ポントリャーギンの二重性

数学において、ポンチャギン双対性は、局所コンパクトアーベル群間の双対性であり、円周群（係数 1 の複素数の乗法群）、有限アーベル群（離散位相）、整数の加法群（離散位相 ）、実数、および実数またはp進体上のすべての有限次元ベクトル空間を含むすべてのそのような群にフーリエ変換を一般化することを可能にします。

局所コンパクトアーベル群のポントリャーギン双対は、点ごとの乗算の演算を伴う群から円群への連続群準同型とコンパクト集合上の一様収束の位相によって形成される局所コンパクトアーベル位相群です。ポントリャーギン双対定理は、任意の局所コンパクトアーベル群がその双対（その双対の双対）と自然に同型であることを述べて、ポントリャーギン双対性を確立します。フーリエ反転定理はこの定理の特殊なケースです。

この主題は、1934 年の初期の数学研究で局所コンパクト アーベル群とその双対性の理論の基礎を築いたレフ ポントリャーギンにちなんで名付けられました。ポントリャーギンの扱いは、群が2 番目に可算で、コンパクトまたは離散的であることに依存していました。これは、1935 年にエグベルト ファン カンペンによって、1940 年にアンドレ ヴェイユによって、一般的な局所コンパクト アーベル群をカバーするように改良されました。

ポンチャギン双対性は、実数直線上または有限アーベル群上の関数に関するいくつかの観察を統一された文脈に置く。

• 実数直線上の適切に規則的な複素数値周期関数はフーリエ級数を持ち、これらの関数はフーリエ級数から復元できます。
• 実数直線上の適切に正規化された複素数値関数は、実数直線上の関数でもあるフーリエ変換を持ち、周期関数の場合と同様に、これらの関数はフーリエ変換から復元できます。
• 有限アーベル群上の複素数値関数には離散フーリエ変換があり、これは（非正準的に）同型群である双対群上の関数です。さらに、有限アーベル群上の任意の関数は、その離散フーリエ変換から復元できます。

レフ・ポンチャギンによって導入され、ジョン・フォン・ノイマン、アンドレ・ヴェイユらによって導入されたハール測度と組み合わされたこの理論は、局所コンパクトアーベル群の双対群の理論に依存しています。

これはベクトル空間の双対ベクトル空間に似ています。有限次元ベクトル空間とその双対ベクトル空間は自然に同型ではありませんが、一方の自己準同型代数（行列代数）は、転置を介して、もう一方の自己準同型代数の反対に同型です。同様に、群とその双対群は一般に同型ではありませんが、それらの自己準同型環は互いに反対です。よりカテゴリ的に言えば、これは単なる自己準同型代数の同型ではなく、カテゴリの反変同値です。§カテゴリの考慮事項を参照してください。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle {\text{End}}(V)\cong {{\text{End}}(V^{*})}^{\text{op}},}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle {\text{End}}(G)\cong {\text{End}}({\widehat {G}})^{\text{op}}}$

位相群は、基礎となる位相空間が局所コンパクトかつハウスドルフである場合に局所コンパクト群です。位相群は、基礎となる群がアーベル である場合にアーベル群です。局所コンパクト アーベル群の例には、有限アーベル群、整数 (どちらも通常の計量によっても誘導される離散位相の場合)、実数、円群T (どちらも通常の計量位相を持つ)、およびp進数(通常のp進位相を持つ) が含まれます。

局所コンパクトアーベル群 に対して、ポントリャーギン双対は、から円群 への連続群準同型群の群です。つまり、 ポントリャーギン双対は通常、コンパクト集合上の一様収束によって与えられる位相（つまり、から へのすべての連続関数の空間上のコンパクト開位相によって誘導される位相）を備えています。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle {\widehat {G}}:=\operatorname {Hom} (G,T).}$$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T}$

例えば、$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,\ {\widehat {\mathbb {Z} }}=T,\ {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} ,\ {\widehat {T}}=\mathbb {Z} .}$$

正準とは、自然に定義された写像 が存在することを意味します。 さらに重要なのは、写像 がにおいて関数的である必要があるということです。群 の乗法的特性に対して、 上の正準同型は次のように 定義されます。 つまり、${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}\colon G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}}$${\displaystyle x\in G}$$${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}(x)(\chi )=\chi (x)\in \mathbb {T} .}$$$${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}(x):(\chi \mapsto \chi (x)).}$$

