接触円

接触円は、特定の点における曲線の曲率を最もよく近似する円です。接触円は、その点で曲線に接し、その点での曲線と同じ曲率を持ちます。 ^[2]接触円は、曲線の局所的な動作を理解する方法を提供し、微分幾何学や微積分学でよく使用されます。

より正式には、曲線の微分幾何学において、曲線上の任意の点pにおける十分に滑らかな平面曲線の接触円は、伝統的に、 pと、 pに無限に近い曲線上の 2 つの追加点を通る円として定義されています。接触円の中心は内側の法線上にあり、接触円の曲率は、その点における任意の曲線の曲率を定義します。この円は、任意の点におけるすべての接円の中で曲線に最も近づく円であり、ライプニッツによってcirculus osculans (ラテン語で「接吻円」) と名付けられました。

特定の点における接触円の中心と半径は、その点における曲線の曲率中心と曲率半径と呼ばれます。幾何学的構成は、アイザック ニュートンの著書『プリンキピア』で次のように説明されています。

物体が共通の中心に向かう力によって与えられた図形を描く速度が、どの場所でも与えられているので、その中心を見つけます。

— アイザック・ニュートン、プリンキピア、命題 V. 問題 I.

広大な平面上の湾曲した道路に沿って車を走らせているところを想像してください。突然、道路沿いのある地点で、ハンドルが現在の位置でロックされます。その後、車はロックした地点で道路に「キス」する円を描いて移動します。円の曲率は、その地点の道路の曲率と同じです。その円は、その地点の道路カーブの接触円です。

γ ( s ) を正規のパラメトリック平面曲線とし、sを弧の長さ（自然パラメータ）とする。これにより、 sを構成する各点における単位接線ベクトル T ( s )、単位法線ベクトル N ( s )、符号付き曲率 k ( s )、曲率半径 R ( s )が決定される。 $${\displaystyle T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.}$$

P がγ上の点であり、k ≠ 0であるとします。対応する曲率中心は、Nに沿った距離Rにある点Qで、 kが正であれば同じ方向、 kが負であれば反対方向になります。 Qを中心とし、半径Rの円は、点Pにおける曲線γの接触円と呼ばれます。

C が正規の空間曲線である場合、接触円は主法線ベクトル N を使用して同様の方法で定義されます。接触円は、点Pにおける接線法線ベクトルTと主法線ベクトルNによって張られる平面である接触平面上にあります。

平面曲線は、異なる正規パラメータ化で与えることもできる 。 ここで正規とは、すべての に対してとなることを意味する。この場合、符号付き曲率k ( t )、法線単位ベクトルN ( t )、曲率半径R ( t )、接触円の 中心Q ( t )の式は次のようになる。$${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \gamma '(t)\neq 0}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle k(t)={\frac {x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}{\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{3}/{2}}}},\qquad N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}{x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}}\right|\qquad {\text{and}}\qquad Q(t)=\gamma (t)+{\frac {1}{k(t)\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}\,.}$$

関数fの代わりにt = xおよびy = f ( x )を代入すると、直交座標で接触円の中心を取得できます。計算を実行すると、接触円の中心の X 座標と Y 座標の結果は次のようになります。 $${\displaystyle x_{c}=x-f'{\frac {1+f'^{2}}{f''}}\quad {\text{and}}\quad y_{c}=f+{\frac {1+f'^{2}}{f''}}}$$

3 つの点、、を考えます。これらの点を通る円の中心を見つけるには、まず と の線分の二等分線を見つけ、次にこれらの線が交差する点を見つけなければなりません。したがって、 の座標は、2 つの方程式の線形システムを解くことによって得られます。 ここで、に対して です。 ${\textstyle P_{0}}$${\textstyle P_{1}}$${\textstyle P_{2}}$${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$${\textstyle P_{0}P_{1}}$${\textstyle P_{1}P_{2}}$${\textstyle C}$${\textstyle C}$$${\displaystyle \left(\delta x_{i}\right)x_{c}+\left(\delta y_{i}\right)y_{c}={\tfrac {1}{2}}\left(\delta ^{2}x_{i}+\delta ^{2}y_{i}\right)\quad i=1,2}$$${\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}$${\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}$${\textstyle u=x,y}$

