibcode : 1935PhRv...47..777E . doi : 10.1103/PhysRev.47.777 .
↑アバース、E. (2004).量子力学. アディソン・ウェスリー. p. 192. ISBN 978-0-13-146100-0。
↑ペンローズ、 R. (2005). 『現実への道』ヴィンテージブックス。ISBN 978-0-09-944068-0。第23章：絡み合った量子世界
↑ Aharonov, Y.; Bohm, D. (1959). "量子論における電磁ポテンシャルの意義" . Physical Review . 115 (3): 485– 491. Bibcode : 1959PhRv..115..485A . doi : 10.1103/PhysRev.115.485 .
↑ Bell, John (1964). "アインシュタイン・ポドルスキー・ローゼン・パラドックスについて" (PDF) . Physics . 1 (3): 195– 200. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
↑ Lamb, Willis E. ; Retherford, Robert C. (1947). "マイクロ波法による水素原子の微細構造" . Physical Review . 72 (3): 241– 243. Bibcode : 1947PhRv...72..241L . doi : 10.1103/PhysRev.72.241 .
↑ Lamb, WE Jr. & Retherford, RC (1950). "水素原子の微細構造。パート I". Phys. Rev . 79 (4): 549– 572. Bibcode : 1950PhRv...79..549L . doi : 10.1103/PhysRev.79.549 .Lamb, WE Jr. & Retherford, RC (1951). "水素原子の微細構造。パート II". Phys. Rev. 81 ( 2): 222– 232. Bibcode : 1951PhRv...81..222L . doi : 10.1103/PhysRev.81.222 .Lamb, WE Jr. (1952). "水素原子の微細構造 III". Phys. Rev. 85 ( 2): 259–276 . Bibcode : 1952PhRv...85..259L . doi : 10.1103/PhysRev.85.259 . PMID 17775407 . Lamb, WE Jr. & Retherford, RC (1952). "水素原子の微細構造 IV". Phys. Rev. 86 ( 6): 1014–1022 . Bibcode : 1952PhRv...86.1014L . doi : 10.1103/PhysRev.86.1014 . PMID 17775407 . Triebwasser, S.; Dayhoff, ES & Lamb, WE Jr. (1953). "水素原子の微細構造 V". Phys. Rev. 89 ( 1): 98–106 . Bibcode : 1953PhRv...89...98T . doi : 10.1103/PhysRev.89.98 .
↑ディラック、ポール (1927-03-01)。「放射の放出と吸収の量子論」。ロンドン王立協会紀要。シリーズ A、数学および物理学に関する論文を含む。114 ( 767 ) : 243–265。Bibcode : 1927RSPSA.114..243D。doi : 10.1098 / rspa.1927.0039。ISSN 0950-1207。

厳選された書籍

ディラック、PAM（1981）。量子力学の原理（第4 版）。クラレンドン・プレス。ISBN 978-0-19-852011-5。
ディラック、PAM（1964）。量子力学講義。クーリエ・ドーバー出版。ISBN 978-0-486-41713-4。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
Thaller, B. (2010).ディラック方程式. Springer. ISBN 978-3-642-08134-7。
パウリ、W. (1980).量子力学の一般原理. スプリンガー. ISBN 978-3-540-09842-3。
メルツバッハー、E. (1998).量子力学（第3 版）. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 978-0-471-88702-7。
メサイア、A. (1961).量子力学第1巻. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 978-0-471-59766-7。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
ビョルケン、JD; ドレル、SD (1964).相対論的量子力学 (純粋および応用物理学) . マグロウヒル。ISBN 978-0-07-005493-6。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
ファインマン、RP; レイトン、RB; サンズ、M. (1965).ファインマン物理学講義第 3巻. アディソン・ウェスリー. ISBN 978-0-201-02118-9。
シフ、LI（1968）。量子力学（第3 版）。マグロウヒル。
ダイソン、F. (2011).高度量子力学（第2 版）. ワールドサイエンティフィック. ISBN 978-981-4383-40-0。
クリフトン、RK（2011）。量子現実に関する展望：非相対論的、相対論的、および場の理論的。シュプリンガー。ISBN 978-90-481-4643-7。
タンノウジ、Ｃ．ディウ、B.ラロエ、F. (1977)。量子力学。 Vol. 1.ワイリーVCH。ISBN 978-0-471-16433-3。
タンノウジ、Ｃ．ディウ、B.ラロエ、F. (1977)。量子力学。 Vol. 2.ワイリーVCH。ISBN 978-0-471-16435-7。
Rae, AIM (2008).量子力学. 第 2巻 (第5 版). Taylor & Francis. ISBN 978-1-58488-970-0。
ピルクーン、H. (2005).相対論的量子力学. 物理学テキストおよびモノグラフシリーズ（第2 版）. シュプリンガー. ISBN 978-3-540-28522-9。
パルタサラティ、R. (2010).相対論的量子力学. アルファサイエンスインターナショナル. ISBN 978-1-84265-573-3。
Kaldor, U.; Wilson, S. (2003).重元素および超重元素の理論化学と物理学. Springer. ISBN 978-1-4020-1371-3。
Thaller, B. (2005).高度な視覚的量子力学. Springer. Bibcode : 2005avqm.book.....T . ISBN 978-0-387-27127-9。
Breuer, HP; Petruccione, F. (2000).相対論的量子測定とデコヒーレンス. Springer. ISBN 978-3-540-41061-4相対論的量子力学。
シェパード、 PJ（2013）。理論物理学入門。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 978-1-118-51692-8。
Bethe, HA ; Jackiw, RW (1997).中級量子力学. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-32831-8。
ハイトラー、W. (1954).放射の量子論（第3 版）. クーリエ・ドーバー出版. ISBN 978-0-486-64558-2。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
ゴットフリート、K.、ヤン、T. (2003).量子力学：基礎（第2 版）. シュプリンガー. p. 245. ISBN 978-0-387-95576-6。
シュワブル、F. (2010).量子力学. シュプリンガー. p. 220. ISBN 978-3-540-71933-5。
Sachs , RG (1987).時間反転の物理学（第2 版）. シカゴ大学出版局. p. 280. ISBN 978-0-226-73331-9相対論的量子力学における超微細構造。