言い換えると、各群の要素は、双対上の評価指標と同一視されます。これは、有限次元ベクトル空間とその二重双対 との間の標準同型性に非常に類似しており、任意のベクトル空間はアーベル群であることは言及する価値があります。 が有限アーベル群である場合、ですが、この同型性は標準ではありません。 このステートメントを（一般に）正確にするには、群上だけでなく、群間の写像上の双対化についても考え、双対化を関数として扱い、恒等関数と双対化関数が自然に同値ではないことを証明する必要があります。 また、双対性定理は、任意の群（必ずしも有限ではない）に対して、双対化関数が正確な関数であることを意味します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle V\cong V^{**}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\cong {\widehat {G}}}$

局所コンパクト群に関する最も注目すべき事実の 1 つは、本質的に一意な自然測度であるHaar測度が存在することです。これにより、 の十分に正則な部分集合の「サイズ」を一貫して測定できます。ここでの「十分に正則な部分集合」とは、ボレル集合、つまり、コンパクト集合によって生成されるσ 代数の要素を意味します。より正確には、局所コンパクト群上の右 Haar 測度は、 のボレル集合上で定義される可算加法測度 μ であり、の要素およびのボレル部分集合に対して が、いくつかの正則性条件 ( Haar 測度に関する記事で詳しく説明) も満たすという意味で右不変です。正のスケーリング係数を除き、 上の Haar 測度は一意です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu (Ax)=\mu (A)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

上のハール測度は、群上で定義された（複素数値）ボレル関数の積分の概念を定義することを可能にする。特に、ハール測度に関連するさまざまなL ^p空間を考えることができる。具体的には、 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(G)=\left\{(f:G\to \mathbb {C} )\ {\Big |}\ \int _{G}|f(x)|^{p}\ d\mu (x)<\infty \right\}.}$$

上の任意の 2 つのハール測度はスケーリング係数を除いて等しいため、この-空間はハール測度の選択とは独立しており、したがって と記述できる可能性があります。ただし、この空間の -ノルムはハール測度の選択に依存するため、等長変換について話す場合は、使用されているハール測度を把握しておくことが重要です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}(G)}$${\displaystyle L^{p}}$

局所コンパクトアーベル群の双対群は、フーリエ変換の抽象バージョンの基礎空間として使用されます。 の場合、フーリエ変換はによって定義される 上の関数であり 、積分は上のハール測度に相対的です。 これは とも表記されます。フーリエ変換はハール測度の選択に依存することに注意してください。上の関数のフーリエ変換が 上で無限大 で消える有界連続関数であることを示すのはそれほど難しくありません。 ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\ d\mu (x),}$$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle G}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\chi )}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$

上の積分可能関数の逆フーリエ変換は で与えられ、 ここで積分は双対群上のハール測度に相対的です。フーリエ逆変換公式に現れる 上の測度はへの双対測度と呼ばれ、 と表記されることもあります。 ${\displaystyle {\widehat {G}}}$$${\displaystyle {\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi ),}$$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$

さまざまなフーリエ変換は、次のように、そのドメインと変換ドメイン (群と双対群) に基づいて分類できます ( は円群であることに注意してください)。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$

例えば、 を仮定すると、 を のペアリングによりとして考えることができます。がユークリッド空間上のルベーグ測度である場合、に対する通常のフーリエ変換が得られ、フーリエ逆変換公式に必要な双対測度は です。 両辺に同じ測度を持つフーリエ逆変換公式を得たい場合（つまり、 をそれ自身の双対空間として考えることができるので、がに等しいと求めることができる）、 を使用する必要があります。 ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }.}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\widehat {\mu }}=(2\pi )^{-n}\mu }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\\{\widehat {\mu }}&=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\end{aligned}}}$$

