テンソル場

数学と物理学において、テンソル場は、数学的空間（典型的にはユークリッド空間または多様体）または物理空間の領域の各点にテンソルを割り当てる関数であり、この場合、場の量は測定単位を獲得します。テンソル場は、微分幾何学、代数幾何学、一般相対性理論、物質の応力とひずみの解析、および物理科学の数多くの応用で使用されます。テンソルはスカラー（例えば速度などの値を表す純粋な数）とベクトル（速度のような大きさと方向）の一般化であるため、テンソル場は、それぞれ空間の各点にスカラーまたはベクトルを割り当てるスカラー場とベクトル場の一般化です。テンソルAがモジュールM上のベクトル場集合X(M)上で定義されている場合、 AをM上のテンソル場と呼びます。^{[ 1 ]} テンソル場は、一般的には「テンソル」という短い形で呼ばれることが多い。例えば、リーマン曲率テンソルは、位相空間であるリーマン多様体の各点にテンソルを関連付けるため、テンソル場を指す。

させて${\displaystyle M}$多様体、例えばユークリッド空間$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。

定義。型 テンソル場${\displaystyle (p,q)}$セクションです

$${\displaystyle T\ \in \ \Gamma (M,V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q})}$$

どこ${\displaystyle V=TM}$接束となる${\displaystyle M}$（物理学ではベクトル場または反変ベクトル場と呼ばれる部分）${\displaystyle V^{*}=T^{*}M}$は双対束である余接空間（その断面は1形式、または物理学における共変ベクトル場と呼ばれる）であり、${\displaystyle \otimes }$はベクトル束のテンソル積です。

同様に、テンソル場は要素の集合である。$\displaystyle T_{x}\in V_{x}^{\otimes p}\otimes (V_{x}^{*})^{\otimes q}}$すべてのポイントについて${\displaystyle x\in M}$、 どこ${\displaystyle \otimes }$はベクトル空間のテンソル積を表し、滑らかな写像を構成する。${\displaystyle T:M\rightarrow V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q}}$要素${\displaystyle T_{x}}$これらはテンソルと呼ばれます。

近隣の座標圏内で${\displaystyle U}$座標付き${\displaystyle x^{1},\ldots x^{n}}$ベクトル場の局所基底（ヴィールバイン）がある$\displaystyle \partial _{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\ldots \partial _{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}}$、そして1の双対基底が$\displaystyle dx^{1},\ldots dx^{n}}$となることによって $\displaystyle dx^{i}(\partial _{j})=\partial _{j}x^{i}=\delta _{j}^{i}}$座標近傍において${\displaystyle U}$すると、 $$\displaystyle T_{x}=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n})\partial _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{i_{p}}\otimes dx^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{j_{q}}}$$ ここで、そして以下では、アインシュタインの総和規約を使用します。異なる座標系を選択した場合は、$\displaystyle y^{1}\ldots y^{n}}$それから${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial y^{k}}}}$そして$\displaystyle dx^{j}={\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{\ell }}}dy^{\ell }}$座標が${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$座標で表現できる${\displaystyle (y^{1},\ldots y^{n}}$そしてその逆もまた然りなので、

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{x}&=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{i_{p}}}}\otimes dx^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{j_{q}}\\&=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial y^{k_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial y^{k_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial y^{\ell _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial y^{\ell _{q}}}}{\frac {\partial }{\partial y^{k_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial y^{k_{p}}}}\otimes dy^{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes dy^{\ell _{q}}\\&=T_{\ell _{1},\cdots \ell _{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}(y^{1},\ldots y^{n}){\frac {\partial }{\partial y^{k_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial y^{k_{p}}}}\otimes dy^{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes dy^{\ell _{q}}\\\end{aligned}}}$$ つまり $${\displaystyle T_{\ell _{1},\cdots \ell _{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}(y^{1},\ldots y^{n})=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial y^{k_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial y^{k_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial y^{\ell _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial y^{\ell _{q}}}}}$$ インデックス付き関数のシステム${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n})}$（座標系の選択ごとに1つのシステム）上記のように変換によって接続されたものが、以下の定義におけるテンソルです。