ここで曲線 を考え、および と設定します。 を 2 次まで解くと、 および について同様の式が得られます。ただし、 の符号は反転しています。 について方程式を展開し、 および の項をグループ化すると、 が得られます 。 と表記すると、最初の方程式はが における単位接線ベクトルに直交することを意味します。 2 番目の関係は を意味します 。 ここで は 曲率ベクトルです。平面幾何学では、 は であるため に直交します。したがって、接触円の半径は曲率の逆数と正確に一致します。 ${\textstyle P=P(\tau )}$${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$${\textstyle P_{2}=P(\tau +d\tau )}$${\textstyle d\tau }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta u_{1}=&{\dot {u}}d\tau -{\frac {1}{2}}{\ddot {u}}\,d\tau ^{2}\\\delta ^{2}u_{1}=&2u{\dot {u}}\,d\tau -d\tau ^{2}\left({\dot {u}}^{2}+u{\ddot {u}}\right)\end{aligned}}}$$${\textstyle \delta u_{2}}$${\textstyle \delta ^{2}u_{2}}$${\textstyle d\tau ^{2}}$${\textstyle x_{c},y_{c}}$${\textstyle d\tau }$${\textstyle d\tau ^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(x_{c}-x)+{\dot {y}}(y_{c}-y)&=0\\{\ddot {x}}(x_{c}-x)+{\ddot {y}}(y_{c}-y)&={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\end{aligned}}}$$${\textstyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {P_{1}C}}}$${\textstyle \mathbf {r} }$${\textstyle P_{1}}$$${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {t} =0}$$$${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =1}$$$${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}{\begin{bmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{bmatrix}}}$$${\textstyle \mathbf {k} }$${\textstyle \mathbf {t} }$$${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {k} =\mathbf {t} {\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(\mathbf {t} \cdot \mathbf {t} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(1)=0}$$${\textstyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =kr}$

の座標について方程式を解くと、 ${\textstyle C}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}-x=&{\frac {{\dot {y}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\\y_{c}-y=&{\frac {-{\dot {x}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\end{aligned}}}$$

平面 による 表面の切断として想定できる方程式によって本質的に定義される 曲線を考えてみましょう。ある点における曲線の法線は、この点における勾配です。 したがって、接円の中心はによって与えられます 。 ここではパラメータです。の半径が与えられている場合、は、すべての可能な円の中から、曲線に最も 一致する円を見つけたいとします。${\textstyle C}$$${\displaystyle f(x,y)=0}$$${\textstyle z=f(x,y)}$${\textstyle z=0}$${\textstyle \mathbf {n} }$${\textstyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$$${\displaystyle \mathbf {n} =(f_{x},f_{y})}$$${\textstyle B_{\alpha }}$$${\displaystyle X_{c}=x_{0}-\alpha f_{x}\,\,;\,\,Y_{c}=y_{0}-\alpha f_{y}}$$${\textstyle \alpha }$${\textstyle \alpha ,}$${\textstyle R}$${\textstyle B_{\alpha }}$$${\displaystyle R^{2}=\alpha ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})}$$${\textstyle B_{\alpha }}$

点の座標は 、 に対して、、 すなわちと書くことができます 。に近い 点を考えてみましょう。ここで、その「角度」は です。 三角関数を で 2 次まで展開し、上記の関係を使用すると、 の座標はになります。 これで、点 での関数とその変化 を 評価できます。 構築により、 で 1 次までの変化はゼロです( で 1 次まで、は曲線 の接線上にあります)。 に比例する変化はであり 、 を選択するとこの変化はゼロになります 。 したがって、接触円の半径は ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$$${\displaystyle x_{1}=X_{c}+R\cos \theta \,\,;\,\,y_{1}=Y_{c}+R\sin \theta }$$${\textstyle \theta =\theta _{0}}$${\textstyle P_{1}=P_{0}}$$${\displaystyle R\cos \theta _{0}=\alpha f_{x}\,\,;\,\,R\sin \theta _{0}=\alpha f_{y}}$$${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$${\textstyle P_{0}}$${\textstyle \theta _{1}=\theta _{0}+d\theta }$${\textstyle d\theta }$${\displaystyle P_{1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&x_{0}-\alpha f_{y}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{x}\left(d\theta \right)^{2}\\y_{1}=&y_{0}+\alpha f_{x}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{y}\left(d\theta \right)^{2}\end{aligned}}}$$${\textstyle f}$${\textstyle P_{1}}$${\displaystyle f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})}$${\textstyle d\theta }$${\textstyle \theta }$${\textstyle P_{1}}$${\textstyle C}$${\displaystyle (d\theta )^{2}}$$${\displaystyle df=-{\frac {1}{2}}\alpha \left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}$$$${\displaystyle \alpha ={\frac {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}{f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}}}}$$$${\displaystyle R=\left|{\frac {\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{3/2}}{\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}}\right|}$$