量子物理学における群論

ワイル、H. (1950).群論と量子力学.クーリエ・ドーバー出版. p. 203. ISBN 978-0-486-60269-1相対論的量子力学における磁気モーメント。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
Tung, WK (1985).物理学における群論. World Scientific. ISBN 978-9971-966-56-0。
Heine, V. (1993).量子力学における群論：その現代的利用法入門. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-67585-5。

厳選論文

ディラック、PAM (1932)。「相対論的量子力学」。王立協会紀要A。136 ( 829 ) : 453–464。Bibcode : 1932RSPSA.136..453D。doi : 10.1098 / rspa.1932.0094。
パウリ、W. (1945). 「排他原理と量子力学」(PDF)。
Antoine, JP (2004). "相対論的量子力学". J. Phys. A . 37 (4): 1465. Bibcode : 2004JPhA...37.1463P . CiteSeerX 10.1.1.499.2793 . doi : 10.1088/0305-4470/37/4/B01 .
Henneaux, M.; Teitelboim, C. (1982). 「超対称性粒子の相対論的量子力学」第 143巻。
Fanchi, JR (1986). "相対論的量子力学のパラメータ化". Phys. Rev. A . 34 (3): 1677– 1681. Bibcode : 1986PhRvA..34.1677F . doi : 10.1103/PhysRevA.34.1677 . PMID 9897446 .
Ord, GN (1983). "フラクタル時空：相対論的量子力学の幾何学的類似体". J. Phys. A . 16 (9): 1869– 1884. Bibcode : 1983JPhA...16.1869O . doi : 10.1088/0305-4470/16/9/012 .
Coester, F.; Polyzou, WN (1982). "直接相互作用を持つ粒子の相対論的量子力学". Phys. Rev. D . 26 (6): 1348– 1367. Bibcode : 1982PhRvD..26.1348C . doi : 10.1103/PhysRevD.26.1348 .
Mann, RB; Ralph, TC (2012). "相対論的量子情報". Class. Quantum Grav . 29 (22) 220301. Bibcode : 2012CQGra..29v0301M . doi : 10.1088/0264-9381/29/22/220301 . S2CID 123341332 .
Low, SG (1997). "正準相対論的量子力学: ユニタリ半直接ハイゼンベルク群の表現、U(1,3) *s H(1,3)". J. Math. Phys . 38 (22): 2197–2209 . arXiv : physics/9703008 . Bibcode : 2012CQGra..29v0301M . doi : 10.1088/0264-9381/29/22/220301 . S2CID 123341332 .
Fronsdal, C.; Lundberg, LE (1997). "2つの相互作用粒子の相対論的量子力学". Phys. Rev. D . 1 (12): 3247– 3258. arXiv : physics/9703008 . Bibcode : 1970PhRvD...1.3247F . doi : 10.1103/PhysRevD.1.3247 .
Bordovitsyn, VA; Myagkii, AN (2004). "スピン軌道運動とトーマス歳差運動の古典理論と量子理論における考察" (PDF) . American Journal of Physics . 72 (1): 51– 52. arXiv : physics/0310016 . Bibcode : 2004AmJPh..72...51K . doi : 10.1119/1.1615526 . S2CID 119533324 .
Rȩbilas, K. (2013). 「『速度、ウィグナー回転、トーマス歳差運動の特殊相対論的組み合わせの初等的解析』に対するコメント」". Eur. J. Phys . 34 (3): L55– L61. Bibcode : 2013EJPh...34L..55R . doi : 10.1088/0143-0807/34/3/L55 . S2CID 122527454 .
Corben, HC (1993). "磁気モーメント、スピン軌道結合、およびトーマス歳差運動における2の係数". Am. J. Phys . 61 (6): 551. Bibcode : 1993AmJPh..61..551C . doi : 10.1119/1.17207 .

さらに読む