注釈 より一般的には、 ${\displaystyle V}$任意のベクトル束となる${\displaystyle M}$、 そして${\displaystyle V^{*}}$その双対束。その場合、より一般的な位相空間となる。これらのセクションは、${\displaystyle V}$または、混乱が生じない場合は、略してテンソルとします。

直感的に言えば、ベクトル場は、領域の各点に付随する、長さと方向が変化する「矢印」として視覚化するのが最も適切です。曲面空間におけるベクトル場の例としては、地球表面の各点における水平風速を示す天気図が挙げられます。

次に、より複雑な場について考えてみましょう。例えば、多様体がリーマン多様体であれば、計量場が存在します。${\displaystyle g}$任意の2つのベクトルが与えられた場合${\displaystyle v,w}$地点で${\displaystyle x}$それらの内積は${\displaystyle g_{x}(v,w)}$. その分野${\displaystyle g}$行列形式で表すこともできますが、座標の選択に依存します。代わりに、各点の半径が 1 の楕円体として表すこともできます。これは座標に依存しません。地球の表面に適用すると、これはティソの指示曲線になります。

一般的に、テンソル場は座標に依存しない方法で指定したい。つまり、緯度や経度、あるいは数値座標を導入するために使用する特定の「地図投影法」とは独立して存在する必要がある。

Schouten (1951)とMcConnell (1957)に倣って、テンソルの概念は参照フレーム (または座標系)の概念に依存しており、それは (何らかの背景参照フレームに対して) 固定されている場合もあれば、一般にこれらの座標系の変換のクラス内で変化することが許容される場合もある。^{[ 2 ]}

例えば、n次元実座標空間に属する座標${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$任意のアフィン変換を受ける可能性がある：

${\displaystyle x^{k}\mapsto A_{j}^{k}x^{j}+a^{k}}$

（n次元の添え字では、総和は暗黙のうちに示されています。）共変ベクトル、または共ベクトルは、関数のシステムです。${\displaystyle v_{k}}$このアフィン変換によって、規則に従って変換される。

${\displaystyle v_{k}\mapsto v_{i}A_{k}^{i}.}$

デカルト座標基底ベクトルのリスト${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$アフィン変換の下では、共ベクトルとして変換される。${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\mapsto A_{k}^{i}\mathbf {e} _{i}}$反変ベクトルは関数のシステムである。${\displaystyle v^{k}}$このようなアフィン変換によって変換を受ける座標

${\displaystyle v^{k}\mapsto (A^{-1})_{j}^{k}v^{j}.}$

これはまさに、数量を確保するために必要な要件です${\displaystyle v^{k}\mathbf {e} _{k}}$は、選択された座標系に依存しない不変オブジェクトです。より一般的には、価数テンソル ( p , q )の座標はp個の上付き添え字とq 個の下付き添え字を持ち、変換法則は次のようになります。

${\displaystyle {T^{i_{1}\cdots i_{p}}}_{j_{1}\cdots j_{q}}\mapsto A_{i'_{1}}^{i_{1}}\cdots A_{i'_{p}}^{i_{p}}{T^{i'_{1}\cdots i'_{p}}}_{j'_{1}\cdots j'_{q}}(A^{-1})_{j_{1}}^{j'_{1}}\cdots (A^{-1})_{j_{q}}^{j'_{q}}.}$

テンソル場の概念は、許容される座標変換を滑らか（または微分可能、解析的など）に特殊化することによって得られる。共ベクトル場は関数である。${\displaystyle v_{k}}$遷移関数のヤコビアンによって変換される座標（与えられたクラス内）。同様に、反変ベクトル場${\displaystyle v^{k}}$逆ヤコビアンによって変換される。

テンソル束とは、ファイバー束の一種であり、そのファイバーは、基底空間（多様体）の接空間および／または余接空間の任意の数のテンソル積である。したがって、ファイバーはベクトル空間であり、テンソル束は特殊な種類のベクトル束である。