しかし、その双対群と同一視する方法をペアリング を使って変更すると、 上のルベーグ測度はそれ自身の双対測度に等しくなります。この規則により、ユークリッド空間上でフーリエ変換または逆フーリエ変換を計算するときにさまざまな場所に現れるの因子の数が最小限に抑えられます。(実際には、 は積分記号の外側の前因子としてではなく、指数のみに制限されます。) 双対群と同一視する方法の選択は、それ自身のフーリエ変換に等しい 上の関数である「自己双対関数」という用語の意味に影響することに注意してください。古典的なペアリングを使用すると、関数は自己双対になります。しかし、前因子を 1 のままにする ペアリングを使用すると、代わりに自己双対になります。フーリエ変換のこの 2 番目の定義には、乗法単位元を畳み込み単位元にマップするという利点があり、これは畳み込み代数と同様に便利です。次のセクションの群代数を参照してください。さらに、この形式は空間上でも必然的に等長です。下記の Plancherel および L2 フーリエ反転定理を参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} },}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{2}}$

局所コンパクトアーベル群上の積分可能関数の空間は代数であり、ここで乗算は畳み込みである。つまり、2つの積分可能関数との畳み込みは次のように定義される。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\ d\mu (y).}$$

この代数はの群代数と呼ばれます。フビニ・トネリ定理により、畳み込みはノルムに関して乗法的であり、バナッハ代数 を形成します。バナッハ代数が乗法的な単位元を持つのは、 が離散群、つまり単位元で 1 でそれ以外では 0 となる関数である場合のみです。ただし、一般には、近似的な単位元を持ち、これは有向集合にインデックス付けされたネット (または一般化されたシーケンス)であり、${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1}(G)}$${\displaystyle L^{1}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f*e_{i}\to f.}$

フーリエ変換は畳み込みを乗算に変換します。つまり、これはアーベルバナッハ代数（ノルム≤1）の準同型です。 ${\displaystyle L^{1}(G)\to C_{0}\left({\widehat {G}}\right)}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi ).}$$

特に、上のすべての群特性は、次のように定義される群代数上の 一意の乗法線形関数に対応する。${\displaystyle G}$$${\displaystyle f\mapsto {\widehat {f}}(\chi ).}$$

群代数の重要な性質は、これらが群代数上の非自明な（すなわち、常にゼロではない）乗法線形関数の集合を網羅することです。（Loomis 1953）の第34節を参照してください。これは、フーリエ変換がゲルファント変換の特殊なケースであることを意味します。

すでに述べたように、局所コンパクトアーベル群の双対群は、それ自体が局所コンパクトアーベル群であるため、ハール測度、より正確にはスケールに関連したハール測度の族全体を持ちます。

上のコンパクト台の複素数値連続関数は-稠密であるため、その空間からユニタリ演算子へのフーリエ変換の唯一の拡張があり 、次の式が得られます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\to L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right).}$$$${\displaystyle \forall f\in L^{2}(G):\quad \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$$

非コンパクトな局所コンパクト群の場合、空間にはが含まれないため、 上の一般関数のフーリエ変換は、いかなる種類の積分式（または実際には明示的な式）によっても与えられないことに注意してください。フーリエ変換を定義するには、コンパクトな台を持つ連続関数のような稠密な部分空間から始めて、連続性によって等長変換を空間全体に拡張するなどの技術的なトリックに頼る必要があります。 このフーリエ変換のユニタリ拡張は、平方積分可能関数の空間上のフーリエ変換によって意味されるものです。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{1}(G)}$${\displaystyle L^{2}(G)}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{2}}$

双対群には、それ自体に逆フーリエ変換もあります。これは、フーリエ変換の逆 (またはユニタリなので随伴) として特徴付けることができます。これは、次のフーリエ逆変換式 の内容です。${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

この場合、双対群は整数群と自然に同型であり、フーリエ変換は周期関数のフーリエ級数の係数の計算に特化します。 ${\displaystyle G=\mathbb {T} }$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

が有限群である場合、離散フーリエ変換を復元します。このケースは直接証明するのが非常に簡単であることに注意してください。 ${\displaystyle G}$

ポントリャーギン双対性の重要な応用例の 1 つは、コンパクトアーベル位相群の次の特徴付けです。

コンパクトであるということは離散的であるということ、あるいは離散的であるということはコンパクトであるということであり、これは 上のコンパクト開位相の定義の基本的な帰結であり、ポントリャーギン双対性を必要としません。逆を証明するにはポントリャーギン双対性を使用します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$

