共役変数

古典物理学では、作用の微分は、微分対象の量と共役な変数である。量子力学では、これらの同じ変数のペアは、ハイゼンベルクの不確定性原理によって関連付けられている。

• ある事象における粒子のエネルギーは、その事象に至る粒子の軌跡に沿った作用を、その事象の時刻に関して微分したものの負の値である。
• 粒子の線運動量は、その粒子の位置に関する作用の微分である。
• 粒子の角運動量は、その粒子の作用をその向き（角度位置）に関して微分したものである。
• 質量モーメント（${\displaystyle \mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r} }$粒子の速度は、その粒子の速度に関する作用の導関数の負の値である。
• 量子LC回路における電位（φ、電圧）と電荷。^{[ 4 ]}
• ある事象における磁気ポテンシャル（A ）は、その事象における（自由）電流密度に関する電磁場の作用の微分である。
• ある事象における電場（E ）は、その事象における電気分極密度に関する電磁場の作用の微分である。
• ある事象における磁束密度（B ）は、その事象における磁化に関する電磁場の作用の微分である。
• ある事象におけるニュートン重力ポテンシャルは、その事象における質量密度に関するニュートン重力場の作用の微分値の負の値である。

量子力学において、共役変数は、演算子が可換でない観測量のペアとして実現される。慣習的な用語では、それらは非可換観測量と呼ばれる。例として、位置によって与えられる測定可能な量を考えてみよう。${\displaystyle \left(x\right)}$そして勢い${\displaystyle \left(p\right)}$量子力学の形式では、2 つの観測量${\displaystyle x}$そして${\displaystyle p}$演算子に対応する${\displaystyle {\widehat {x}}}$そして${\displaystyle {\ワイドハット {p\,}}}$これらは必然的に正準交換関係を満たす。 $${\displaystyle [{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{\widehat {x}}=i\hbar }$$

2つの演算子の非ゼロ交換子には必ず「不確定性原理」が存在し、今回の例ではそれは次のように表される。 $${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2}$$

この曖昧な表記法では、${\displaystyle \Delta x}$そして${\displaystyle \Delta p}$同時指定における「不確実性」を表す${\displaystyle x}$そして${\displaystyle p}$標準偏差を用いた、より正確で統計的に完全な記述${\displaystyle \sigma }$読む: $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2}$$

より一般的には、任意の 2 つの観測量に対して${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$演算子に対応する${\displaystyle {\ワイドハット {A}}}$そして${\displaystyle {\ワイドハット {B}}}$一般化された不確定性原理は次のように表される 。$$${\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{\widehat {A}},{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}}$$$

ここで、特定の2つの演算子を明示的に定義し、それぞれに特定の数学的形式を割り当て、そのペアが前述の交換関係を満たすと仮定しましょう。ここで重要なのは、私たちが選択した演算子は、量子力学を根本的に特徴づける一般的な代数構造の、数多くの等価な、あるいは同型な表現のうちの1つを反映しているに過ぎないということです。この一般化は、ハイゼンベルク・リー代数によって形式的に与えられます。${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}}$対応するグループはハイゼンベルク群と呼ばれる。${\displaystyle H_{3}}$。

ハミルトン流体力学および量子流体力学では、作用自体（または速度ポテンシャル）は密度（または確率密度）の共役変数である。