ベクトル束は、「パラメータに連続的（または滑らかに）依存するベクトル空間」という自然な概念です。ここでパラメータとは、多様体Mの点のことです。例えば、角度に依存する 1 次元ベクトル空間は、メビウスの帯のように見えることもあれば、円筒のように見えることもあります。M上のベクトル束Vが与えられたとき、対応する体の概念は束の切断と呼ばれます。M上で変化するmに対して、ベクトルの選択は、

v _mはV _m内、

ここで、V _mはmにおけるベクトル空間である。

テンソル積の概念は基底の選択に依存しないため、 M上の 2 つのベクトル束のテンソル積を取ることはルーチンです。接束(接空間の束) から始めると、テンソルの成分フリーな扱いで説明した装置全体がルーチン的に引き継がれます。これもまた、序論で述べたように、座標に依存しません。

したがって、テンソル場を、あるテンソル束の切断として定義することができる。（ベクトル束の中にはテンソル束ではないものもある。例えばメビウスの帯など。）すべてが内在的な方法で行われているため、これは幾何学的な内容を保証する。より正確には、テンソル場は多様体の任意の点に空間内のテンソルを割り当てる。

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*},}$

ここで、Vはその点における接空間であり、 V ^∗は余接空間である。接束および余接束も参照のこと。

2 つのテンソル束E → MとF → Mが与えられたとき、 Eのセクションの空間からFのセクションへの線形写像A : Γ( E ) → Γ( F ) は、それ自体がテンソルセクションであると考えることができる。${\displaystyle \scriptstyle E^{*}\otimes F}$Γ( E ) の各セクションsとM上の各滑らかな関数fに対してA ( fs ) = fA ( s )が成り立つ場合に限り、テンソルセクションはセクションのベクトル空間上の線形写像であるだけでなく、セクションのモジュール上のC ^∞ ( M ) 線形写像でもある。この性質は、例えば、リー微分と共変微分はテンソルではないが、それらから構築されるねじれテンソルと曲率テンソルはテンソルであることを確認するために用いられる。

テンソル場の表記法は、テンソル空間の表記法と紛らわしいほど似ている場合があります。したがって、接束TM = T ( M ) は、次のように書かれることがあります。

${\displaystyle T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM}$

接束は多様体M上の (1,0) テンソル場 (すなわちベクトル場) の値域空間であることを強調するため。これは、非常によく似た表記法と混同してはならない。

${\displaystyle T_{0}^{1}(V)}$;

後者の場合、テンソル空間は1つだけですが、前者の場合、多様体M内の各点に対してテンソル空間が定義されます。

カーリー（筆記体）の文字は、 M上の無限微分可能なテンソル場の集合を表すために使用されることがあります。したがって、

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)}$

は、 M上の ( m , n ) テンソル束のうち、無限回微分可能な部分である。テンソル場はこの集合の要素である。

多様体M上のテンソル場を特徴付ける、より抽象的（だがしばしば有用な）別の方法があり、これはテンソル場を、異なるタイプではあるものの、真のテンソル（つまり単一の多重線形写像）にする（ただし、これは通常、「テンソル場」を意味するときに「テンソル」と言う理由ではない）。まず、 M上のすべての滑らかな（ C ^∞）ベクトル場の集合を考えることができる。${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M):={\mathcal {T}}_{0}^{1}(M)}$（上記の表記法の項を参照）は、点ごとのスカラー乗算によって、滑らかな関数の環C ^∞ ( M )上のモジュールである単一の空間として定義されます。多重線形性とテンソル積の概念は、任意の可換環上のモジュールの場合にも容易に拡張できます。

動機付けの例として、宇宙を考えてみましょう${\displaystyle \Omega ^{1}(M)={\mathcal {T}}_{1}^{0}(M)}$滑らかな共ベクトル場（1形式）のモジュールであり、滑らかな関数のモジュールでもある。これらは滑らかなベクトル場に作用し、点ごとの評価によって滑らかな関数を生成する。すなわち、共ベクトル場ωとベクトル場Xが与えられたとき、次のように定義する。