ボーアのコンパクト化は、局所コンパクトかアーベルかに関係なく、任意の位相群 に対して定義されます。コンパクトアーベル群と離散アーベル群の間のポントリャーギン双対性は、任意のアーベル局所コンパクト位相群のボーアのコンパクト化を特徴付けるために使われます。のボーアのコンパクト化は であり、ここでH は群構造 を持ちますが、離散位相 が与えられます。包含写像は 連続かつ準同型なので、双対射は コンパクト群への射であり、必要な普遍的性質を満たすことが簡単に示されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {H}}}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$ $${\displaystyle \iota :H\to {\widehat {G}}}$$$${\displaystyle G\sim {\widehat {\widehat {G}}}\to {\widehat {H}}}$$

ポントリャーギン双対性は、関数的に考えることも有益である。以下では、LCA は局所コンパクトアーベル群と連続群準同型のカテゴリである。 の双対群構成は反変関数LCA → LCAであり、（表現可能な関数の意味で）円群によって次のように表される。 特に、二重双対関数は共変 である。ポントリャーギン双対性の圏論的定式化は、LCA上の恒等関数と二重双対関数との間の自然変換は同型であると述べる。 ^[3]自然変換の概念を解きほぐすと、これは写像が任意の局所コンパクトアーベル群 に対する同型であり、これらの同型は において関数的であることを意味する。この同型は有限次元ベクトル空間の二重双対（実ベクトル空間と複素ベクトル空間に対する特別な場合） に類似している。${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle {\widehat {G}}={\text{Hom}}(G,\mathbb {T} ).}$${\displaystyle G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$${\displaystyle G\to \operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (G,T),T)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

この定式化の直接的な帰結は、ポンチャギン双対性のもう一つの一般的なカテゴリ定式化である。すなわち、双対群関数は、LCAからLCA ^opへのカテゴリの同値である。

双対性は、離散群とコンパクト群のサブカテゴリを交換します。が環でが左加群である場合、双対群は右加群になります。このようにして、離散左加群がコンパクト右加群に対するポンチャギン双対になることもわかります。 LCAの自己準同型環は、双対性によってその反対の環に変更されます(乗法を他の順序に変更します)。たとえば、 が無限巡回離散群である場合、は円群です。前者は であるため、後者についてもこれが当てはまります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{End}}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle {\text{End}}(G)=\mathbb {Z} }$

ポンチャギン双対性の一般化は、主に 2 つの方向、すなわち局所コンパクトでない可換位相群と非可換位相群に対して構築されます。これら 2 つのケースの理論は非常に異なります。

がハウスドルフアーベル位相群であるとき、コンパクト開位相を持つ群はハウスドルフアーベル位相群であり、からその二重双対への自然な写像は意味をなす。この写像が同型である場合、はポンチャギン双対性を満たす（またはは反射群、^[4]または反射群^[5]である） と言われる。これは、が局所コンパクトである場合を超えて、いくつかの方向に拡張されている。 ^[6]${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

特に、サミュエル・カプラン^{[7] [8]}は1948年と1950年に、局所コンパクト（ハウスドルフ）アーベル群の任意の積と可算逆極限がポンチャギン双対性を満たすことを示した。局所コンパクトでない空間の無限積は局所コンパクトではないことに注意されたい。

その後、1975年にランガチャリ・ヴェンカタラマン^[9]は、他の事実の中でも、ポントリャーギン双対性を満たすアーベル位相群の任意の開部分群は、それ自体がポントリャーギン双対性を満たすことを示した。

最近では、セルジオ・アルダンサ＝トレビハノとマリア・ヘスス・チャスコ^[10]が上記のカプランの結果を拡張した。彼らは、ポントリャーギン双対性を満たすアーベル群の列の直接極限と逆極限は、群が距離化可能または-空間であるが必ずしも局所コンパクトではない場合、列がいくつかの追加条件を満たす限り、ポントリャーギン双対性も満たすことを示した。 ${\displaystyle k_{\omega }}$

しかし、局所的にコンパクトなケースを超えてポントリャーギン双対性を考慮したい場合、基本的な側面が変わります。エレナ・マルティン・ペイナドール^[11]は1995年に、がポントリャーギン双対性を満たすハウスドルフアーベル位相群であり、自然な評価ペアリング が（共）連続である場合、^[a]は局所的にコンパクトであることを証明しました。結果として、ポントリャーギン双対性の非局所的にコンパクトな例はすべて、ペアリングが（共）連続ではないグループです。 ${\displaystyle G}$$${\displaystyle {\begin{cases}G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} \\(x,\chi )\mapsto \chi (x)\end{cases}}}$$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$

