線形代数 において、内積空間 内の2つのベクトルは、 直交 単位ベクトル である場合に正規直交 である。単位ベクトルとは、ベクトルの長さが1であることを意味し、正規化されているとも呼ばれる。直交とは、2つのベクトルが互いに垂直であることを意味する。ベクトルの集合は、その集合内のすべてのベクトルが互いに直交し、かつすべて単位長である場合に正規直交集合を形成する。 基底 を形成する正規直交集合は、正規直交基底
直感的な概要 ベクトルの直交性 の構築は、ベクトルが垂直であるという直感的な概念を高次元空間に拡張したいという願望から生まれたものです。デカルト座標系 では、2つのベクトル間の角度が90°（つまり直角をなす）であれば、それらの ベクトルは 垂直で あると言われます。この定義は、デカルト座標 系において、内積を定義し、平面上の2つのベクトルの内積がゼロであれば直交すると指定することで形式化できます。
同様に、ベクトルのノルム の構築は、ベクトルの長さという直感的な概念を高次元空間に拡張したいという願望から生じています。デカルト空間では、ベクトルの ノルム は、ベクトル自身との内積の平方根です。つまり、
‖ x ‖ = x ⋅ x {\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}} 線形代数 における多くの重要な結果は、2つ以上の直交ベクトルの集合を扱います。しかし、多くの場合、単位長 のベクトルを扱う方が簡単です。つまり、ノルムが1に等しいベクトルのみを考慮する方が、物事が単純化されることがよくあります。直交ベクトルのペアを単位長のベクトルのみに制限するという概念は、特別な名前が付けられるほど重要です。直交し、長さが1の2つのベクトルは、正規直交 であると言われます。
簡単な例 2次元ユークリッド空間における直交ベクトルのペアはどのような形をしているのでしょうか？
u = (x 1 , y 1 )、v = (x 2 , y 2 )とする。uとvが正規 直交 ペアを形成するために必要なx 1 、x 2 、y 1 、y 2 に対する制約を考える。
直交性の制約から、u • v = 0 となる。 u の単位長さ制限から、|| u || = 1 となります。v の長さが単位であるという制約から、|| v || = 1 となります。これらの項を展開すると、次の3つの式が得られます。
x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 {\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad } x 1 2 + y 1 2 = 1 \displaystyle {\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1} x 2 2 + y 2 2 = 1 \displaystyle {\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1} デカルト座標から極座標 に変換し、式を考慮すると、（ 2 ） {\displaystyle (2)} （ 3 ） {\displaystyle (3)} すぐに r 1 = r 2 = 1という結果が得られます。言い換えれば、ベクトルの長さが単位であるという条件は、ベクトルが単位円 上にあることを制限します。
代入後、式（ 1 ） {\displaystyle (1)} コス θ 1 コス θ 2 + 罪 θ 1 罪 θ 2 = 0 {\displaystyle \cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=0} タン θ 1 = − ベビーベッド θ 2 \tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}} 余接 項を変換するために三角関数の恒等式 を使用すると、
タン （ θ 1 ） = タン （ θ 2 + π 2 ） {\displaystyle \tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)} ⇒ θ 1 = θ 2 + π 2 \displaystyle \Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}} 平面上では、正規直交ベクトルは、角度の差が90°になる単位円の半径に他ならないことは明らかである。
意味 させてV {\displaystyle {\mathcal {V}}} 内積空間 である。ベクトルの集合
{ u 1 、 u 2 、 … 、 u n 、 … } ∈ V {\displaystyle \left\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \right\}\in {\mathcal {V}}} は、次の場合に限り 正規直交 と呼ばれます。
∀ 私 、 j : ⟨ u 私 、 u j ⟩ = δ 私 j {\displaystyle \forall i,j:\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}} どこδ 私 j {\displaystyle \delta _{ij}\,} クロネッカーデルタ であり、⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 内積 は、V {\displaystyle {\mathcal {V}}}
意義 正規直交集合はそれ自体では特に重要な意味を持つものではありません。しかし、それらはベクトル空間上の特定の作用素の 対角化可能性 という概念を探求する上で、基礎となるいくつかの特徴を備えています。
物件 正規直交集合には、非常に魅力的な特性がいくつかあり、そのため扱いやすいという利点があります。
定理 。{ e 1 , e 2 , ..., e n ∀ 1 := [ 1 1 、 ⋯ 、 1 n ] ; ‖ 1 1 e 1 + 1 2 e 2 + ⋯ + 1 n e n ‖ 2 = | 1 1 | 2 + | 1 2 | 2 + ⋯ + | 1 n | 2 {\displaystyle \forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}\|^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}} 定理 。すべての正規直交ベクトルリストは線形独立で ある。
存在 グラム・シュミットの定理 v 1 , v 2 ,..., v n } が内積空間内の線形独立なベクトルのリストであるV {\displaystyle {\mathcal {V}}} e 1 , e 2 ,..., e n } が存在する。 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} span ( e 1 , e 2 ,..., e n ) = span ( v 1 , v 2 ,..., v n )となるように。グラム・シュミットの定理の証明は構成的 であり、他の文献で詳しく論じられている 。グラム・シュミットの定理は選択公理 とともに、すべてのベクトル空間が正規直交基底を持つことを保証する。これはおそらく正規直交性の最も重要な用途であり、この事実によって内積空間上の演算子を 、その空間の正規直交基底ベクトルに対する作用という観点から議論することができる。その結果、演算子の対角化可能性と、それが正規直交基底ベクトルにどのように作用するかとの間に深い関係が生じる。この関係はスペクトル定理 によって特徴づけられる。
例
標準基準 座標空間 F n 基底 は
i≠ j である任意の 2 つのベクトルe i 、e j は直交しており、すべてのベクトルは明らかに単位長です。したがって、{ e 1 、e 2 、...、e n } は正規直交基底を形成します。
フーリエ級数 フーリエ級数は、周期関数を正弦波 基底 関数で表現する方法です。C [−π,π] を区間 [−π,π] で連続するすべての実数値関数の空間とし、内積を次のようにします。
⟨ f 、 g ⟩ = ∫ − π π f （ x ） g （ x ） d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx} 示すことができるのは
{ 1 2 π 、 罪 （ x ） π 、 罪 （ 2 x ） π 、 … 、 罪 （ n x ） π 、 コス （ x ） π 、 コス （ 2 x ） π 、 … 、 コス （ n x ） π } 、 n ∈ N {\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N} } 正規直交系を形成する。
しかし、これはほとんど問題になりません。なぜなら、C [−π,π] は無限次元であり、有限個のベクトルではそれを張ることができないからです。しかし、n が有限であるという制約を取り除くと、その集合はC [−π,π]内で稠密になり、したがって C [−π,π]の正規直交基底となります。
![{\displaystyle \forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}\|^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6fa6833dee116691352686964905035e2ccb39)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle (2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0449227490994031a067a06f55e857c569b4c5ad)