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(X)(p):=\omega (p)(X(p)).}$

関係するすべてのものが点的な性質を持つため、${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$X上の写像はC ^∞ ( M )-線形写像である。すなわち、

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(fX)(p)=\omega (p)((fX)(p))=\omega (p)(f(p)X(p))=f(p)\omega (p)(X(p))=(f\omega )(p)(X(p))=(f{\tilde {\omega }})(X)(p)}$

Mの任意のpと滑らかな関数fに対して、 が成り立ちます。したがって、共ベクトル場は余接束の切断としてだけでなく、ベクトル場から関数への線形写像としても考えることができます。二重双対構成により、ベクトル場は同様に共ベクトル場から関数への写像として表現できます（つまり、共ベクトル場から「本来的に」始めて、そこから発展させることができます）。

M上の通常の単一テンソル (テンソル場ではない!) を ベクトルと共ベクトル上の多重線形写像として構成するのと完全に並行して、M上の一般的な ( k , l ) テンソル場を、k個のコピーで定義されたC ^∞ ( M )-多重線形写像とみなすことができます。${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$そして1つのコピー${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$C ^∞ ( M )へ。

さて、 k個のコピーの積からの任意の写像Tが与えられた${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$そして 1つのコピー${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$ into C^∞(M), it turns out that it arises from a tensor field on M if and only if it is multilinear over C^∞(M). Namely C^∞(M)-module of tensor fields of type ${\displaystyle (k,l)}$ over M is canonically isomorphic to C^∞(M)-module of C^∞(M)-multilinear forms

${\displaystyle \underbrace {\Omega ^{1}(M)\times \ldots \times \Omega ^{1}(M)} _{l\ \mathrm {times} }\times \underbrace {{\mathfrak {X}}(M)\times \ldots \times {\mathfrak {X}}(M)} _{k\ \mathrm {times} }\to C^{\infty }(M).}$^[3]

This kind of multilinearity implicitly expresses the fact that we're really dealing with a pointwise-defined object, i.e. a tensor field, as opposed to a function which, even when evaluated at a single point, depends on all the values of vector fields and 1-forms simultaneously.

A frequent example application of this general rule is showing that the Levi-Civita connection, which is a mapping of smooth vector fields ${\displaystyle (X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y}$ taking a pair of vector fields to a vector field, does not define a tensor field on M. This is because it is only ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear in Y [in place of full C^∞(M)-linearity, it satisfies the Leibniz rule,${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y}$ ]. Nevertheless, it must be stressed that even though it is not a tensor field, it still qualifies as a geometric object with a component-free interpretation.

The curvature tensor is discussed in differential geometry and the stress–energy tensor is important in physics, and these two tensors are related by Einstein's theory of general relativity.

In electromagnetism, the electric and magnetic fields are combined into an electromagnetic tensor field.

Differential forms, used in defining integration on manifolds, are a type of tensor field.

In theoretical physics and other fields, differential equations posed in terms of tensor fields provide a very general way to express relationships that are both geometric in nature (guaranteed by the tensor nature) and conventionally linked to differential calculus. Even to formulate such equations requires a fresh notion, the covariant derivative. This handles the formulation of variation of a tensor field along a vector field. The original absolute differential calculus notion, which was later called tensor calculus, led to the isolation of the geometric concept of connection.