ポンチャギン双対性を可換位相群のより広いクラスに一般化するもう一つの方法は、双対群に少し異なる位相、すなわち全有界集合上の一様収束の位相を与えることである。この仮定^[b]の下で恒等式を満たす群はステレオタイプ群と呼ばれる。^[5]このクラスも非常に広く（局所コンパクトアーベル群を含む）、反射群のクラスよりも狭い。^[5]${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$

1952 年に Marianne F. Smith ^[12]は、バナッハ空間と反射空間 を位相群 (加法群演算付き) として考えると、ポンチャギン双対性を満たすことに気付きました。後に B.S. Brudovskiĭ ^{[13] 、} William C. Waterhouse ^[14]、および K. Brauner ^{[15]は、この結果がすべての準完備}樽型空間のクラス(特にすべてのフレシェ空間) に拡張できることを示しました。1990 年代に Sergei Akbarov ^[16]は、古典的なポンチャギン反射性よりも強い性質、つまり の恒等式を満たす位相ベクトル空間のクラスの記述を与えました。ここ で は、 の全有界集合上で一様収束の位相を備えたすべての線型連続関数の成す空間を意味します(同じ意味で の双対を意味します)。このクラスの空間はステレオタイプ空間と呼ばれ、対応する理論は関数解析と幾何学において、非可換位相群に対するポンチャギン双対性の一般化を含む一連の応用が見出された。 $${\displaystyle (X^{\star })^{\star }\cong X}$$${\displaystyle X^{\star }}$${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X^{\star })^{\star }}$${\displaystyle X^{\star }}$

非可換局所コンパクト群の場合、古典的なポントリャーギン構成はさまざまな理由から機能しなくなります。特に、指標が の点を常に分離するとは限らず、 の既約表現が常に 1 次元であるとは限らないためです。同時に、 の既約ユニタリ表現の集合に乗算を導入する方法は明らかではなく、この集合が の双対オブジェクトの役割に適した選択であるかどうかさえ明らかではありません。したがって、この状況で双対性を構成する問題は、完全に再考する必要があります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

現在までに構築された理論は、主に 2 つのグループに分けられます。1 つは、双対オブジェクトがソース オブジェクトと同じ性質を持つ理論 (ポントリャーギンの双対性自体のように)、もう 1 つは、ソース オブジェクトとその双対オブジェクトが互いに根本的に異なるため、1 つのクラスのオブジェクトとして数えることが不可能である理論です。

2番目のタイプの理論は歴史的には最初のものでした。ポンチャギンの研究の直後に、タナカ忠雄（1938）とマーク・クライン（1949）は、現在タナカ-クライン双対性として知られる任意のコンパクト群の双対性理論を構築しました。^{[17] [18]}この理論では、群の双対対象は群ではなく、その表現のカテゴリーです。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (G)}$

第一のタイプの理論は後に登場し、その重要な例は有限群の双対性理論であった。^{[19] [20]}この理論では、有限群のカテゴリは、群代数（ 上）を有限次元ホップ代数のカテゴリに取る操作によって埋め込まれ、その結果、ポンチャギン双対性関数は、双対ベクトル空間（これは有限次元ホップ代数のカテゴリの双対性関数である）を取る操作に変わる。 ^[20]${\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{G}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}}$${\displaystyle H\mapsto H^{*}}$

1973年、レオニード・I・ヴァイネルマン、ジョージ・I・カック、ミシェル・エノック、ジャン＝マリー・シュワルツは、すべての局所コンパクト群に対してこのタイプの一般理論を構築した。^[21] 1980年代から、この分野の研究は量子群の発見後に再開され、構築された理論は量子群に積極的に転用され始めた。^{[22]これらの理論は}C*-代数、またはフォン・ノイマン代数の言語で定式化され、その変種の1つが最近の局所コンパクト量子群の理論である。^{[23] [22]}

しかしながら、これらの一般理論の欠点の一つは、群の概念を一般化する対象が通常の代数の意味でのホップ代数ではないということである。 ^{[20]この欠点は、位相代数の}エンベロープの概念に基づいて構築された双対性理論の枠組みの中で（いくつかの群のクラスについては）修正することができる。^[24]

• ピーター・ワイル定理
• カルティエの二重性
• ステレオタイプ空間

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