明示的な関数については、前のセクションの結果が見つかります。 ${\displaystyle f(x,y)=y-g(x)}$

十分に滑らかな媒介変数方程式（2回連続微分可能）で与えられた曲線Cに対して、接触円は極限手順で得ることができる。接触円とは、 C上の3つの異なる点がP に近づくときに、これらの点を通過する円の極限である。^{[3]これは、} Pに近づくC上の2つの異なる点を通る割線の極限として曲線の接線を構成することに完全に類似している。

平面曲線Cと正規の点Pとの接触円S は、次の特性によって特徴付けられます。

• 円S はPを通ります。
• 円Sと曲線C はPで共通の接線を持ち、したがって共通の法線を持ちます。
• Pに近づくと、曲線Cと円Sの点間の法線方向の距離は、接線方向のPまでの距離の 3 乗以上に減少します。

これは通常、 Pにおいて「曲線とその接触円は 2 次以上の高次の接触を持つ」と表現されます。大まかに言えば、 CとSを表すベクトル関数は、Pにおいて 1 次導関数と 2 次導関数と一致します。

sに関する曲率の導関数がPでゼロでない場合、接触円はPで曲線Cと交差します。曲率の導関数がゼロである点P は頂点と呼ばれます。Pが頂点の場合、Cとその接触円は少なくとも 3 次で接触します。さらに、曲率がPでゼロでない極大値または極小値を持つ場合、接触円はPで曲線Cに接しますが、交差しません。

曲線C は、その接触円の 1 パラメータ族の包絡線として得られます。それらの中心、つまり曲率中心は、 Cの縮閉線と呼ばれる別の曲線を形成します。Cの頂点は、その縮閉線上の特異点に対応します。

曲線Cの曲率が単調である（つまり、曲線のどの頂点からも離れている）任意の弧内では、接触円はすべて互いに分離しており、互いに入れ子になっている。この結果は、 Tait-Kneserの定理として知られている。^[1]

放物線 の曲率半径は 頂点でR (0) = 0.5 に等しくなります(図を参照)。放物線はそこで接触円と 4 次接触します。t が大きい場合、曲率半径は ~ t ³に増加します。つまり、曲線はますます真っ直ぐになります。 $${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}t\\t^{2}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(1+4t^{2}\right)^{3/2}}{2}}\right|}$$${\displaystyle \gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

周波数比（3:2）のリサージュ曲線は次のようにパラメータ化できる。

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}\cos(3t)\\\sin(2t)\end{bmatrix}}.}$

符号付き曲率k ( t )、法線単位ベクトルN ( t )、曲率半径R ( t )は 次 のように表される 。$${\displaystyle k(t)={\frac {6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}{\left(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6}\right)^{3/2}}}\,,}$$ $${\displaystyle N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{bmatrix}-2\cos(2t)\\-3\sin(3t)\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(232\cos ^{4}(t)-97\cos ^{2}(t)+13-144\cos ^{6}(t)\right)^{3/2}}{6\cos(t)\left(8\cos ^{4}(t)-10\cos ^{2}(t)+5\right)}}\right|.}$$

アニメーションについては図を参照してください。ここで、「加速度ベクトル」は円弧の長さsに関する2 次導関数です。 ${\textstyle {\frac {d^{2}\gamma }{ds^{2}}}}$

半径rのサイクロイドは次のようにパラメータ化できます。 $${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}r\left(t-\sin t\right)\\r\left(1-\cos t\right)\end{bmatrix}}}$$

その曲率は次の式で与えられる: [ ^4] $${\displaystyle \kappa (t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}{4r}}}$$$${\displaystyle R(t)={\frac {4r}{\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}}}$$

• 円充填定理
• 接触曲線
• 接触球

曲率の​​研究に関する歴史的記録については、

• グラッタン・ギネス & HJM ボス (2000)。微積分から集合論まで 1630-1910: 入門的歴史。プリンストン大学出版局。p. 72。ISBN 0-691-07082-2。
• ロイ・ポーター編 (2003)。『ケンブリッジ科学史：第4巻 - 18世紀の科学』。ケンブリッジ大学出版局。313ページ。ISBN 0-521-57243-6。

操縦車両への応用については、

• JC Alexander と JH Maddocks (1988):車両の操縦について doi :10.1137/0148002
• マレー・S・クラムキン（1990年）。応用数学の問題：SIAM​​レビューからの抜粋。工業応用数学協会。p. 1。ISBN 0-89871-259-9。

ウィキメディア・コモンズには、接触円に関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「接触円」。MathWorld。
• math3d : 接触円