テンソル場の概念を拡張すると、M上に追加の線束Lが組み込まれます。W が V と L のテンソル積束である場合、WはVと全く同じ次元のベクトル空間の束になります。これにより、「ねじれた」タイプのテンソル場であるテンソル密度の概念を定義できます。テンソル密度は、 Lが多様体上の密度の束、すなわち余接束の行列式束である場合の特殊なケースです。 （厳密に正確には、遷移関数にも絶対値を適用する必要がありますが、向き付け可能な多様体ではほとんど違いはありません。）より伝統的な説明については、テンソル密度の記事を参照してください。

密度束Lの特徴の 1 つは (再び向き付け可能を仮定)、 L ^{s が}実数値sに対して well-defined であることです。これは、厳密に正の実数値をとる遷移関数から読み取ることができます。これは、たとえば、s = 1/2の場合の半密度を取ることができることを意味します。一般に、 VとL ^sのテンソル積であるWのセクションを取り、重みsのテンソル密度場を考えることができます。

半密度は、多様体上の積分演算子の定義や幾何学的量子化などの分野で応用されている。

Mがユークリッド空間であり、すべての場がMのベクトルによる並進に対して不変であると仮定すると、テンソル場が「原点に位置する」テンソルと同義となる状況に戻ります。これは大きな問題ではなく、応用においてよく用いられます。しかし、テンソル密度に適用すると、違いが生じます。密度の束は「一点」で厳密に定義することはできません。したがって、現代の数学におけるテンソルの扱いの限界は、テンソル密度が回りくどい方法で定義されるという点にあります。

テンソル概念のより高度な説明として、座標変換に適用される多変数における連鎖律は、テンソル場を生み出す自己整合的なテンソル概念の要件としても解釈できる。

抽象的に言えば、連鎖律は1-コサイクルとして識別できます。これにより、接束を本質的に定義するために必要な一貫性が確保されます。他のテンソルのベクトル束も同様のコサイクルを持ち、それらはテンソル構成の関数的性質を連鎖律自体に適用することによって得られます。そのため、これらもまた本質的な（つまり「自然な」）概念なのです。

一般的に「古典的」なテンソルへのアプローチと呼ばれるものは、これを逆算しようとするものであり、したがって、真に基礎的なアプローチというよりは、経験的な事後的なアプローチである。座標変換の下でのテンソルの変換方法によってテンソルを定義することには、コサイクルが表現する自己無矛盾性が暗黙のうちに含まれている。テンソル密度の構築は、コサイクルレベルでの「ねじれ」である。幾何学者は、テンソル量の幾何学的性質について何ら疑念を抱いておらず、この種の降下論法は、理論全体を抽象的に正当化する。

• バイテンソル– 多様体上の2点に依存するテンソルオブジェクト 
• ジェットバンドル– 微分トポロジーにおける構築 
• リッチ計算– テンソルベースの計算のためのテンソル添え字表記法 
• スピノル場– 幾何学的構造リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 

• オニール、バレット（1983）。半リーマン幾何学とその相対性理論への応用。エルゼビア・サイエンス。ISBN 9780080570570。
• Frankel, T. (2012), 『物理学の幾何学』（第3版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-107-60260-1。
• ラムボーン[オープン大学]、RJA（2010）、『相対性理論、重力、宇宙論』、ケンブリッジ大学出版局、Bibcode：2010rgc..book.....L、ISBN 978-0-521-13138-4。
• ラーナー、RG；トリッグ、GL（1991）、『物理学百科事典（第2版）』、VHCパブリッシャーズ。
• McConnell, AJ (1957), 『テンソル解析の応用』、ドーバー出版、ISBN 9780486145020{{citation}}: ISBN / 日付の不一致 (ヘルプ)。
• マクマホン、D. (2006)、『相対性理論の解明』、マグロウヒル（米国）、ISBN 0-07-145545-0。
• C. ミスナー、KS ソーン、JA ウィーラー (1973)、『重力』、WH フリーマン & Co、ISBN 0-7167-0344-0{{citation}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)。
• パーカー、CB（1994）、『マグロウヒル物理学百科事典（第2版）』、マグロウヒル、ISBN 0-07-051400-3。
• Schouten, Jan Arnoldus (1951), Tensor Analysis for Physicists , Oxford University Press。
• スティーンロッド、ノーマン（1999年4月5日）。ファイバー束のトポロジー。プリンストン数学シリーズ。第 14巻。プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-00548-5OCLC 40734875​​